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\chapter{Méthode des moments généralisée} % numéroté
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Si l'on pose l'hypothèse selon laquelle un échantillon issu d'une
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population a une certaine distribution de probabilité, on doit
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ensuite déterminer quels sont les paramètres de celle-ci. Ces
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paramètres peuvent être estimés à l'aide de différentes méthodes
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statistiques. La méthode des moments généralisée est une de celles-ci.
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\section{Introduction}
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\label{sec:intromethodeGMM}
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On considère un échantillon de taille $T$ formé de plusieurs
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réalisations $\mathbf{y} = y(1),\ldots,y(T)$ indépendantes entre elles
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et identiquement distribuées. Selon le modèle paramétrique, cet
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échantillon est formé de réalisations d'une variable aléatoire $Y$
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suivant une distribution particulière. Le vecteur de paramètres de
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celle-ci, $\theta$, de longueur $a$, appartenant à l'espace $\Omega
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\subset \mathbb{R}^a$, doit être estimé à partir de l'échantillon. Une
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première approche consiste à maximiser la fonction de vraisemblance
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$L(\theta;\mathbf{y})$, qui équivaut au produit de la densité
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$f(y;\theta)$ évaluée à chacune des réalisations $y(t)$:
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\begin{align}
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\label{eq:vraisemblance}
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L(\theta;\mathbf{y}) = \prod_{t=1}^T
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f(y(t);\theta),\quad\theta\in\Omega.
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\end{align}
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L'estimateur $\hat\theta$ est, dans ce cas, la valeur pour
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laquelle l'échantillon a la plus grande probabilité d'être
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observé. Cependant, puisque cela apporte plusieurs simplifications
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intéressantes, on cherchera à maximiser la fonction de
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log-vraisemblance $l(\theta;\mathbf{y}) =
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\ln{(L(\theta;\mathbf{y}))}$:
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\begin{align}
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\label{eq:thetavraisemblance}
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\hat\theta = \underset{\theta}{\operatorname{arg\,max}} \,
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l(\theta;\mathbf{y}).
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\end{align}
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Le maximum est obtenu en résolvant la condition de premier ordre,
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c'est-à-dire en égalant le gradient de la fonction de
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log-vraisemblance à 0:
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\begin{align}
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\label{eq:EEvraisemblance}
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\frac{\partial{l(\theta;\mathbf{y})}}{\partial{\theta}} &= 0.
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\end{align}
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Cette méthode permet d'obtenir un estimateur convergent de variance
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minimale, car elle utilise l'ensemble de l'information contenue dans
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l'échantillon. Cependant, la fonction de vraisemblance doit pouvoir
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être spécifiée sous une forme analytique, et de plus, celle-ci doit
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être différentiable afin de pouvoir utiliser cette méthode, ce qui
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n'est pas le cas avec la distribution de Laplace asymétrique
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généralisée. Lorsque cette situation se présente, une méthode
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alternative est préférée, celle des moments généralisée, comme
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proposée par \cite{hansen1982large}. Celle-ci est décrite par
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\cite{hamilton1994time} dans le contexte de l'étude des séries
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chronologiques. Elle a pour avantage de nécessiter seulement la
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spécification de certaines conditions de moment. Par contre, elle
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n'utilise pas toute l'information fournie par l'échantillon, ce qui ne
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permettra pas d'obtenir un estimateur de variance minimale.
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\subsection{Méthode classique des moments}
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\label{sec:methodemoments}
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Pour certaines distributions, on ne peut directement estimer les
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paramètres. On cherchera alors des fonctions des paramètres qui sont
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facilement estimables de manière convergente. L'ensemble de fonctions
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le plus commun qui répond à cette condition est celui des moments,
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d'où le nom de la méthode.
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La méthode classique des moments a été introduite par Pearson en
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1894. On considère un échantillon de taille $T$ dont les observations
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seront notées $y(t)$. On veut estimer le vecteur de paramètres
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$\theta$, de longueur $a$ de la distribution. On définit les moments
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$\mathbf{m} = m_1, \ldots, m_a$ de la population totale,
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représentée par la variable aléatoire $Y$, comme étant l'espérance des
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puissances de celle-ci, et donc une fonction des paramètres de la
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distribution. On considèrera le même nombre de moments que de
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paramètres à estimer.
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\begin{align}
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\label{eq:momentspopulation}
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m_i\left( \theta \right) = E \left[ Y^i \right] ,\qquad i=1,
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\ldots, a
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\end{align}
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Cette méthode consiste à résoudre un système d'équations
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\eqref{eq:momentsechantillon} où l'on égale les moments empiriques
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$m_i(\theta)$ à ceux de la distribution $\hat{m}(\mathbf{y})$.
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\begin{align}
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\label{eq:momentsechantillon}
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\left\{\begin{array}{rcl}
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m_1(\theta) &=& \frac{1}{T}\sum_{t=1}^T y_t\\
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m_2(\theta) &=& \frac{1}{T}\sum_{t=1}^T y_t^2\\
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&\vdots& \\
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m_a(\theta) &=& \frac{1}{T}\sum_{t=1}^T y_t^a
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\end{array}\right\}
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\end{align}
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L'estimateur des moments $\hat\theta_T$ est celui qui résout ce
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système.
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\section{Méthode des moments généralisée}
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\label{sec:methodeGMM}
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La méthode classique des moments utilise le même nombre d'équations
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d'estimation que de paramètres $(r=a)$. De plus, le système
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d'équations formé par celles-ci doit admettre une solution réelle
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appartenant à l'espace des paramètres $\Omega$, ce qui n'est pas
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toujours le cas. Lorsque ces deux conditions ne sont pas réunies, on
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doit choisir un vecteur de paramètres $\theta$ pour lequel les moments
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de la population $m_i$ ont une valeur la plus près possible de ceux
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de l'échantillon $\hat{m}_i$ correspondants. Cette distance est notée
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par le vecteur $g(\theta;\mathbf{y})$ et correspond au cas le plus
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simple de la méthode des moments généralisée.
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\begin{align}
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\label{eq:1}
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g(\theta;\mathbf{y}) &= \begin{bmatrix}
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m_1 - \hat{m}_1\\
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\vdots\\
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m_r - \hat{m}_r\\
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\end{bmatrix}.
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\end{align}
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Pour obtenir ces estimateurs, on cherchera plutôt à minimiser une
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fonction objectif notée $Q\left(\theta;\mathbf{y} \right)$, qui
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correspond à une norme quadratique pondérée par une matrice définie
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positive $W$:
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\begin{align}
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Q\left(\theta;\mathbf{y} \right) \equiv g(\theta;\mathbf{y})' W
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g(\theta;\mathbf{y}).
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\end{align}
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\cite{hansen1982large} nomme cette procédure «méthode des moments
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généralisée». Elle est aussi nommée «méthode du $\chi^2$ minimum» par
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\cite{berkson1980minimum}, bien qu'elle n'en soit qu'un cas
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particulier. On retrouve aussi le nom d'estimateur de distance
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minimale, par \cite{wolfowitz1957minimum}.
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\subsection{Définition}
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\label{sec:definitionGMM}
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On considère un vecteur $\mathbf{y}_{T}$ de longueur $T$ contenant les
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données $y(t)$ de l'échantillon tirées d'une population représentée
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par la variable aléatoire $Y$. On considère de plus un vecteur de
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paramètres $\theta \in \Omega$ de longueur $a$ dont la vraie valeur,
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qui est inconnue, est représentée par la constante $\theta_0$. Soit
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une fonction vectorielle de longueur $r$ de la variable aléatoire $Y$
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appelée condition de moment ou d'orthogonalité:
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\begin{align}
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\label{eq:def1condmoment}
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h\left(\theta,Y\right):\left(\mathbb{R}^a \times \mathbb{R}\right)
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\longrightarrow \mathbb{R}^r.
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\end{align}
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L'espérance de cette fonction, sous l'hypothèse $\theta =
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\mathbf{\theta_0}$, est un vecteur nul noté $\mathbf{0}_r$.
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\begin{align}
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E \left[h\left(\theta_0,Y \right) \right] = \mathbf{0}_r.
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\end{align}
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On définit aussi la fonction $g(\theta,\mathbf{y}_{T}):\mathbb{R}^a
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\longrightarrow \mathbb{R}^r$ comme étant la moyenne empirique des
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conditions de moment $h\left(\theta,y \right)$:
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\begin{align}
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\label{eq:estimateurfonctiongh}
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g(\theta,\mathbf{y}_{T}) \equiv \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T
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h\left(\theta,y(t) \right).
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\end{align}
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L’idée derrière la méthode des moments généralisée est de choisir un
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ensemble de paramètres $\theta$ de sorte que la valeur de la fonction
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$g(\theta,\mathbf{y}_{T})$ soit aussi près que possible du vecteur nul
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$\mathbf{0}_r$. Selon la norme utilisée pour mesurer cette distance,
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les propriétés de l'estimateur $\hat{\theta}_T$ vont varier. Étant
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donné les nombreuses propriétés bien établies dans le domaine des
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statistiques, on utilise la norme quadratique avec pondération,
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appelée aussi moindres carrés généralisés, qui prend la forme
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suivante:
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\begin{align}
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\label{eq:objectifGMM1}
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Q(\theta,\mathbf{y}_{T}) = \left[g(\theta,\mathbf{y}_{T}) \right]'
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W_T \left[g(\theta,\mathbf{y}_{T}) \right].
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\end{align}
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Cette fonction de minimisation permettra d'utiliser des tests
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statistiques basés sur la distribution $\chi^2$ de Pearson. La matrice
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carrée $W_T$ de dimension $r\times r$ est définie positive et est
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habituellement une fonction des données de l'échantillon
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$\mathbf{y}_{T}$ et des paramètres $\theta$. Une matrice de
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pondération optimale sera déterminée à la section
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\ref{sec:matriceWoptimaleGMM}.
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\subsection{Convergence}
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\label{sec:convergenceGMM}
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Si le nombre de paramètres $a$ est égal à celui de conditions de
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moments $r$, alors la fonction objectif atteindra un minimum de 0 au
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point $\mathbf{\hat\theta}$. On obtiendra ce dernier en résolvant
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l'équation suivante pour le paramètre $\theta$:
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\begin{align}
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g(\hat\theta_T,\mathbf{y}_{T})=0. \label{eq:paramegalecondmomentsGMM}
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\end{align}
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Lorsque le nombre de conditions de moments est plus grand que celui
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des paramètres, on ne pourra pas obtenir une solution pour l'équation
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précédente \eqref{eq:paramegalecondmomentsGMM}. La proximité entre la
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valeur de chaque condition de moment et $0$ sera déterminée par la
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matrice de pondération $W_T$. Étant donné que la fonction
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$g(\hat\theta_T,\mathbf{y}_{T})$ est la moyenne échantillonnale de la
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fonction aléatoire $h\left(\theta_0,Y \right)$, on a, par la loi des
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grands nombres, la relation suivante entre ces deux quantités:
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\begin{align}
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g(\theta,\mathbf{y}_{T}) \stackrel{P}{\longrightarrow} E
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\left[h\left(\theta,Y \right) \right]. \label{eq:normequadratique}
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\end{align}
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On considère la suite d'observations $\left\{y(t) \right\}_{t=1}^T$
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comme un processus stochastique. L'ensemble des conditions de
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régularité suivantes permet d'obtenir un estimateur convergent
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\citep{hansen1982large}.
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\begin{enumerate}
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\item Le processus stochastique $\left\{y(t) \right\}_{t=1}^T$ est
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\textbf{stationnaire}, dont la distribution conjointe de plusieurs
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observations ne change pas dans le temps:
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\begin{align}
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\label{eq:conditionGMM1.1}
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F_{Y}(y({t(1)+\tau}) ,\ldots, y({t(k)+\tau})) =
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F_{Y}(y({t(1)}),\ldots, y({t(k)})), \quad \forall \tau \in
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\mathbb{R}.
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\end{align}
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Il est aussi \textbf{ergodique}, c'est-à-dire que l'on peut déduire
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les propriétés du processus à partir d'un échantillon (ou
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réalisation) suffisamment long de celui-ci. Entre autres, la moyenne
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et la variance d'un échantillon recueilli sur une période en
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particulier sont représentatives de celles de n'importe quel autre
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intervalle de temps de ce processus. Dans ces deux dernières
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situations, on parle aussi de convergence en moyenne
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($\mathbb{L}^1$) et en norme quadratique ($\mathbb{L}^2$):
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\begin{align}
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\label{eq:conditionGMM1.2}
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\lim_{T\longrightarrow\infty}\mathrm{E}\left(\left|Y_T-Y\right|^r\right)=0,
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\quad r\in\left\{1,2\right\}.
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\end{align}
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\item L'\textbf{espace métrique} $(\Omega,\sigma)$, défini par
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l'espace des paramètres $\Omega$ et la norme valeur absolue est
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\textbf{séparable}:
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\begin{align}
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\label{eq:conditionGMM2.1}
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\sigma=\left|Y_T-Y\right|^r.
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\end{align}
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Cette condition définit l'unicité du vecteur de paramètres, car si
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la distance est nulle, les estimateurs correspondent aux vrais paramètres:
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\begin{align}
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\label{eq:conditionGMM2.2}
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\sigma = 0 &\Longleftrightarrow \mathbf{\hat\theta} = \theta_0,
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\quad \theta_0 \in \Omega.
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\end{align}
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\item La fonction $h\left(\theta,\mathbf{y}\right)$ est
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\textbf{mesurable au sens de Borel} pour chaque vecteur $\theta$,
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c'est-à-dire qu'un sous-ensemble de l'espace des paramètres $\Omega$
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existe pour chaque valeur qu'elle peut prendre. De plus, la fonction
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est continue sur l'ensemble $\Omega$ pour chaque échantillon
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$\mathbf{y}$.
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\item L'espérance de la fonction $h\left(\theta, Y \right)$ existe et
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est définie pour toute valeur $\theta \in \Omega$. De plus, par
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définition, l'espérance de la fonction pour les vrais paramètres est
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de 0:
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\begin{align*}
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E\left[h\left(\theta_0, Y \right)\right] &= 0.
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\end{align*}
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\item La séquence de matrices de pondération $\left\{ W_T
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\right\}_{T=1}^{\infty}$ converge presque sûrement, élément par
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élément, vers une constante $W_0$, en utilisant la norme valeur
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absolue définie précédemment \eqref{eq:conditionGMM2.1}.
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\end{enumerate}
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$\hat\theta_T \in \Omega$ est un estimateur convergent de $\theta$
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lorsque les conditions précédentes sont respectées.
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\begin{align}
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\hat{\theta}_T &= \operatorname{arg}\min_{\theta\in\Omega} Q(\theta,\mathbf{y}_{T}) \nonumber\\
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&= \operatorname{arg}\min_{\theta\in\Omega}
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\left[g(\theta,\mathbf{y}_{T}) \right]' W_T
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\left[g(\theta,\mathbf{y}_{T}) \right]. \label{eq:estimateurGMM}
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\end{align}
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\subsection{Matrice de pondération optimale}
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\label{sec:matriceWoptimaleGMM}
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On définit la variance-covariance $\mathbf{S}(\theta;\mathbf{y})$ de
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la moyenne échantillonnale de la fonction
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$h(\theta,\mathbf{y})$. Cette matrice est formée par l'espérance,
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élément par élément, du produit extérieur de l'estimateur par sa
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transposée, multiplié par la taille de l'échantillon $T$
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\begin{align}
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\label{eq:matricevcov1}
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\mathbf{S}(\theta;\mathbf{y}) = T \cdot E\left\{ \left[
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h(\theta,\mathbf{y})\right] \left[ h(\theta,\mathbf{y}) \right]'
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\right\} .
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\end{align}
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La variance-covariance asymptotique de la moyenne échantillonnale de
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la fonction $h(\theta_0,y(t))$ est obtenue en évaluant la matrice
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\eqref{eq:matricevcov1} au point $\mathbf{\theta_0}$.
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\begin{align}
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\mathbf{S}(\theta_0;\mathbf{y}) = T \left[\cdot \lim_{T
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\longrightarrow \infty} E \left\{ \left[
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h(\theta,\mathbf{y})\right] \left[ h(\theta,\mathbf{y})
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\right]' \right\} \right]_{\theta=\theta_0}
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\end{align}
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La valeur optimale de la matrice de pondération $W_T$ de l'équation
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\eqref{eq:estimateurGMM} est obtenue en inversant la
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variance-covariance asymptotique:
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\begin{align}
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\label{eq:matriceWinvercevcov}
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W_T = \mathbf{S}^{-1}(\theta_0;\mathbf{y}_T).
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\end{align}
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Cependant, comme on ne connaît pas la valeur de $\theta_0$, on
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utilisera l'estimateur convergent ${\mathbf{\hat\theta}}$, qui
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minimise la condition suivante:
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\begin{align}
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\label{eq:objectifGMM2}
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Q_T(\theta,\mathbf{y}_{T}) = \left[g(\theta,\mathbf{y}_{T}) \right]'
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\mathbf{S}_T^{-1}(\theta;\mathbf{y}_T)
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|
\left[g(\theta,\mathbf{y}_{T}) \right].
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|
\end{align}
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Le problème d'optimisation se note alors comme suit:
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\begin{align}
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\label{eq:estimateurGMM2}
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\hat{\theta}_T &= \operatorname{arg}\min_{\theta\in\Omega}
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Q_T(\theta,\mathbf{y}_{T}).
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|
\end{align}
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Comme la séquence $\left\{ h(\theta_0,y(t))
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\right\}_{t=-\infty}^{\infty}$ ne présente pas de corrélation
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sérielle, on pourrait estimer la variance-covariance $S_T$ de manière
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convergente en évaluant la moyenne empirique du produit extérieur de
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la condition de moment \citep[p.413]{hamilton1994time}:
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\begin{align}
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\label{eq:matponderationproduith}
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\mathbf{S}_T^{*}(\theta;\mathbf{y}_T) = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T
|
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|
\left[g\left(\theta_0,y(t) \right) \right]
|
|
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|
\left[g\left(\theta_0,y(t) \right) \right]^{\prime}.
|
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|
|
\end{align}
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L'estimateur $\mathbf{\hat{S}}_T({\mathbf{\hat\theta}};\mathbf{y}_T)$
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converge en probabilité vers la vraie valeur de la matrice
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$\mathbf{S}(\theta_0;\mathbf{y}_T)$. Étant donné que l'on estime la
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fonction $h(\theta,\mathbf{y}_{T})$ à l'aide de la fonction
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$g(\mathbf{\hat\theta};\mathbf{y}_T)$, on a aussi la convergence en
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probabilité:
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\begin{align}
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\mathbf{\hat{S}}_T({\mathbf{\hat\theta}};\mathbf{y}_T) = \frac{1}{T}
|
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|
\sum_{t=1}^T \left[g\left(\hat{\theta}_T,w(t) \right) \right]
|
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|
\left[g\left(\hat{\theta}_T,w(t) \right) \right]^{\prime}
|
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|
\stackrel{P}{\longrightarrow} \mathbf{S}(\theta_0;\mathbf{y}_T).
|
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|
\end{align}
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L'estimateur de la matrice de pondération optimale est alors défini
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comme étant l'inverse de la variance-covariance estimée:
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\begin{align}
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|
\hat{W}_T &=
|
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|
\mathbf{\hat{S}}_T^{-1}(\mathbf{\hat\theta};\mathbf{y}_T). \label{eq:matvcovGMM}
|
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|
\end{align}
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Comme cette matrice dépend de l'estimateur $\hat\theta$, qui est pour
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l'instant inconnu, elle ne pourra pas être utilisée pour une première
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optimisation de l'équation de minimisation
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\eqref{eq:estimateurGMM}. Cependant, elle pourra être utilisée dans
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une procédure itérative à la section \ref{sec:GMMtwostep}. On devra
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considérer l'utilisation d'un point de départ alternatif pour le
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vecteur de paramètres dans l'algorithme de minimisation.
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\subsection{Méthode des moments généralisée itérative}
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\label{sec:GMMtwostep}
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\nocite{wooldridge2001econometric}
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La méthode des moments généralisée itérative de
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\cite{hall2005generalized} permet de contourner le problème de
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l'estimation de la matrice
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$\mathbf{\hat{S}}_T(\mathbf{\hat\theta};\mathbf{y}_T)$. Elle consiste,
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en premier lieu, à calculer un estimateur préliminaire
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$\mathbf{\hat{\theta}}^{(0)}$, en utilisant la matrice identité $W_T =
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I_r$ dans l'équation \eqref{eq:estimateurGMM}. On suggère d'utiliser
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un vecteur de valeurs initiales $\hat{\theta}^{I}$ obtenues par une
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autre méthode d'estimation, lorsque possible, comme point de départ de
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l'optimisation numérique.
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À l'aide de l'estimateur initial $\mathbf{\hat{\theta}}^{(0)}$, on
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obtient une première évaluation de la matrice de pondération:
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\begin{align}
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|
W_T = \left[\hat{S}_T(\mathbf{\hat{\theta}}^{(0)};\mathbf{y}_T)
|
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|
|
|
\right]^{-1}.
|
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|
|
|
\end{align}
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|
En utilisant la matrice $W_T$ comme pour pondérer la fonction objectif
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|
\eqref{eq:estimateurGMM}, on obtiendra un nouvel estimateur
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|
$\hat{\theta}_T^{(1)}$.
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Par la suite, on répète cette procédure jusqu'à ce qu'on obtienne deux
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estimateurs consécutifs ($\hat{\theta}_T^{(j)}$ et
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|
$\hat{\theta}_T^{(j+1)}$) qui ne sont pas significativement
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différents, selon un critère d'arrêt $\epsilon_i < \epsilon$. Ce
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critère d'arrêt prendra ici la forme suivante, qui correspond à la
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norme euclidienne de la différence entre les deux derniers estimateurs
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obtenus:
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\begin{align}
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\label{eq:criterearret}
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\epsilon_i =
|
|
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|
\sqrt{\left[\hat\theta^{(i)}_T-\hat\theta^{(i-1)}_T\right]^{\prime}\left[\hat\theta^{(i)}_T-\hat\theta^{(i-1)}_T\right]}.
|
|
|
|
|
\end{align}
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|
On peut aussi fixer un nombre maximal d'itérations $i_{max}$ si l'on
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ne parvient pas à obtenir le niveau de précision voulu. Par contre,
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|
dans cette situation, on préfère utiliser un autre point de départ.
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Chaque estimateur $\hat{\theta}_T^{(i)}$ a la même distribution
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asymptotique. La méthode itérative a pour avantage, en pratique, que
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les estimateurs produits sont invariants d'échelle et ne dépendent pas
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de la matrice $W_T$ initiale.
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\subsection{Distribution asymptotique des estimateurs}
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\label{sec:matvcovGMM}
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On considère $\hat{\theta}_T$, la valeur qui minimise la fonction
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objectif $Q(\theta,\mathbf{y}_{T})$ \eqref{eq:objectifGMM2}. Cette
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minimisation équivaut à résoudre le système non linéaire où l'on égale
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la dérivée de l'équation d'optimisation à 0:
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\begin{align} \label{eq:premierordreGMM}
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\frac{d}{d\theta^{\prime}}Q(\theta,\mathbf{y}_{T}) &=
|
|
|
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|
\left[\left.\frac{d}{d\theta^{\prime}}g(\theta,\mathbf{y}_{T})\right|_{\theta=\hat{\theta}}
|
|
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|
\right]^{\prime} \cdot \hat{W}_T \cdot g(\theta,\mathbf{y}_{T}) \\
|
|
|
|
|
&= 0. \nonumber
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|
|
|
|
\end{align}
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|
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|
où le gradient $D'(\theta,\mathbf{y}_{T})$ est
|
|
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|
\begin{align} \label{eq:gradientGMM} D'(\theta,\mathbf{y}_{T}) &=
|
|
|
|
|
\left[\frac{d}{d\theta^{\prime}}g(\theta,\mathbf{y}_{T})
|
|
|
|
|
\right]^{\prime} \nonumber\\
|
|
|
|
|
&= \begin{bmatrix}
|
|
|
|
|
\frac{d}{d\theta_1}g_1(\theta,\mathbf{y}_{T})& \cdots & \frac{d}{d\theta_1}g_a(\theta,\mathbf{y}_{T}) \\
|
|
|
|
|
\vdots & \ddots & \vdots \\
|
|
|
|
|
\frac{d}{d\theta_k}g_1(\theta,\mathbf{y}_{T})& \cdots &
|
|
|
|
|
\frac{d}{d\theta_k}g_a(\theta,\mathbf{y}_{T})
|
|
|
|
|
\end{bmatrix}.
|
|
|
|
|
\end{align}
|
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|
|
|
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|
En appliquant le théorème central limite multivarié
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\eqref{eq:TCLmulti2} à l'estimateur des conditions de moments
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|
$g(\theta,\mathbf{y}_{T})$, on obtient que, lorsque la taille $T$ est
|
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suffisamment grande, celui-ci converge en loi vers un vecteur
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aléatoire de distribution normale multivariée de moyenne
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$\mathbf{0}_a$ et de variance-covariance
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$T^{-1}\mathbf{S}(\mathbf{\theta};\mathbf{y}_T)$:
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\begin{align}
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|
\label{eq:TCL-GMM}
|
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|
\sqrt{T} g(\theta,\mathbf{y}_{T}) \stackrel{L}{\longrightarrow}
|
|
|
|
|
N\left(\mathbf{0}_a,\mathbf{S}(\mathbf{\theta};\mathbf{y}_T)\right).
|
|
|
|
|
\end{align}
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|
Cette relation permet de conclure que l'estimateur $\hat\theta$ est
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gaussien. On n'a donc qu'à calculer sa variance-covariance
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asymptotique.
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Soit $\left\{\mathbf{\hat{S}}_T \right\}_{T=1}^{\infty}$, une séquence
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de matrices $(r \times r)$ définies positives qui convergent en
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probabilité vers la variance-covariance asymptotique:
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\begin{align*}
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|
\mathbf{\hat{S}}_T \stackrel{P}{\longrightarrow} \mathbf{S}.
|
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|
\end{align*}
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On ajoute que la fonction $g(\theta,\mathbf{y}_{T})$ doit être
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différentiable par rapport au vecteur $\theta$ pour tout échantillon
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|
$\mathbf{y}_{T}$.
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|
On doit préalablement poser un ensemble de conditions supplémentaires
|
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|
de régularité:
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\begin{enumerate}
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|
\item L'estimateur $\hat\theta_T$ converge en probabilité vers la
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vraie valeur des paramètres $\theta_0$:
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\begin{align}
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\label{eq:varasympt.1}
|
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|
\hat\theta_T \stackrel{P}{\longrightarrow} \theta_0.
|
|
|
|
|
\end{align}
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|
|
\item Le théorème central limite s'applique pour la fonction
|
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|
$g(\theta,\mathbf{y}_{T})$ \eqref{eq:TCL-GMM}.
|
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|
\item Pour toute séquence d'estimateurs $\left\{ \theta_T^{*}
|
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|
\right\}_{T=1}^{\infty}$ convergents en probabilité $\theta_T^{*}
|
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|
\stackrel{P}{\longrightarrow} \theta_0$, on peut évaluer le gradient
|
|
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|
$D^{\prime}(\theta,\mathbf{y}_{T})$ de l'équation
|
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|
|
|
$g(\theta,\mathbf{y}_{T})$ \eqref{eq:gradientGMM} à l'aide de
|
|
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|
limites:
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\begin{align}
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\label{eq:varasympt.3}
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|
D^{\prime}_T(\theta,\mathbf{y}_{T}) &\equiv plim \left\{\frac{dg(\theta,\mathbf{y}_{T})}{d\theta^{\prime}}|_{\theta=\theta_T^{*}} \right\} \nonumber\\
|
|
|
|
|
&= plim
|
|
|
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|
\left\{\frac{dg(\theta,\mathbf{y}_{T})}{d\theta^{\prime}}|_{\theta=\theta_0}
|
|
|
|
|
\right\}.
|
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|
|
|
\end{align}
|
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|
On note que les colonnes de la matrice $D$ sont linéairement
|
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|
indépendantes.
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\end{enumerate}
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Pour obtenir la distribution asymptotique de l'estimateur
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$\hat\theta$, on utilise le premier ordre du développement de Taylor
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de la fonction $g(\hat\theta,\mathbf{y}_{T})$ autour de la valeur du
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vrai paramètre $\theta_0$, tel qu'avancé par
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|
\cite{gourieroux1989statistique}:
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\begin{align}
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\label{eq:taylorfonction.g}
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g(\hat\theta,\mathbf{y}_{T}) &= g(\theta_0,\mathbf{y}_{T}) +
|
|
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|
D^{\prime}_T(\theta,\mathbf{y}_{T}) \left(\hat\theta-\theta_0
|
|
|
|
|
\right).
|
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|
\end{align}
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|
On multiplie de part et d'autre par la matrice $
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\left(\left.\frac{dg(\theta,\mathbf{y}_{T})}{d\theta^{\prime}}\right|_{\theta=\theta_T}
|
|
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|
\times W_T \right)$ de dimension $(a \times r)$:
|
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\begin{align}
|
|
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\label{eq:taylorfonction.gprod}
|
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|
\left(\left.\frac{dg(\theta,\mathbf{y}_{T})}{d\theta^{\prime}}\right|_{\theta=\theta_T}
|
|
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\times W_T\right) \times g(\hat\theta,\mathbf{y}_{T}) &=
|
|
|
|
|
\left(\left.\frac{dg(\theta,\mathbf{y}_{T})}{d\theta^{\prime}}\right|_{\theta=\theta_T}
|
|
|
|
|
\times W_T\right) \times g(\theta_0,\mathbf{y}_{T})\nonumber\\
|
|
|
|
|
&+
|
|
|
|
|
\left(\left.\frac{dg(\theta,\mathbf{y}_{T})}{d\theta^{\prime}}\right|_{\theta=\theta_T}
|
|
|
|
|
\times W_T\right) \times D^{\prime}_T(\theta,\mathbf{y}_{T})
|
|
|
|
|
\left(\hat\theta-\theta_0 \right).
|
|
|
|
|
\end{align}
|
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L'équation de premier ordre \eqref{eq:premierordreGMM} nous indique
|
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que le côté gauche de l'égalité précédente
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\eqref{eq:taylorfonction.gprod} vaut 0. On retrouve alors une
|
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expression de la distance entre l'estimateur et la vraie valeur des
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paramètres, qui dépend de la matrice de pondération, de la fonction
|
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$g(\theta_0,\mathbf{y}_{T})$ et du gradient
|
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$D^{\prime}_T(\theta,\mathbf{y}_{T})$:
|
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\begin{align}
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|
\label{eq:taylorfonction.gprod2}
|
|
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|
\left(\hat\theta-\theta_0 \right) &= -
|
|
|
|
|
\left[\left.\frac{dg(\theta,\mathbf{y}_{T})}{d\theta^{\prime}}\right|_{\theta=\theta_T}
|
|
|
|
|
\times W_T \times D^{\prime}_T(\theta,\mathbf{y}_{T}) \right]^{-1} \nonumber\\
|
|
|
|
|
&\quad\times
|
|
|
|
|
\left.\frac{dg(\theta,\mathbf{y}_{T})}{d\theta^{\prime}}\right|_{\theta=\theta_T}
|
|
|
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\times W_T \times g(\theta_0,\mathbf{y}_{T}).
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\end{align}
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La condition de régularité \eqref{eq:varasympt.3} permet la
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convergence de chaque rangée de l'estimateur
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$D^{\prime}_T(\theta,\mathbf{y}_{T})$ vers celles du gradient
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$D^{\prime}(\theta_0,\mathbf{y}_{T})$. De plus, l'équation
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\eqref{eq:taylorfonction.gprod2} implique la relation de convergence
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suivante:
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\begin{align}
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\label{eq:taylorfonction.gprod3}
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\sqrt{T} \left(\hat\theta-\theta_0 \right)
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&\stackrel{P}{\longrightarrow}
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-\left\{D(\theta,\mathbf{y}_{T})W_TD^{\prime}(\theta,\mathbf{y}_{T})
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\right\}^{-1} \nonumber\\
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&\quad\times \left\{D(\theta,\mathbf{y}_{T})W_T\sqrt{T} \cdot
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g(\theta_0,\mathbf{y}_{T}) \right\}.
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\end{align}
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Afin de simplifier la notation, on définit la constante
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$C(\theta,\mathbf{y}_{T})$:
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\begin{align*}
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C(\theta,\mathbf{y}_{T})=-\left\{D(\theta,\mathbf{y}_{T})W_TD^{\prime}
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(\theta,\mathbf{y}_{T}) \right\}^{-1} \times
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D(\theta,\mathbf{y}_{T})W_T.
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\end{align*}
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L'équation \eqref{eq:taylorfonction.gprod3} devient
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\begin{align}
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\label{eq:taylorfonction.gprod4}
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\sqrt{T} \left(\hat\theta-\theta_0 \right)
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&\stackrel{P}{\longrightarrow} C(\theta,\mathbf{y}_{T})\sqrt{T}
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\cdot g(\theta_0,\mathbf{y}_{T}).
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\end{align}
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En combinant la relation \eqref{eq:TCL-GMM}, où l'on applique le
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théorème central limite à la fonction $g(\theta_0,\mathbf{y}_{T})$,
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avec la méthode delta multivariée \eqref{eq:deltamethodmult}, on
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retrouve la forme suivante, avec une convergence en loi cependant,
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puisque celle-ci est moins forte que celle en probabilité:
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\begin{align}
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\sqrt{T} (\hat{\theta}-\theta_0) \stackrel{L}{\longrightarrow}
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N(0,\mathcal{J}_0^{-1})
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\end{align}
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où
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\begin{align}
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\mathcal{J}_0^{-1} &=
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C(\theta,\mathbf{y}_{T})\left\{W_T\right\}^{-1}C(\theta,\mathbf{y}_{T})
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\nonumber\\
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|
|
&= \left\{D(\theta,\mathbf{y}_{T})W_TD^{\prime}
|
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|
(\theta,\mathbf{y}_{T}) \right\}^{-1} D(\theta,\mathbf{y}_{T})W_T
|
|
|
|
|
\left\{W_T\right\}^{-1}\nonumber\\
|
|
|
|
|
&\quad\times W_T D^{\prime}(\theta,\mathbf{y}_{T})
|
|
|
|
|
\left\{D(\theta,\mathbf{y}_{T})W_TD^{\prime} (\theta,\mathbf{y}_{T})
|
|
|
|
|
\right\}^{-1}\nonumber\\
|
|
|
|
|
&=
|
|
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|
|
\left\{D(\theta,\mathbf{y}_{T})W_TD^{\prime}(\theta,\mathbf{y}_{T})\right\}^{-1}. \label{matricevcovparamGMMnc}
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|
\end{align}
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\section{Estimation sous contraintes}
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\label{sec:estimGMMcontraint}
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La méthode des moments généralisée suppose que le vrai vecteur de
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paramètres $\theta_0$ appartient à l'ensemble $\Omega$. En pratique,
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les paramètres sont souvent soumis à certaines contraintes à
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l'égalité.
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On définit un ensemble de $q$ contraintes linéaires implicites
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appliquées au vecteur de paramètres $\theta$ de longueur $a$:
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\begin{align}
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\label{eq:contraintelin0}
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\left\{
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|
\begin{array}{rcl}
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|
r_{(1,1)}\theta_1 + \ldots + r_{(1,a)}\theta_a &=& r_{(1,0)}\\
|
|
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|
\ldots \\
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|
r_{(q,1)}\theta_1 + \ldots + r_{(q,a)}\theta_a &=& r_{(q,0)}
|
|
|
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|
\end{array}
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|
\right\}.
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|
\end{align}
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On peut les présenter sous la forme d'un système matriciel:
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\begin{align}
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\label{eq:contraintelin}
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\underbrace{
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|
\begin{bmatrix}
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|
r_{(1,1)}&\ldots&r_{(1,a)}\\
|
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|
\vdots&\ddots&\vdots\\
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|
r_{(q,1)}&\ldots&r_{(q,a)}\\
|
|
|
|
|
\end{bmatrix}}_{\mathbf{R}} \times \underbrace{\begin{bmatrix}
|
|
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|
|
\theta_1\\
|
|
|
|
|
\vdots\\
|
|
|
|
|
\theta_a
|
|
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|
|
\end{bmatrix}}_{\mathbf{\theta}} &= \underbrace{\begin{bmatrix}
|
|
|
|
|
r_{(1,0)}\\
|
|
|
|
|
\vdots\\
|
|
|
|
|
r_{(q,0)}
|
|
|
|
|
\end{bmatrix}}_{\mathbf{r}}.
|
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|
|
\end{align}
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Afin de les inclure dans un problème de minimisation, on préfèrera
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utiliser la notation $a(\theta) = R\theta-r$. On notera au passage
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que le gradient du vecteur de contraintes équivaut à la matrice de
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coefficients:
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\begin{align}
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\label{eq:gradientcontrainte}
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\frac{\partial}{\partial\theta^{\prime}} a(\theta) = R.
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|
\end{align}
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Ainsi, on peut estimer les paramètres de la distribution contrainte à
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l'aide de la méthode des moments généralisée, de manière analogue à la
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distribution non contrainte, comme il a été présenté à la section
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précédente. On utilisera la technique du multiplicateur de Lagrange
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afin d'inclure la contrainte $a(\theta)$ dans l'équation de
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minimisation \eqref{eq:estimateurGMM2}. Le vecteur $\gamma$ associe un
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multiplicateur à chaque contrainte linéaire. On définit le lagrangien
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$\mathcal{L}(\tilde{\theta})$ mettant en relation la fonction objectif
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$Q_T(\theta)$ \eqref{eq:objectifGMM2} et les contraintes $a(\theta)$:
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\begin{equation}
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\label{eq:estimateurGMMlagrange}
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\mathcal{L}(\theta) = - Q_T(\theta) - a(\theta)^{\prime} \gamma.
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|
\end{equation}
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|
L'estimateur contraint $\tilde{\theta}$ est obtenu en maximisant ce
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lagrangien:
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\begin{align}
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\label{eq:lagrangienGMMcontraint}
|
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|
\tilde{\theta} = \operatorname{arg}\max_{\theta\in\Omega}
|
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|
\mathcal{L}(\theta).
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|
\end{align}
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La solution optimale s'obtient en résolvant les conditions de premier
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ordre par rapport au vecteur de paramètres $\theta$ et celui des
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multiplicateurs de Lagrange $\gamma$:
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\begin{align}
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|
\frac{\partial}{\partial\theta}Q_T(\tilde\theta) -
|
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|
\frac{\partial}{\partial\theta^{\prime}}a(\tilde\theta)^{\prime}\gamma_{\scriptscriptstyle
|
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T} &= 0\label{eq:premierordreGMMlagrange1} \\ a(\tilde\theta) &=
|
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0. \label{eq:premierordreGMMlagrange2}
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|
\end{align}
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On s'intéresse aussi à la distribution asymptotique de cet estimateur
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contraint. Pour ce faire, on doit développer les conditions de premier
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ordre comme il a été fait à la section \ref{sec:matvcovGMM} pour
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l'estimateur non contraint.
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\subsection{Distribution asymptotique des estimateurs contraints}
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\label{sec:matvcovGMMconst}
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Supposons que les conditions de premier ordre sont deux fois
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continûment dérivables par rapport au vecteur $\theta$. On développe
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les équations \eqref{eq:premierordreGMMlagrange1} et
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\eqref{eq:premierordreGMMlagrange2} autour de la vraie valeur du
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paramètre contraint $\theta_0$. Puis, on les multiplie par les facteurs
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$\frac{1}{\sqrt{T}}$ et $\sqrt{T}$ respectivement. Notons que la
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fonction $a(\theta)$ vaut 0 au point $\theta_0$, ce qui permettra de
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simplifier la seconde équation:
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\begin{subequations} \label{eq:premierordreGMMlagrange1.1-2}
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\begin{align}
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|
\frac{1}{\sqrt{T}} \frac{\partial}{\partial\theta}Q_T(\theta_0) +
|
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\frac{1}{T}
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|
\frac{\partial^2}{\partial\theta\partial\theta^{\prime}}Q_T(\theta_0)
|
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|
\sqrt{T} (\tilde\theta - \theta_0) -
|
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|
\frac{\partial}{\partial\theta^{\prime}}a(\tilde\theta)^{\prime}\frac{\gamma_{\scriptscriptstyle
|
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T}}{\sqrt{T}} &\approx 0 \label{eq:premierordreGMMlagrange1.1}\\
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|
\frac{\partial}{\partial\theta^{\prime}} a(\theta_0) \sqrt{T}
|
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|
(\tilde\theta - \theta_0) &\approx
|
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|
0. \label{eq:premierordreGMMlagrange1.2}
|
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|
\end{align}
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|
\end{subequations}
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On définit la matrice d'information de Fisher comme étant la limite de
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l'espérance de la valeur de la dérivée seconde de la fonction
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objectif. Au point $\theta_0$, on identifie l'estimateur de cette
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matrice par $\mathcal{J}_0$, la variance-covariance de l'estimateur
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non contraint \eqref{matricevcovparamGMMnc}:
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\begin{align}
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|
\label{eq:fisherJGMMlagrange}
|
|
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|
\mathcal{J}_0 &= \lim_{T\to\infty} -\frac{1}{T}
|
|
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|
\frac{\partial^2}{\partial\theta\partial\theta^{\prime}}Q_T(\theta_0).
|
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|
|
\end{align}
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|
On reprend l'équivalent asymptotique de l'équation
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\eqref{eq:premierordreGMMlagrange1.1} pour l'estimateur non contraint:
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\begin{align}
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|
\frac{1}{\sqrt{T}} \frac{\partial}{\partial\theta}Q_T(\theta_0) -
|
|
|
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|
\mathcal{J}_0 \sqrt{T} (\hat\theta - \theta_0) &\approx
|
|
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|
0\label{eq:premierordreGMMnc1.1}.
|
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|
\end{align}
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|
En combinant ces deux dernières expressions, on peut formuler les
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conditions de premier ordre \eqref{eq:premierordreGMMlagrange1.1-2}
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comme étant asymptotiquement des fonctions linéaires de l'estimateur
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non contraint $\sqrt{T} (\hat\theta - \theta_0)$:
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\begin{align}
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|
\mathcal{J}_0 \sqrt{T} (\hat\theta - \theta_0) - \mathcal{J}_0
|
|
|
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|
\sqrt{T} (\tilde\theta - \theta_0) -
|
|
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|
\frac{\partial}{\partial\theta}a(\theta_0)^{\prime}\frac{\gamma_{\scriptscriptstyle
|
|
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T}}{\sqrt{T}} &\approx 0 \label{eq:premierordreGMMlagrange2.1}\\
|
|
|
|
|
\frac{\partial}{\partial\theta^{\prime}} a(\theta_0) \sqrt{T}
|
|
|
|
|
(\tilde\theta - \theta_0) &\approx
|
|
|
|
|
0. \label{eq:premierordreGMMlagrange2.2}
|
|
|
|
|
\end{align}
|
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En réorganisant la première équation
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\eqref{eq:premierordreGMMlagrange2.1}, on obtient:
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\begin{align}
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\label{eq:premierordreGMMlagrange3.1}
|
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|
\sqrt{T} (\tilde\theta - \theta_0) \approx \sqrt{T} (\hat\theta -
|
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\theta_0) - \mathcal{J}_0^{-1}
|
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|
\frac{\partial}{\partial\theta}a(\theta_0)^{\prime}\frac{\gamma_{\scriptscriptstyle
|
|
|
|
|
T}}{\sqrt{T}}.
|
|
|
|
|
\end{align}
|
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|
En la reportant dans la seconde équation
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|
\eqref{eq:premierordreGMMlagrange2.2}, on obtient:
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|
\begin{align}
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|
\label{eq:premierordreGMMlagrange3.2}
|
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|
\frac{\partial}{\partial\theta^{\prime}} a(\theta_0) \sqrt{T}
|
|
|
|
|
(\hat\theta - \theta_0) - \frac{\partial}{\partial\theta^{\prime}}
|
|
|
|
|
a(\theta_0) \mathcal{J}_0^{-1}
|
|
|
|
|
\frac{\partial}{\partial\theta}a(\theta_0)^{\prime}\frac{\gamma_{\scriptscriptstyle
|
|
|
|
|
T}}{\sqrt{T}} + \frac{\partial}{\partial\theta^{\prime}}
|
|
|
|
|
a(\theta_0) \sqrt{T} (\tilde\theta - \theta_0) &\approx 0.
|
|
|
|
|
\end{align}
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|
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|
Comme le rang de la matrice $\frac{\partial}{\partial\theta^{\prime}}
|
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a(\theta_0)$ est égal au nombre de contraintes $r$, alors
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$\frac{\partial}{\partial\theta^{\prime}} a(\theta_0)
|
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|
\mathcal{J}_0^{-1}
|
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|
\frac{\partial}{\partial\theta}a(\theta_0)^{\prime}$ est inversible,
|
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|
et l'on peut donc isoler le multiplicateur de Lagrange
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|
$\frac{\gamma_{\scriptscriptstyle T}}{\sqrt{T}}$ en fonction des
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estimateurs contraints $\sqrt{T} (\tilde\theta - \theta_0)$ et non
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contraints $\sqrt{T} (\hat\theta - \theta_0)$:
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\begin{align}
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\label{eq:LagrangienJ.GMM}
|
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\frac{\gamma_{\scriptscriptstyle T}}{\sqrt{T}} & \approx
|
|
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|
|
\left(\frac{\partial}{\partial\theta^{\prime}} a(\theta_0)
|
|
|
|
|
\mathcal{J}_0^{-1}
|
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|
|
\frac{\partial}{\partial\theta}a(\theta_0)^{\prime} \right)^{-1}
|
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|
|
\frac{\partial}{\partial\theta^{\prime}} a(\theta_0) \sqrt{T}
|
|
|
|
|
(\hat\theta - \theta_0).
|
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|
|
|
\end{align}
|
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On définit l'estimateur contraint en fonction de l'estimateur non
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contraint en utilisant le lagrangien \eqref{eq:LagrangienJ.GMM} dans
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|
la condition \eqref{eq:premierordreGMMlagrange3.1}:
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\begin{align}
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\label{eq:contraintvsncGMM}
|
|
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|
\sqrt{T} (\tilde\theta - \theta_0) &\approx
|
|
|
|
|
\left(I-\underbrace{\mathcal{J}_0^{-1}\frac{\partial}{\partial\theta}a(\theta_0)^{\prime}\left(\frac{\partial}{\partial\theta^{\prime}}
|
|
|
|
|
a(\theta_0) \mathcal{J}_0^{-1}
|
|
|
|
|
\frac{\partial}{\partial\theta}a(\theta_0)^{\prime}
|
|
|
|
|
\right)^{-1}\frac{\partial}{\partial\theta^{\prime}} a(\theta_0)
|
|
|
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|
}_{P}\right)\mathcal{J}_0^{-1}\sqrt{T} (\hat\theta - \theta_0) \\
|
|
|
|
|
& \approx \left(I-P\right)\mathcal{J}_0^{-1}\sqrt{T} (\hat\theta -
|
|
|
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|
\theta_0). \nonumber
|
|
|
|
|
\end{align}
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La variance asymptotique de l'estimateur contraint est donc, à partir
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du résultat précédent \eqref{eq:contraintvsncGMM} et de la définition
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\eqref{eq:premierordreGMMnc1.1}:
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\begin{align}
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\label{eq:VcontraintGMM}
|
|
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|
V\left[\sqrt{T} (\tilde\theta - \theta_0) \right] =
|
|
|
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|
\left(I-P\right)\mathcal{J}_0^{-1}.
|
|
|
|
|
\end{align}
|
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L'estimateur $\tilde\theta$ suit donc asymptotiquement une
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distribution normale multivariée de moyenne $\theta_0$ et de variance
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$T\left(I-P\right)\mathcal{J}_0^{-1}$:
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\begin{align}
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\label{eq:distcontraintGMM}
|
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|
\tilde\theta &\sim
|
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|
\mathcal{N}\left(\theta_0,T\left(I-P\right)\mathcal{J}_0^{-1}\right).
|
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\end{align}
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\section{Tests d'hypothèses paramétriques}
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\label{sec:testparam}
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Les tests d'hypothèses paramétriques sont utilisés afin d'évaluer une
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hypothèse concernant les paramètres d'une distribution, en fonction
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d'un échantillon de données. Afin d'effectuer ces tests, on présume
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que la différence entre l'estimateur $\hat\theta$ et la vraie valeur
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des paramètres $\theta_0$ suit une distribution normale
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multivariée. Les hypothèses sont habituellement formulées sous la
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forme de contraintes linéaires, ainsi, les statistiques de test sont
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obtenues à partir du calcul matriciel. Les trois tests les plus
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couramment utilisés dans le cadre de l'estimation par maximum de
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vraisemblance peuvent être adaptés à la méthode des moments
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généralisée \citep{newey1994large}. Pour l'ensemble de ces tests,
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l'hypothèse nulle correspond à la contrainte linéaire suivante:
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\begin{equation}
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\label{eq:hypcontraintelin}
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H_0: a(\theta) = R\theta - r = 0.
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\end{equation}
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\subsection{Test de Wald}
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\label{sec:testwald}
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Le test de Wald permet de vérifier si la différence entre l'estimateur
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non contraint $\hat\theta$ et l'estimateur contraint $\tilde\theta$
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est significative. Les contraintes linéaires posées ne seront pas
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applicables lorsque le résultat est positif. Pour ce faire, on doit
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connaître la distribution asymptotique de celle-ci. Comme la
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distribution asymptotique des deux estimateurs est normale, alors
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celle de cette différence l'est aussi:
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\begin{align}
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\label{eq:7}
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(\hat\theta - \tilde\theta) \sim \mathcal{N}(0,TP\mathcal{J}_0^{-1}).
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\end{align}
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On obtient l'espérance et la variance de la statistique
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$\sqrt{T}\left(\hat\theta - \tilde\theta\right)$ en utilisant le fait
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que la somme de deux variables aléatoires normales l'est aussi:
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\begin{align}
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\label{eq:moyennevariancesomme}
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E\left[\sqrt{T}\left(\hat\theta - \tilde\theta\right) \right] &=
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2014-01-30 02:09:15 +00:00
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E\left[\sqrt{T}\left(\hat\theta - \theta_0\right) \right] +
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E\left[\sqrt{T}\left(\theta_0 - \tilde\theta\right) \right]\nonumber\\
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2014-01-25 01:18:35 +00:00
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&= 0 - 0 \nonumber\\
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2013-12-03 02:30:57 +00:00
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&= 0 \\
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V\left[\sqrt{T}\left(\hat\theta - \tilde\theta\right) \right] &=
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2014-01-25 01:18:35 +00:00
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V\left[\sqrt{T}\left(\hat\theta - \theta_0\right) \right] +
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|
V\left[\sqrt{T}\left(\theta_0 - \tilde\theta\right) \right]\nonumber\\
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2014-01-30 02:09:15 +00:00
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&= T\left(I+(P-I)\right)\mathcal{J}_0^{-1}\nonumber\\
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&= TP\mathcal{J}_0^{-1}.
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2013-12-03 02:30:57 +00:00
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\end{align}
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On définit la statistique $\chi^{WALD,1}$, qui a asymptotiquement une
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distribution $\chi^2$ avec $q$ degrés de liberté:
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\begin{align}
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\label{eq:statistiqueWald}
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\chi^{WALD,1} &= T \left(\hat\theta - \tilde\theta\right)^{\prime} P
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\left(\hat\theta - \tilde\theta\right) \\
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&=T \left(\hat\theta - \tilde\theta\right)^{\prime}
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\mathcal{J}_0^{-1}\frac{\partial}{\partial\theta}a(\theta_0)^{\prime}\left(\frac{\partial}{\partial\theta^{\prime}}
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a(\theta_0) \mathcal{J}_0^{-1}
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\frac{\partial}{\partial\theta}a(\theta_0)^{\prime}
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\right)^{-1}\frac{\partial}{\partial\theta^{\prime}} a(\theta_0)
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|
\left(\hat\theta - \tilde\theta\right). \nonumber
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\end{align}
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On rejettera l'hypothèse nulle \eqref{eq:hypcontraintelin} lorsque la
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valeur de la statistique $\chi^{WALD,1}$ sera supérieure à un seuil
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critique $\chi_{q,1-\alpha}^2$ au niveau de confiance $1-\alpha$.
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Une version asymptotiquement équivalente de ce test qui ne requiert
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pas de calculer la valeur de l'estimateur contraint existe. Ce test
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est équivalent lorsque les contraintes définissent certains paramètres
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comme des constantes. On vérifie si un cas particulier d'une
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distribution s'applique, par exemple avec celle de Laplace asymétrique
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généralisée.
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On définit alors la statistique $\chi^{WALD,2}$, qui a aussi
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asymptotiquement une distribution $\chi^2$ avec $q$ degrés de
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liberté. Par contre, ici, on teste si la valeur de la contrainte
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linéaire est significativement différente de 0:
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\begin{align}
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\label{eq:statistiqueWald2}
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\chi^{WALD,2} &= T a^{\prime}(\hat\theta)
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\left(\frac{\partial}{\partial\theta^{\prime}} a(\theta_0)
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\mathcal{J}_0^{-1}
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\frac{\partial}{\partial\theta}a^{\prime}(\theta_0) \right)^{-1}
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a(\hat\theta).
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\end{align}
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\subsection{Test du multiplicateur de Lagrange}
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\label{sec:testscore}
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Le test du multiplicateur de Lagrange, ou du score, introduit par
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\cite{newey1987hypothesis}, est basé uniquement sur l'estimateur
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contraint et est équivalent asymptotiquement au test de Wald présenté
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à la section précédente. Il vérifie l'application de la contrainte
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\eqref{eq:contraintelin} à l'estimateur $\tilde\theta$. Selon la
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définition du lagrangien \eqref{eq:estimateurGMMlagrange}, si la
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contrainte est vérifiée, alors la restriction $a(\tilde\theta)$ vaudra
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0. Selon la condition de premier ordre
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\eqref{eq:premierordreGMMlagrange2}, la dérivée de la fonction
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objectif de l'estimateur non contraint
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$\frac{\partial}{\partial\theta}Q_T(\theta)$, le score, $\tilde\theta$
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devrait aussi être égale à 0. On cherchera donc à tester si cette
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valeur est significativement différente de 0.
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On définit la statistique du multiplicateur de Lagrange $\chi^{LM,1}$,
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qui a asymptotiquement une distribution $\chi^2_q$ avec $q$ degrés de
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liberté:
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\begin{align}
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\label{statistiqueLM}
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\chi^{LM,1} &= T \frac{\partial}{\partial\theta}Q_T(\tilde\theta) P
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\frac{\partial}{\partial\theta}Q_T(\tilde\theta).
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\end{align}
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On rejettera l'hypothèse nulle \eqref{eq:hypcontraintelin} lorsque la
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valeur de la statistique $\chi^{LM,1}$ sera supérieure à un seuil
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critique $\chi_{q,1-\alpha}^2$ au niveau de confiance $1-\alpha$.
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On peut construire un test équivalent, basé sur la valeur du
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multiplicateur, dont la matrice de variance-covariance est l'inverse
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de celle de la contrainte. On définit alors la statistique
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$\chi^{LM,2}$ suivante:
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\begin{align}
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\label{eq:statistiqueLM2}
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\chi^{LM,2} &= T \gamma^{\prime}
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\frac{\partial}{\partial\theta^{\prime}} a(\theta_0)
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\mathcal{J}_0^{-1}
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\frac{\partial}{\partial\theta}a^{\prime}(\theta_0) \gamma.
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\end{align}
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\subsection{Test basé sur la statistique de métrique de distance}
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La statistique de métrique de distance est basée sur la différence
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entre les valeurs minimales de la fonction objectif $Q_T(\theta)$
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obtenues lors de l'optimisation avec contraintes
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\eqref{eq:estimateurGMMlagrange} et sans contraintes
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\eqref{eq:estimateurGMM}.
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On définit la statistique $\chi^{DM}$:
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\begin{align}
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\label{statistiqueD}
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\chi^{DM} &= -T \left[Q_T(\tilde\theta) - Q_T(\hat\theta)\right].
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\end{align}
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Cette statistique a asymptotiquement une distribution $\chi^2_q$ avec
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$q$ degrés de liberté. Elle est l'analogue de la statistique du ratio
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de vraisemblance dans le cadre de l'estimation par la méthode du
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maximum de vraisemblance.
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Le test basé sur la métrique de distance vérifie que la contrainte
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\eqref{eq:contraintelin} posée lors de l'estimation du vecteur
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$\tilde\theta$ est valide. Un des désavantages de ce test est qu'il
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requiert deux optimisations. Par contre, on peut facilement récupérer
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les valeurs de $Q_T(\theta)$ lors de l'estimation.
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On rejettera l'hypothèse nulle \eqref{eq:hypcontraintelin} lorsque la
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valeur de la statistique $\chi^{DM}$ sera supérieure à un seuil
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critique $\chi_{q,1-\alpha}^2$ au niveau de confiance $1-\alpha$.
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\subsection{En résumé}
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\label{sec:resumetests}
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On rassemble les différentes statistiques permettant d'effectuer un
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test d'hypothèse paramétrique à la table \ref{tab:testsparamGMM}.
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\begin{table}[!ht]
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|
\centering
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|
\begin{tabular}{cc}
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\hline
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\textbf{Statistique} & \textbf{Valeur} \\
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\hline
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$\chi^{WALD,1}$ & $T \left(\hat\theta - \tilde\theta\right)^{\prime}
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\mathcal{J}_0^{-1}\frac{\partial}{\partial\theta}a(\theta_0)^{\prime}\left(\frac{\partial}{\partial\theta^{\prime}}
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a(\theta_0) \mathcal{J}_0^{-1}
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\frac{\partial}{\partial\theta}a(\theta_0)^{\prime}
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\right)^{-1}\frac{\partial}{\partial\theta^{\prime}} a(\theta_0)
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\left(\hat\theta - \tilde\theta\right)$ \\
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$\chi^{WALD,2}$ & $T a^{\prime}(\hat\theta)
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\left(\frac{\partial}{\partial\theta^{\prime}} a(\theta_0)
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\mathcal{J}_0^{-1}
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\frac{\partial}{\partial\theta}a^{\prime}(\theta_0) \right)^{-1}
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a(\hat\theta)$ \\
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$\chi^{LM,1}$ & $T \frac{\partial}{\partial\theta}Q_T(\tilde\theta) P
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\frac{\partial}{\partial\theta}Q_T(\tilde\theta)$ \\
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$\chi^{LM,2}$ & $T \gamma^{\prime}
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\frac{\partial}{\partial\theta^{\prime}} a(\theta_0)
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|
\mathcal{J}_0^{-1}
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|
\frac{\partial}{\partial\theta}a^{\prime}(\theta_0) \gamma$ \\
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$\chi^{DM}$ & $-T \left[Q_T(\tilde\theta) - Q_T(\hat\theta)\right]$ \\
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\hline
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|
\end{tabular}
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\caption{Tests d'hypothèse paramétriques pour la méthode des moments généralisée}
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\label{tab:testsparamGMM}
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\end{table}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "gabarit-maitrise"
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%%% End:
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