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TeX
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\chapter*{Introduction}
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\phantomsection\addcontentsline{toc}{chapter}{Introduction} % inclure dans TdM
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L'utilisation de la distribution de Laplace asymétrique généralisée
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dans le cadre de la modélisation des rendements financiers est de plus
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en plus courante dans les milieux académiques et pratiques. Entre
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autres, elle présente une alternative intéressante au modèle de
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Black-Scholes pour l'évaluation des options de type européennes. De
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plus, elle peut être utilisée pour modéliser les rendements
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obligataires à long terme et les variations du taux de
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change. Cependant, la littérature actuelle présente peu d'outils qui
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facilitent l'utilisation en pratique de cette distribution. La
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principale motivation derrière le travail de recherche et de synthèse
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présenté dans ce texte a été de développer certains outils qui
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permettent l'estimation des paramètres de la distribution et
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l'approximation de celle-ci. De plus, plusieurs tests statistiques
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sont présentés afin d'évaluer la validité du modèle estimé et de
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certaines contraintes linéaires qu'on pourrait lui appliquer.
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Au chapitre 1, on présente les différents types de modèles financiers
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ainsi que le risque associé à la modélisation. On introduit aussi
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différents concepts théoriques entourant les rendements
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financiers. Puis, on dresse un historique des modèles financiers ayant
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mené à l'utilisation de la distribution de Laplace asymétrique
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généralisée.
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Au chapitre 2, on introduit les processus gamma et de Wiener qui sont
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les deux composantes essentielles du processus de Laplace. Puis, on
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présente les principales caractéristiques de la distribution de
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Laplace asymétrique généralisée. Enfin, on présente quelques cas
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particuliers de celle-ci et on fait le lien avec le modèle
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variance-gamma de Madan et Seneta.
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Au chapitre 3, on présente la méthode du point de selle qui permet
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d'effectuer l'approximation de la densité et de la fonction de
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répartition lorsqu'elles n'ont pas de forme analytique. On applique
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ensuite cette méthode à la distribution de Laplace asymétrique
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généralisée.
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Au chapitre 4, on présente la méthode des moments généralisée ainsi
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que son utilisation dans le cadre de l'estimation sous contraintes. On
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présente ensuite certains tests d'hypothèse paramétriques.
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Au chapitre 5, on présente la méthode des équations d'estimation
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optimales ainsi qu'une version légèrement modifiée qui diminue la
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quantité de calcul nécessaire.
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Au chapitre 6, on applique les méthodes d'estimation des deux
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chapitres précédents à la distribution de Laplace asymétrique
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généralisée. On présente en premier lieu une méthode qui permet
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d'obtenir un point de départ pour l'algorithme d'optimisation. Puis,
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on détaille les résultats obtenus.
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Au chapitre 7, on présente les tests de normalité de Shapiro-Wilk et
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d'Epps-Pulley, puis ceux d'adéquation du $\chi^2$ de Pearson, celui de
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Kolmogorov-Smirnov ainsi qu'un autre basé sur la fonction
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génératrice des moments.
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Au chapitre 8, on présente différentes méthodes pour l'évaluation
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d'options. On présente d'abord quelques notions liées aux produits
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dérivés, puis on détaille trois méthodes pouvant être utilisées avec
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la distribution de Laplace asymétrique généralisée. Enfin, on présente
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quelques particularités liées à certains titres financiers.
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Au chapitre 9, on présente un exemple d'application des outils
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développés aux chapitres 3 à 8 avec un ensemble de données.
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Enfin, on présente en annexe certaines notions de théorie des
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probabilités et de statistique.
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "gabarit-maitrise"
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%%% End:
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