Memoire/depotfinal/908144032/annexe1.tex

\chapter{Éléments de théorie des probabilités}

\section{Définitions de base}
\label{sec:introvariablealeatoire}

Une \textbf{variable aléatoire} est une variable dont la valeur est
déterminée par une expérience aléatoire. On associe une probabilité à
chacune des valeurs possibles. On appelle \textbf{évènement} tout
ensemble de réalisations possible de l'expérience
aléatoire. L'entièreté de tous les évènements se nomme
l'\textbf{ensemble fondamental} et est notée $\Omega$.

Une \textbf{probabilité} associée à un évènement $A$ doit satisfaire
un ensemble de trois axiomes \citep{dodge2004statistique}.
\begin{enumerate}
\item Une probabilité est une valeur comprise entre 0 et 1:
  \begin{equation}
    \label{eq:condition1probabilite}
    0 \leq P(A) \leq 1.
  \end{equation}

\item La probabilité de l'évènement correspondant à l'ensemble
  fondamental est 1:
  \begin{equation}
    \label{eq:condition2probabilite}
    P(\Omega) = 1.
  \end{equation}

\item Pour chaque séquence d'évènements mutuellement exclusifs
  $A_1,A_2,\ldots$:
  \begin{equation}
    \label{eq:condition3probabilite}
    P \left[ \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right] = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i).
  \end{equation}
\end{enumerate}

Le respect de ces conditions devra notamment être vérifié lors de
l'utilisation de méthodes numériques.

Toujours selon \cite{dodge2004statistique}, on définit:
\begin{enumerate}
\item La \textbf{densité}, notée $f_X(x)$, permet de déterminer la
  probabilité qu'une variable aléatoire $X$ prenne une valeur dans un
  intervalle fixé $\left[ a,b \right]$. En intégrant cette fonction
  sur l'intervalle $\left[ a,b \right]$, on obtient cette probabilité:
  \begin{equation}
    \label{eq:densitedefinition}
    P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f_X(x) dx.
  \end{equation}
\item La \textbf{fonction de répartition}, notée $F_X(x)$, d’une
  variable aléatoire est définie comme la probabilité que celle-ci
  prenne une valeur inférieure ou égale à un certain nombre $b \in
  \mathbb{R}$:
  \begin{equation}
    \label{eq:repartitiondefinition}
    F_X(b) = P(X \leq b) = \int_{-\infty}^{b} f_X(x) dx.
  \end{equation}
\end{enumerate}


\section{Transformées d'une variable aléatoire}
\label{sec:transformees}

Les transformées d'une variable aléatoire résultent de l'application
d'un opérateur intégral, ou à noyau, sur la fonction de densité.

Certaines d'entre elles permettent de déterminer entièrement leur
distribution. Parmi celles-ci, on retrouve la fonction caractéristique
et les fonctions génératrices des moments et des cumulants, qui sont
les plus couramment utilisées.

Certaines transformées permettent de modifier la distribution d'une
variable aléatoire. Parmi celles-ci, la transformée d'Esscher, qui est
employée en actuariat et en finance, est aussi étroitement liée au
concept d'utilité en sciences économiques.

\subsection{La fonction caractéristique}
\label{sec:fonctioncaract}

\subsubsection{Transformée de Fourier}
\label{sec:transfourier}

La transformée de Fourier est une opération qui transforme une
fonction $g(\xi)$ en une autre $f(x)$ par l'intégration, sur son
domaine, du produit $\mathrm{e}^{-i x\xi}\,g(\xi)$:
\begin{equation}
  \label{eq:transfourier}
  \mathcal{F}(g):x\mapsto f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-ix\xi}\,g(\xi)\,\mathrm{d}\xi.
\end{equation}

On définit aussi la transformée de Fourier inverse
\index{Transformée!de Fourier!inverse}, qui permet de retrouver la
fonction initiale $g(\xi)$ à partir de la transformée $f(x)$:
\begin{equation}
  \label{eq:transinvfourier}
  g(\xi)=\mathcal{F}^{-1}(f(x)) = {1 \over 2\pi}\, \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{ix \xi}\,f(x)\, \mathrm{d}x.
\end{equation}

\subsubsection{Définition}
\label{sec:deffncaract}

La fonction caractéristique \index{Fonction!caractéristique} est
définie comme étant la transformée de Fourier inverse de la densité
\index{Fonction!de densité}, dans le cas continu, ou de masse de
probabilité \index{Fonction!de masse de probabilité}, dans le cas
discret. C'est donc une application directe de
\eqref{eq:transinvfourier} qui s'exprime par l'intégrale de
Riemann-Stieltjes:
\begin{equation}
  \label{eq:deffncaract}
  \phi_X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{isx} dF_X(x).
\end{equation}

Cette intégrale est toujours convergente, comme le démontre
\cite{stuart1987kendall}.

\subsubsection{Les moments}
\label{sec:momentsfncaract}
On définit le moment d'ordre $r$ d'une distribution de probabilités
comme étant la quantité représentée par l'espérance de la puissance
$r$ d'une variable aléatoire:
\begin{equation}
  \label{eq:defmoments}
  E[X^r] = \int_{-\infty}^{\infty} x^r dF_X(x).
\end{equation}

La fonction caractéristique\index{Fonction!caractéristique},
lorsqu'elle est différenciable, permettra de générer les moments de la
distribution en utilisant la propriété suivante
\citep{lukacs1960characteristic}:
\begin{equation*}
  \frac{d^r\phi_X(s)}{ds^r} = i^r \int_{-\infty}^{\infty} e^{isx} x^r dF_X(x).
\end{equation*}

En posant $s=0$ par la suite, on obtient, pour les différentes
dérivées, l'équation suivante:
\begin{equation*}
  \left[ \frac{d^r\phi_X(s)}{ds^r} \right]_{s=0} = i^r\,E[X^r].
\end{equation*}

Ce qui nous permet de définir les différents moments de la
distribution à partir de la fonction caractéristique:
\begin{equation}
  \label{eq:fncaractmoments}
  E[X^r] = (-i)^r\,\left[ \frac{d^r\phi_X(s)}{ds^r} \right]_{s=0}. 
\end{equation}

\subsection{Inversion de la fonction caractéristique}
\label{sec:inversioncaract}

\subsubsection{La densité}
\label{sec:densitefncaract}

On obtient la densité de la variable aléatoire $X$ en calculant la
transformée de Fourier \eqref{eq:transfourier} de la fonction
caractéristique suivante:
\begin{equation}
  \label{eq:caractdensite}
  f_X(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-isx} \phi_X(s) ds.
\end{equation}

On peut utiliser l'intégration numérique si l'intégrale n'a pas de
solution analytique, la méthode de la transformée de Fourier rapide
(section \ref{sec:methodeFFT}) ou encore la méthode du point de selle.

\subsubsection{La fonction de répartition}
\label{sec:repartitionfncaract}

On peut obtenir directement l'expression de la fonction de
répartition, sans passer par l'intégration de la densité de
probabilité, en utilisant le théorème de \cite{gil1951note}:
\begin{equation}
  \label{eq:gilpelaez}
  F_X(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{isx}\phi_X(-s)-e^{-isx}\phi_X(s)}{is} ds.
\end{equation}

On peut exprimer cette intégrale sous la forme suivante lorsque la
densité $f(x)$ est strictement continue \citep[p.66]{epps2007pricing}:
\begin{equation}
  \label{eq:gilpelaez2}
  F_X(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-isx}}{is} \phi(s) ds.
\end{equation}
Cette forme est moins appropriée pour l'intégration numérique, mais
sera utile dans plusieurs calculs.  On préfèrera la ramener à la forme
suivante avec le théorème 2 de \cite{wendel1961non}:
\begin{equation}
  \label{eq:inversionfncaract}
  F_X(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty} \frac{Im\left[e^{-isx}\phi_X(s)\right]}{s} ds.
\end{equation}

Cette fonction peut être difficile à intégrer de manière efficace
numériquement, surtout lorsqu'on l'évalue en des points situés aux
extrémités de la distribution. On peut alors privilégier l'égalité
donnée par le théorème 4 de \cite{shephard1991characteristic}, qui
utilise le noyau de Fejér afin de réduire l'erreur d'intégration, pour
obtenir le résultat suivant:
\begin{equation}
  \label{eq:shepherd}
  F_X(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\pi} \lim_{n\rightarrow\infty} \int_{0}^{n} \underbrace{\left[ 1-\frac{s}{n} \right]}_{\text{Noyau de Fejér}} \left[ \frac{e^{isx}\phi_X(-s)-e^{-isx}\phi_X(s)}{is} \right] ds.
\end{equation}

De même, en utilisant le raisonnement qui permet de passer de la
définition de la transformée \eqref{eq:gilpelaez} à celle de son
inverse \eqref{eq:inversionfncaract}, on obtient, pour le résultat
\eqref{eq:shepherd}, l'expression suivante:
\begin{equation}
  \label{eq:approxinvfncaract}
  F_X(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi} \lim_{n\rightarrow\infty} \int_{0}^{n} \left[ 1-\frac{s}{n} \right] \frac{Im\left[e^{-isx}\phi_X(s)\right]}{s}ds.
\end{equation}

On peut alors obtenir une approximation en fixant la borne
d'intégration supérieure $n$ qui définit la précision
désirée. Certains logiciels d'intégration numérique prennent en charge
les bornes infinies.

La fonction caractéristique permet d'identifier la distribution d'une
somme de variables aléatoires indépendantes $Z = X_1, \ldots, X_n$,
appelée produit de convolution et noté $Z = X_1 * \ldots * X_n$:
\begin{equation}
  \label{eq:convocaract}
  \phi_{Z}(s) = \phi_{X_1+\ldots+X_n}(s) = \prod_{i=1}^n \phi_{X_i}(s).
\end{equation}

Lorsque les variables aléatoires sommées sont aussi identiquement
distribuées, la fonction caractéristique de $Z$ est la $n^e$ puissance
de celle de $X$:
\begin{equation}
  \label{eq:convocaractIID}
  \phi_{Z}(s) = \phi_{X_1+\ldots+X_n}(s) = \left[\phi_{X}(s)\right]^n.
\end{equation}

Cette fonction est donc une solution de rechange intéressante à
utiliser lorsque aucune forme analytique pour la densité ou la
fonction de répartition pour une distribution donnée n'existe.

\subsection{La fonction génératrice des moments}
\label{sec:fgm}
La fonction génératrice des moments $M_X(s)$
\index{Fonction!génératrice des moments} est définie comme étant la
transformée de Laplace inverse \index{Transformée!de Laplace!inverse}
de la densité:
\begin{equation}
  \label{eq:deffngenmom}
  M_X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{sx} dF_X(x).
\end{equation}

Cette intégrale, contrairement à \eqref{eq:deffncaract}, ne converge
pas toujours, ce qui signifie que certaines distributions n'ont pas de
fonction génératrice des moments. Comme son nom l'indique, cette
fonction permet de générer les moments de la distribution de la
variable $X$, ce qui se fait essentiellement de la même manière
qu'avec la définition \eqref{eq:fncaractmoments}. Par contre, on n'a
pas à éliminer le terme complexe, ce qui a pour avantage de simplifier
les calculs:
\begin{equation}
  \label{eq:fgmmoments}
  E[X^r] = \left[ \frac{d^r M_X(s)}{ds^r} \right]_{s=0}.
\end{equation}

La fonction génératrice des moments peut aussi être obtenue à partir
de la fonction caractéristique :
\begin{equation}
  \label{eq:fncaractfgm}
  M_X(s) = \phi(-is).
\end{equation}

Ceci permet d'en déduire qu'elles possèdent des caractéristiques
communes, notamment le produit de convolution.

\subsection{La fonction génératrice des cumulants}
\label{sec:fgc}
La fonction génératrice des cumulants $K_X(s)$ est définie comme le
logarithme de la fonction génératrice des moments:
\begin{equation}
  \label{eq:fgc}
  K_X(s) = \ln{M_X(s)}.
\end{equation}

Cette fonction est utilisée pour générer les cumulants, des quantités
étroitement liées aux moments, qui peuvent à leur tour être utilisés
dans le cadre de méthodes d'estimation paramétrique. Parmi celles-ci,
on retrouve la méthode des cumulants, dont l'objectif est de former un
système d'équations où les valeurs empiriques et théoriques de ces
quantités sont égales. Les valeurs empiriques peuvent être obtenues à
partir des moments échantillonnaux \citep{stuart1987kendall}:
\begin{subequations}\label{eq:cumulantsempiriques}
  \begin{align}
    \hat{K}_1 &= \hat{m}_1 \label{eq:cumulantsempiriques1}\\
    \hat{K}_2 &= \hat{m}_2' - \hat{m}_1^2 \label{eq:cumulantsempiriques2}\\
    \hat{K}_3 &= \hat{m}_3' - 3\hat{m}_1\hat{m}_2' + 2\hat{m}_1^2 \label{eq:cumulantsempiriques3}\\
    \hat{K}_4 &= \hat{m}_4' - 3\hat{m}_2'^2 - 4\hat{m}_1\hat{m}_3' + 12\hat{m}_1^2\hat{m}_2' -
    6\hat{m}_1^4 \label{eq:cumulantsempiriques4}.
  \end{align}
\end{subequations}

On remarquera aussi la forme de la première dérivée de cette dernière,
qui sera utilisée pour estimer la densité et la fonction de
répartition avec la méthode du point de selle:
\begin{equation}
  \label{eq:derivfgc}
  \frac{dK_X(s)}{ds} = K^{\prime}_X(s) = \frac{M^{\prime}_X(s)}{M_X(s)}.
\end{equation}

\subsection{La transformée d'Esscher}
\label{sec:transesscher}

La transformée d'Esscher est utilisée pour transformer une fonction de
densité en une autre à l'aide d'un coefficient exponentiel $h$:
\begin{equation}
  \label{eq:esschertransform}
  f(x;h)=\frac{e^{hx}f(x)}{\int_{-\infty}^\infty e^{hx} f(x) dx}.
\end{equation}

Lorsque l'on ne dispose pas d'une forme analytique de la densité, on
peut exprimer la transformée d'Esscher par sa fonction génératrice des
moments:
\begin{equation}
  \label{eq:esscherMx}
  M_X(s;h) = \frac{M_X(s+h)}{M_X(h)}.
\end{equation}

\section{La transformée de Fourier rapide}
\label{sec:methodeFFT}

Étant donné l'importance de la transformée de Fourier et de son
inverse en sciences physiques, plusieurs algorithmes ont été
développés afin d'en effectuer l'intégration numérique. Ces
algorithmes se regroupent sous l'appellation de transformée de Fourier
rapide.

L'existence de ces algorithmes favorise l'utilisation de la fonction
caractéristique et de ses propriétés, notamment pour l'agrégation de
risques en actuariat, ou encore le calcul de probabilités pour des
distributions n'ayant pas de forme explicite pour la fonction de
répartition.

Ces algorithmes numériques sont utilisés respectivement pour calculer
de manière optimisée des sommes de la forme
\begin{align}
  \hat{f}(x_u) &= \sum_{j=1}^{N} \phi(\zeta_j)\,e^{-{2\pi i \over N} (j-1)(u-1) } \qquad u = 1,\dots,n. \label{eq:sommefft} \\
  \hat{\phi}(\zeta_j) &= \sum_{u=1}^{N} f(x_u)\,e^{{2\pi i \over N}
    (j-1)(u-1) } \qquad j = 1,\dots,n. \label{eq:sommeifft}
\end{align}

Par exemple, pour évaluer l'intégrale \eqref{eq:caractdensite} afin
d'obtenir la valeur de la densité sur un certain domaine
$\left[a,b\right]$, on devra discrétiser celle-ci sur nombre $N$ de
points de discrétisation.On définit alors les différents paramètres de
ces deux algorithmes:
\begin{itemize}
\item $\eta = \frac{b-a}{N}$, le pas de discrétisation pour la
  variable aléatoire $u$
\item $\zeta = \eta(j-1)$, la variable de transformation
\item $\lambda = \frac{2\pi}{N\eta}$, le pas de discrétisation pour la
  variable de transformation $\zeta$
\item $c=\frac{N\lambda}{2}$, la borne supérieure d'intégration
\end{itemize}

On obtient alors une sommation de la forme \eqref{eq:sommefft}:
\begin{subequations}\label{eq:sommefftdensite}
  \begin{align}
    f_{FFT}(x_u) &\approx \frac{1}{2\pi} \sum_{j=1}^N e^{-i\lambda\zeta_j(u-1)} e^{-ic\zeta_j} \phi(-c+\lambda\,(j-1)) \eta, \label{eq:sommefftdensite1}\\
    &\approx \frac{1}{2\pi} \sum_{j=1}^N
    e^{-i\frac{2\pi}{N}(j-1)(u-1)} e^{-ic\zeta_j}
    \phi(-c+\lambda\,(j-1)) \eta.\label{eq:sommefftdensite2}
  \end{align}
\end{subequations}

Plusieurs logiciels d'analyse numérique possèdent une implémentation
de la méthode de la transformée de Fourier rapide. Essentiellement,
c'est une fonction $f_{FFT}(X_u)$ qui prend comme argument un vecteur
de valeurs, appelé signal, et qui en retourne un autre, de même
longueur, le spectre de fréquences. En statistique, la fonction
caractéristique empirique constitue le signal et la densité, le
spectre de fréquences. Le signal $X_u$ est défini comme suit, à partir
des constantes définies précédemment:
\begin{align}
  \label{eq:signalfftfonction}
  X_u &= e^{-i\lambda\zeta_j(u-1)} \phi\left(-c+(j-1)\lambda\right)
  \eta.
\end{align}

La somme \eqref{eq:sommefftdensite1} devient alors
\begin{align}
  \label{eq:fftfonction}
  f_{FFT}(X_u) &\approx \frac{1}{2\pi} \sum_{j=1}^N X_u e^{-ic\zeta_j}.
\end{align}

On recouvre la densité aux points $x_u=a+(j-1)\eta, j=1,\ldots,N$ en
appliquant la transformation suivante au vecteur $f_{FFT}(X_u)$:
\begin{align}
  \label{eq:densitefftfonction}
  f(x_u) = \frac{1}{N} e^{icx_u} f_{FFT}(X_u).
\end{align}

\section{Processus de Lévy}
\label{sec:processuslevy}

\subsection{Définition et propriétés}
\label{sec:defproplevy}

Le processus de Lévy, tel que présenté par \cite{barndorff2001levy},
est une classe générale de processus stochastiques regroupant entre
autres les processus de Poisson composés et les processus de Wiener.
Il est défini comme continu à droite, limité à gauche (càdlàg), ayant
pour point de départ l'origine et ayant des incréments indépendants et
homogènes. Il est infiniment divisible, tout processus de Lévy peut
ainsi être considéré comme une convolution de plusieurs autres. Cette
propriété est très intéressante dans un contexte de rendements
financiers, car la même distribution pourra être utilisée avec
n'importe quel intervalle d'échantillonnage des prix.

\subsubsection{Représentation de Lévy-Khintchine}
\label{sec:levykhintchine}

Le processus de Lévy est généralement représenté par sa fonction
caractéristique sous la forme de Lévy-Khintchine:
\begin{align}
  \mathbb{E}\Big[e^{i\theta X(t)} \Big] &= \exp \Bigg(
  \underbrace{ait\theta}_{\text{composante de dérive}} \nonumber\\
  &\qquad -
  \underbrace{\frac{1}{2}\sigma^2t\theta^2}_{\text{composante de
      diffusion}} \nonumber\\ &\qquad + \underbrace{t
    \int_{\mathbb{R}\backslash\{0\}} \big( e^{i\theta x}-1 -i\theta x \mathbf{I}_{|x|<1}\big)\,\nu(dx)}_{\text{composante de saut}} \Bigg)\label{eq:levykhintchine}\\
  &= \exp \bigg(-t\Psi(\theta) \bigg).
\end{align}

$\Psi(\theta)$ est appelé l'exposant caractéristique de l'incrément de
longueur 1 $(X(t+1)-X(t))$. Un processus de Lévy est souvent décrit
par son triplet générateur $(a,\sigma^2,\nu)$. Cette description
permettra de classer certains processus de Lévy selon deux catégories:
\begin{itemize}
\item Si $\sigma^2=0$, $\lbrace X(t) \rbrace$ est un processus de
  sauts
\item Si $a=0 \mbox{ et } \sigma^2=0$, alors le processus $\lbrace
  X(t) \rbrace$ est un processus de sauts purs
\end{itemize}

L'élément $\nu(dx)$ de la composante de saut est appelé la mesure de
Lévy.  Un exemple de processus de Lévy représenté sous la forme de
Lévy-Khintchine qui ne fait pas partie de ces deux catégories est
défini par le modèle de Press \eqref{eq:fncaractpress}.

\subsubsection{Représentation de Lévy-Itô}
\label{sec:levyito}
La décomposition de Lévy-Itô est une représentation alternative
décrivant la trajectoire d'une réalisation du processus. Cette
dernière a une interprétation intéressante en finance décrite par
\cite{applebaum2004levy}:
\begin{align}
  \label{eq:levyitodecomposition}
  X(t) &= \underbrace{at + B_{\sigma^2}(t)}_{\text{mouvement brownien}} \nonumber\\ &\quad+ \underbrace{\int_{|x|<1}x N(t,dx)-t\nu(dx)}_{\text{martingale de sauts purs  de carré intégrable}} \nonumber\\ &\quad+ \underbrace{\int_{|x|>1}x N(t,dx)}_{\text{processus de Poisson composé}} \\
  &= X_1(t) + X_2(t) + X_3(t).
\end{align}

La portion mouvement brownien ($X_1(t)$) décrit le comportement
général du processus, en spécifiant le rendement espéré $a$ et la
volatilité du titre $\sigma^2$. La première intégrale ($X_2(t)$)
décrit le bruit causé par les transactions financières quotidiennes
qui font varier un peu le prix, alors que la seconde ($X_3(t)$)
introduit les sauts occasionnés par des évènements plus rares, comme
les catastrophes naturelles et les crises politiques. Dans les deux
cas, $N(t,dx)$ est une mesure aléatoire de Poisson.

\subsection{Processus subordonné}
\label{sec:procsubordonne}

On considère les processus de Lévy $\lbrace X(t) \rbrace$ et $\lbrace
Z(t) \rbrace$. Celui qui suit est défini comme étant un processus
subordonné et aussi un processus de Lévy, comme le démontrent
\cite{sato1999levy} et \cite{schoutens2003levy}:
\begin{equation}
  \label{eq:processussubordonne}
  \lbrace Y(t) \rbrace = \lbrace X\left(Z(t)\right) \rbrace.
\end{equation}

Les processus de Lévy les plus couramment utilisés en finance sont des
mouvements browniens subordonnés. Ils sont plus faciles à manipuler et
permettent néanmoins de représenter les phénomènes de queues longues
présents dans les distributions de rendements. Une bonne introduction
à ce sujet est faite par \cite{kyprianou2007introductory}.

Si $\Lambda(\theta)$ est l'exposant caractéristique du processus
$\lbrace X(t)\rbrace$ et $\Xi(\theta)$, celui du processus subordonné
$\lbrace Z(t)\rbrace$, alors celui du processus $\lbrace Y(t)\rbrace$
prend la forme suivante:
\begin{align}
  \label{eq:exposantcaractYt}
  \Psi(\theta) &= \Xi(\theta)\circ i\Lambda(\theta) \nonumber\\
  &= \Xi(i\Lambda(\theta)).
\end{align}

La fonction caractéristique du processus $\lbrace Y(t) \rbrace$ est
alors
\begin{equation}
  \label{eq:fncaractYt}
  \phi_{Y(t)}(\xi) = e^{-t\Xi(i\Lambda(\xi))}.
\end{equation}

La densité de la variable aléatoire $Y(t)$ s'obtient à l'aide de la
formule de l'espérance conditionnelle:
\begin{align}
  f_{Y(t)}(y) &= E\left[ f_{X(t)}(y|Z(t)=z) \right] \nonumber\\
  &= \int_{-\infty}^{\infty} f_{X(t)}(y|Z(t)=z) \cdot f_{Z(t)}(z)
  dz \label{eq:densiteprocessusyt}.
\end{align}

\section{Théorèmes d'intégration}
\label{sec:integration}

Ces deux théorèmes sont présentés sans démonstration afin de
complémenter la démonstration de la méthode d'Epps de la section
\ref{sec:epps2007}. La démonstration de ceux-ci nécessite des
connaissances en théorie de l'intégration. On peut retrouver davantage
d'explications sur ceux-ci dans \cite{teschl2004topics}.

\subsection{Théorème de convergence dominée de Lebesgue}
\label{sec:theor-de-conv}

Le théorème de convergence dominée de Lebesgue est un des principaux
éléments de la théorie de l'intégration. Il sert à démontrer qu'une
fonction est intégrable, sachant qu'une autre l'est aussi et qu'elle
répond à certaines conditions.

Soit $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$, une suite de fonctions réelles ou
complexes intégrables dans un intervalle $\mathit{I}$ qui convergent
vers une fonction $f$:
\begin{align}
  \label{eq:sequencetheoremconvdom}
  f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x).
\end{align}

On suppose qu'une fonction $g$ intégrable dans l'intervalle
$\mathit{I}$ existe telle que pour toute valeur de $n$ et pour tout
point $x\in I$ où elle est définie, la valeur absolue de $f_n(x)$ est
inférieure ou égale à $g(x)$:
\begin{align}
  \label{eq:theoremeconvdom}
  \forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in \mathit{I}, |f_n(x)| \leq
  g(x).
\end{align}

Alors, la fonction $f$ est intégrable dans l'intervalle
$\mathit{I}$.

\subsection{Théorème de Fubini}
\label{sec:theoreme-de-fubini}

Le théorème de Fubini permet, entre autres, d'inverser l'ordre
d'intégration lorsque certaines conditions sont remplies.

Soit une fonction $f$ continue sur le rectangle $\mathit{R}$ suivant:
\begin{align}
  \label{eq:rectanglefubini}
  \mathit{R} &= \left\{(x,y) | a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \right\}.
\end{align}

on peut inverser l'ordre d'intégration:
\begin{align}
  \label{eq:thfubini2}
  \int_{X\times Y}f(x,y)~ d(\mu\times\nu)(x,y)=\int_X\left[\int_Y
    f(x,y)~ d\nu(y)\right]~ d\mu(x)=\int_Y\left[\int_X f(x,y)~
    d\mu(x)\right]~ d\nu(y).
\end{align}

Il est possible de généraliser cet énoncé en utilisant la théorie de
la mesure.
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "gabarit-maitrise"
%%% End: