\chapter{Évaluation d'options} \label{chap:options} Un des principaux intérêts de connaître la distribution des rendements d'un actif est de pouvoir évaluer la valeur de différents produits dérivés. \section{Définitions} \label{sec:options} En se référant à \cite{bingham2004risk}, on définit: \begin{itemize} \item Un \textbf{produit dérivé} est un contrat financier dont la valeur à la date d'échéance $T$ est déterminée par le prix de l'actif sous-jacent au temps $T$ ou par celles prises au cours de l'intervalle $\left[0,T \right]$. \item Une \textbf{option} est un instrument financier qui donne le droit (et non l'obligation) d'effectuer une transaction avant ou à une date et pour un prix spécifiés. \item Une \textbf{option d'achat (de vente) européenne} donne le \textbf{droit} d'acheter (de vendre) un actif au \textbf{prix d'exercice} $K$ au temps $T$. \item Lorsque sa valeur actuelle est, par rapport au prix d'exercice: \begin{itemize} \item supérieure $(S(t)>K)$, l'option d'achat est dite \textbf{dans le cours}; \item égale $(S(t)=K)$, l'option d'achat est dite \textbf{au cours}; \item inférieure $(S(t) K \\ 0 & S(T) \leq K. \end{array} \right. \end{align} La valeur du prix à l'échéance est appelée une \textbf{créance éventuelle}. L'évaluation d'un produit dérivé équivaut à calculer la valeur espérée actualisée de la réclamation contingente définie par le contrat. Pour l'option d'achat européenne, on obtient la formule suivante: \begin{align} C(t) &= B(t,T) E \left[C(T) \right] \nonumber\\ &= B(t,T) \int_{K}^{\infty} (S(T)-K) d\hat{F}_{S(T)} \label{eq:reclamationcall}. \end{align} $B(t,T)$ est la valeur au temps $t$ d'une obligation zéro-coupon au taux sans risque $r$ d'échéance $T$. $\hat{F}_t(S(T))$ est la fonction de répartition de la distribution neutre au risque de $S(T)$. Les déterminants de la valeur d'une option sont: \begin{itemize} \item le prix courant de l'actif $S(t)$ \item le prix d'exercice $K$ \item la volatilité de l'actif $\sigma$ \item le temps d'ici l'échéance $T-t$ \item le taux d'intérêt sans risque $r$. \end{itemize} On peut aussi récrire \eqref{eq:reclamationcall} avec le logarithme du prix $k=\ln{K}$. On utilise donc $s(t)=\ln{S(T)}$, dont la fonction de répartition est définie par ${F}_{s(T)}(y) = Pr\left[\ln{S(T)} < y \right]$: \begin{align} C(t) = B(t,T) \int_{k}^{\infty} (e^{s(T)}-e^{k}) d{F}_{s(T)}. \label{eq:reclamationcallintlog} \end{align} Enfin, une relation fondamentale, appelée parité vente-achat, permet, dans un scénario sans arbitrage, de calculer le prix d'une option de vente $P(t)$ (d'achat $C(t)$) en connaissant la valeur: \begin{itemize} \item de l'autre lorsqu'elles sont de mêmes échéance et prix d'exercice \item de l'obligation $B(t,T)$ \item initiale du titre sous-jacent $S(t)$ commun aux deux options. \end{itemize} \begin{align} \label{eq:pariteputcall} P(t)+S(t) = C(t)+ B(t,T) K. \end{align} Cette relation permettra d'évaluer les deux types d'option à l'aide d'un seul calcul. \subsection{Équation martingale} \label{sec:equationmartingale} L'évaluation d'options se fait traditionnellement dans un univers ou un espace de probabilités neutre au risque, noté $\mathbb{Q}$, c'est-à-dire un point de vue selon lequel les investisseurs n'exigent pas une prime de risque. Cette approche a été introduite par \cite{black1973pricing}. Dans cette perspective, les rendements espérés futurs sont escomptés au taux sans risque. La distribution des rendements cumulés \eqref{eq:rendementcumL} répond à la propriété martingale, selon laquelle la valeur actuelle d'un titre financier reflète l'ensemble de l'information connue sur ce dernier. Cette propriété permet de fixer un seul prix pour les options. \textbf{L'équation martingale} établit l'égalité entre la valeur espérée du titre au temps $t$ et celle d'un investissement de même valeur dans un compte en banque créditant le taux sans risque: \begin{align} \label{eq:equationmartingale} E\left[\exp(L_t) \right] = e^{rt}. \end{align} \subsection{Paramètres neutres au risque} \label{sec:GALrn} Afin de pouvoir utiliser les résultats de l'estimation paramétrique des chapitres précédents pour évaluer le prix de produits dérivés, on doit tout d'abord identifier les paramètres neutres au risque de la distribution de Laplace asymétrique généralisée associant le rendement cumulé $L_t$ au taux d'intérêt sans risque $r$. Pour ce faire, on utilise l'équation martingale \eqref{eq:equationmartingale} ainsi que la fonction génératrice des moments \eqref{eq:fgmGAL}. On obtient alors une expression pour le paramètre de dérive neutre au risque $\theta_{RN}$: \begin{align} e^{rt} &= E\left[\exp(L_t) \right] = E\left[\exp(R_1+\ldots+R_t) \right] \nonumber\\ &= M_{R_1+\ldots+R_t}(1) = (M_{R}(1))^t \nonumber\\ &= \left(\frac{e^{\theta_{RN}}}{(1-\mu-\sigma^2/2)^{\tau}} \right)^t \nonumber\\ r &= \ln \left(\frac{e^{\theta_{RN}}}{(1-\mu-\sigma^2/2)^{\tau}} \right) \nonumber\\ &= \theta_{RN} - \tau\ln(1-\mu-\frac{\sigma^2}{2}) \nonumber\\ \theta_{RN} &= r + \tau\ln(1-\mu-\frac{\sigma^2}{2}). \label{eq:martingaleGAL} \end{align} On obtient ainsi le paramètre de correction de la dérive $\omega$ à partir de l'équation martingale \eqref{eq:martingaleGAL}: \begin{align} \label{eq:omegaGAL} \omega = \tau\ln(1-\mu-\frac{\sigma^2}{2}). \end{align} Cette égalité impose une contrainte aux paramètres $\mu$ et $\sigma$ qui doit respecter la condition \begin{align} \label{eq:inegaliteparamrn} \mu+\frac{\sigma^2}{2} < 1. \end{align} On obtient ensuite la fonction caractéristique de la mesure neutre au risque $\mathbb{Q}$ pour $L_T$ en remplaçant $\theta$ par $\theta_{RN}$: \begin{align} \label{eq:fncaractGALrn} \phi(\xi,L_T) = \frac{\exp\left(i\xi*\left(\ln\left(S_{t}\right)+\left(T-t\right)\left(r+\omega\right)\right)\right)}{\left(1-i\mu\,\xi+\left(\sigma^2\xi^2\right)/2\right)^{\tau\left(T-t\right)}}. \end{align} La distribution neutre au risque des rendements est donc $R_t \sim GAL(r+\tau\ln(1-\mu-\sigma^2/2),\sigma,\mu,\tau)$. \section{Aperçu du modèle de Black-Scholes} \label{sec:blackscholes} Étant donné l'importance du modèle de Black-Scholes en finance, on se doit de le présenter comme outil de référence lorsque l'on veut le remplacer. Ce modèle est basé sur les quatre hypothèses suivantes: \begin{enumerate} \item Les rendements ont une distribution normale de moyenne $\mu$ et variance $\sigma^2$, ou, de manière équivalente, le processus de prix $\lbrace S(t) \rbrace$ est un mouvement brownien géométrique de dérive $\mu$ et de volatilité $\sigma$. \item Une obligation zéro-coupon au taux d'intérêt sans risque $r$ existe sur le marché. \item Le marché est complet et sans friction. Une position prise sur ce marché peut être couverte de manière continue. \item La vente à découvert est autorisée, de plus tous les actifs sont infiniment divisibles. \end{enumerate} En utilisant l'équation martingale \eqref{eq:equationmartingale}, on obtient la distribution neutre au risque des rendements, qui est normale avec une moyenne $r-\frac{\sigma^2}{2}$ et une variance $\sigma^2$. À partir de cette information, on peut dériver la formule de Black-Scholes pour le prix d'une option d'achat ou de vente \eqref{eq:pariteputcall} européenne: \begin{align} \label{eq:blackscholes} C(S(t),K,T) &= \Phi(\Delta_1) ~ S(t) - \Phi(\Delta_2) ~ K B(t,T) \\ \Delta_1 &= \frac{\ln\left(\frac{S(t)}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)}{\sigma\sqrt{T - t}} \nonumber\\ \Delta_2 &= \Delta_1 - \sigma\sqrt{T - t} \nonumber\\ P(S(t),K,T) &= \Phi(-\delta_2)K B(t,T) - \Phi(-\delta_1)S(t). \label{eq:putblackscholes} \end{align} L'avantage de ce modèle est que toutes les données requises pour évaluer le prix d'options sur des actifs cotés sur les marchés boursiers, à l'exception de la volatilité, sont accessibles auprès de fournisseurs d'informations financières. Comme les options sont négociées sur les marchés financiers, on a aussi accès à leur prix, ce qui permet d'extrapoler la valeur de la volatilité implicite. C'est pour cette raison que le modèle, bien qu'il soit basé sur des hypothèses très restrictives, est toujours utilisé comme point de référence. \section{Méthodes d'évaluation pour options européennes} \label{sec:methodesoptions} Le modèle de Black-Scholes est un des seuls qui présentent une forme analytique simple pour le prix des options. Bien qu'on puisse en dériver une pour plusieurs modèles en utilisant les équations différentielles stochastiques et le calcul d'Îto, les résultats sont souvent difficiles à utiliser. On préfèrera alors utiliser des méthodes numériques pour calculer le prix des options. \subsection{Méthode de Heston} \label{sec:heston1993} L'approche utilisée par \cite{heston1993closed} est de calculer directement l'espérance de la créance éventuelle associée à l'option de vente européenne $P(S(t),K,T-t)$ sous la mesure neutre au risque $\mathbb{Q}$: \begin{align} P(S(t),K,T) &= B(t,T) \int_{0}^{\infty} \max\left(K-S(T),0\right)\cdot d{F}_{S(T)} \label{eq:PutHeston93-1}\\ &= B(t,T)K \int_{0}^{K} dF_{S(T)} - B(t,T)\int_{0}^{K} S(T)\cdot d{F}_{S(T)} \nonumber\\ &= B(t,T)K F_{S(t)}(K) - S(t) G_{S(t)}(K). \label{eq:PutHeston93} \end{align} On définit la fonction de répartition $F_{S(t)}(K)$ de la variable aléatoire $S(t) \leq K$ sous la mesure $\mathbb{Q}$. On définit aussi la fonction de répartition $G_{S(t)}(K)$ sous une autre mesure équivalant à $\mathbb{Q}$. Soit $\phi_F(\xi)$ la fonction caractéristique de $S(T)$ sous $\mathbb{Q}$, celle de cette mesure est alors définie comme suit: \begin{align} \label{eq:mesureGHeston} \phi_G(\xi) = \frac{\phi_F(\xi-i)}{\phi_F(-i)}. \end{align} C'est une transformée d'Esscher de paramètre $h=1$ de la mesure $\mathbb{Q}$. On remarquera la forme de \eqref{eq:PutHeston93} qui est très similaire à la formule du prix de l'option de vente du modèle de Black-Scholes \eqref{eq:putblackscholes}. Les fonctions de répartition $F_{S(t)}(K)$ et $G_{S(t)}(K)$ peuvent être évaluées à partir de \eqref{eq:approxinvfncaract} ou de la méthode du point de selle. \cite{carr1999option} notent qu'on ne peut pas inverser l'approximation \eqref{eq:approxinvfncaract} en utilisant la méthode de la transformée de Fourier rapide. Cependant, l'approche de la méthode du point de selle n'a pas été considérée, bien qu'elle puisse fournir une solution analytique dans plusieurs situations, en particulier pour la distribution de Laplace asymétrique généralisée \eqref{eq:saddlepointGAL}. \subsection{Méthode de Carr et Madan} \label{sec:carrmadanfftoptions} La méthode de Heston nécessite l'évaluation de deux probabilités, donc deux inversions de fonctions caractéristiques. \cite{madan1998variance} ont développé une méthode qui ne nécessite qu'une seule inversion, décrite par \cite{epps2007pricing}. Cette méthode nécessite cependant la sélection d'un paramètre d'amortissement $\theta_{D}$ par tâtonnement afin d'obtenir de bons résultats. Elle utilise l'expression de la créance éventuelle \emph{amortie} \footnote{traduction de l'anglais damped} de l'option d'achat, construite à partir de l'expression \eqref{eq:reclamationcallintlog}: \begin{align} \label{eq:callamortiCarr} C_{\theta_D}(S(t),k,T) &= e^{\theta_{D}k} C(S(t),k,T) \\ &= e^{\theta_{D}k} B(t,T) \int_{K}^{\infty} (e^{s(T)}-e^{k}) d{F}_{s(T)}. \end{align} On applique la transformée de Fourier: \begin{align} \label{eq:fouriercallamortiCarr} \mathcal{F}C_{\theta_D}(\nu) = B(t,T) \frac{\phi\left( \nu - i(1+\theta_D) \ \right)}{(\theta_D+i\nu)(1+\theta_D+i\nu)}. \end{align} Ce résultat est inversé et \emph{amplifié} \footnote{traduction de l'anglais amplified} pour retrouver le prix de l'option: \begin{align} C(S(t),k,T) &= e^{-\theta_{D}k} \mathcal{F}^{-1}\left(\mathcal{F}C_{\theta_D}(\nu) \right) \nonumber\\ &= \frac{e^{-\theta_{D}k}}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\nu k} (\mathcal{F}C_{\theta_D})(\nu)\cdot d\nu \nonumber\\ &= \frac{e^{-\theta_{D}k}}{\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-i\nu k} (\mathcal{F}C_{\theta_D})(\nu)\cdot d\nu \qquad \mbox{(par symétrie)}. \label{eq:prixoptionCarr} \end{align} On peut utiliser la méthode de la transformée de Fourier rapide (section \ref{sec:methodeFFT}) pour retrouver les prix d'options en se référant à \cite{carr1999option}. On doit donc discrétiser \eqref{eq:prixoptionCarr} et effectuer des changements de variables pour obtenir la forme \eqref{eq:sommefft}. On fixe le nombre de points $N$ (idéalement une puissance de deux) et $\eta$ le pas de discrétisation. On définit l'incrément $\lambda$ pour le vecteur $k_u$, $u=1,\ldots,N$ des logarithmes des prix d'exercice: \begin{align} \lambda = \frac{2\pi}{N\eta}. \end{align} La valeur maximale $b$ de ce prix d'exercice sera: \begin{align} b=\frac{N\lambda}{2}. \end{align} Enfin, on obtient la suite des points d'évaluation de la fonction caractéristique $\nu_j = \eta (j-1)$. L'ensemble de ces substitutions permet d'obtenir une expression qui est de la forme requise pour appliquer la méthode de la transformée de Fourier rapide. \begin{align} C(S(t),k_u,T) &\approx \frac{e^{-\theta_D\,k}}{\pi} \sum_{j=1}^N e^{-i\nu_j\,k} (\mathcal{F}C_{\theta_D})(\nu_j) \nonumber\\ &\approx \frac{e^{-\theta_D\,k}}{\pi} \sum_{j=1}^N e^{-i\lambda\eta(j-1)(u-1)} e^{ib\nu_j} (\mathcal{F}C_{\theta_D})(\nu_j) \eta. \label{eq:prixoptionFFT} \end{align} C'est essentiellement une intégration par la méthode du trapèze. On suggère d'implémenter la correction de Simpson, qui permet une intégration plus précise tout en conservant le même nombre de points de discrétisation. On obtiendra alors la formule suivante: \begin{align} C(S(t),k_u,T) &\approx \frac{e^{-\theta_D\,k}}{\pi} \sum_{j=1}^N e^{-i\lambda\eta(j-1)(u-1)} e^{ib\nu_j} (\mathcal{F}C_{\theta_D})(\nu_j) \frac{\eta}{3} \left(3 + (-1)^j + \delta_{j-1}\right). \label{eq:prixoptionFFTsimpson} \end{align} On peut par la suite calculer un prix d'option pour chaque prix d'exercice en utilisant une méthode d'interpolation (splines cubiques par exemple). \subsection{Prix d'exercice hors du cours} \label{sec:outofmoneyfft} L'intégration numérique de \eqref{eq:prixoptionCarr} pose problème quand l'échéance $T-t$ est petite, ou encore le prix d'exercice $K$ est hors du cours ($k > \ln(S(t))$). Dans ce contexte particulier, \cite{carr1999option} développent une formule alternative à l'équation \eqref{eq:prixoptionCarr} pour évaluer le prix de l'option d'achat : \begin{align} C(S(t),k,T) &= \frac{1}{\pi\sinh(\theta^{*}_D k)} \int_{0}^{\infty} e^{-i\nu k} (\mathcal{F}C^{*}_{\theta^{*}_D})(\nu)\cdot d\nu. \label{eq:prixoptionCarrOOM} \end{align} La transformée de Fourier de l'expression du prix de l'option d'achat européenne est exprimée sous la forme \begin{align} \mathcal{F}C^{*}_{\theta^{*}_D} &= \frac{\zeta_T(\nu-i\theta^{*}_D) - \zeta_T(\nu+i\theta^{*}_D)}{2}\\ \zeta_T(\nu) &= e^{-r(T-t)}\bigg[\frac{1}{1+i\nu} - \frac{e^{r(T-t)}}{iv} - \frac{\phi(\nu-i)}{\nu(\nu-i)} \bigg]. \nonumber \end{align} On note que ce paramètre d'amortissement $\theta^{*}_D$ peut être différent du paramètre $\theta_D$ qui a été utilisé précédemment. L'expression à utiliser pour la méthode de la transformée de Fourier rapide devient \begin{align} C^{*}(S(t),k_u,T) &\approx \frac{1}{\pi\sinh(\theta^{*}_D k)} \sum_{j=1}^N e^{-i\lambda\eta(j-1)(u-1)} e^{ib\nu_j} (\mathcal{F}C^{*}_{\theta^{*}_D})(\nu_j) \frac{\eta}{3} \left(3 + (-1)^j + \delta_{j-1}\right). \label{eq:prixoptionFFTsimpsonOOM} \end{align} Les paramètres $N ,\eta, \lambda$ et $\nu_j$ prennent les valeurs utilisées pour évaluer le prix dans la situation où le titre est dans le cours \eqref{eq:prixoptionFFTsimpson}. \subsection{Critique de la méthode de Carr-Madan} \label{sec:critiquecarrmadanfft} Un paramètre d'amortissement $\theta_{D}$ inférieur à la valeur optimale (lorsque comparé avec la méthode de Heston ou d’Epps) aura tendance à surestimer le prix des options d'achat européennes. \cite{itkin2005pricing} démontre que pour certaines régions de l'espace des paramètres, l'intégrale \eqref{eq:prixoptionCarr} a un comportement très irrégulier. De plus, il décrit plusieurs restrictions pour $\theta_{D}$ qui, dans plusieurs cas, ne permettent pas d'estimation convergente. \subsection{Méthode d’Epps} \label{sec:epps2007} \cite{epps2007pricing} propose une méthode qui, contrairement à celle de Carr et Madan, ne nécessite pas de paramètre d'amortissement et qui ne requiert aussi qu'une seule inversion de la fonction caractéristique. Pour ce faire, on se base sur l'expression de l'option de vente développée précédemment \eqref{eq:PutHeston93-1}, qui est ensuite exprimée sous la forme du logarithme, à la manière de \eqref{eq:reclamationcallintlog}. Après l'utilisation de la formule d'inversion \eqref{eq:gilpelaez2}, on obtient le résultat suivant: \begin{align} \label{eq:putepps-1} E\left[max(K-S_T;0) \right] &= \int_{-\infty}^{k} {F}_{S(T)}(s)e^s\cdot\,ds \nonumber\\ &= \frac{K}{2}-\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{k} \lim_{c\to\infty} \underbrace{\int_{-c}^{c} \frac{e^{-i\nu s}}{\pi i\nu}\phi(\nu)d\nu}_{a(c,s)}e^sds. \end{align} La formule d'inversion implique que lorsque $|\lim_{c\to\infty} a(c,s)| = |1-2{F}_{S(t)}(s)|\leq 1$, pour toute valeur $\epsilon>0$, $c_{\epsilon}$ existe telle que l'on a le résultat suivant: \begin{align} \label{eq:putepps-resultat1} |sup_s\left[1-2{F}_{S(t)}(s)-a(c_{\epsilon},s) \right]|<\epsilon. \end{align} Dans cette situation, $|a(c,s)e^s|\leq e^s(1+\epsilon)$ lorsque la constante $c$ est suffisamment grande. Comme la fonction $e^s$ est intégrable sur le support $(-\infty,k)$, le théorème de convergence dominée de Lebesgue (section \ref{sec:theor-de-conv}) implique que l'on peut poser l'égalité suivante: \begin{align} \int_{-\infty}^{k} \lim_{c\to\infty} a(c,s)e^sds &= \lim_{c\to\infty}\int_{-\infty}^{k} a(c,s)e^sds \nonumber\\ &= \lim_{c\to\infty} \int_{-\infty}^{k}\int_{-c}^{c} \frac{e^{(1-i\nu) s}}{\pi i\nu}\phi(\nu)d\nu ds. \nonumber \end{align} De plus, comme la limite de la double intégrale précédente est égale à $K-2E\left[max(K-S_T;0) \right]$ qui appartient à l'intervalle $\left[-K,K\right]$, le théorème de Fubini (section \ref{sec:theoreme-de-fubini}) permet d'inverser l'ordre d'intégration: \begin{align} \lim_{c\to\infty} \int_{-\infty}^{k}\int_{-c}^{c} \frac{e^{-i\nu s}}{\pi i\nu}\phi(\nu)d\nu ds &= \lim_{c\to\infty} \int_{-c}^{c} \int_{-\infty}^{k}e^{(1-i\nu)s} ds \frac{\phi(\nu)}{\pi i \nu} d\nu \nonumber\\ &= \frac{K}{\pi} \lim_{c\to\infty} \int_{-c}^{c} \frac{K^{-i\nu}}{i\nu+\nu^2}\phi(\nu)d\nu. \label{eq:fubini-integrale-a-EPPS} \end{align} En remplaçant le résultat \eqref{eq:fubini-integrale-a-EPPS} dans l'équation de départ \eqref{eq:putepps-1}, on obtient ainsi une expression particulièrement simple pour le prix de l'option de vente: \begin{align} P(S(t),K,T) &= B(t,T)K\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{2\pi} \int_{-c}^c K^{-i\nu} \frac{\phi(\nu)}{\nu(i+\nu)} d\nu\right]. \label{eq:PutEpps8.37} \end{align} Cependant, puisque la forme ne se prête pas à l'utilisation de l'algorithme de la transformée de Fourier rapide, on a recours à une procédure d'intégration numérique. \section{Particularités} \label{sec:monnaiescontrats} \subsection{Option sur actions avec dividendes} \label{sec:dividentoptions} Lorsqu'une option a, pour titre sous-jacent, une action qui verse des dividendes, on doit en tenir compte dans l'évaluation de son prix. Si l'on considère que la valeur au marché de l'action $S^{*}(t)$ a été évaluée avec la méthode de l'actualisation des flux financiers futurs, on doit tenir compte de la valeur actualisée des dividendes qui seront versés avant l'échéance de l'option et la soustraire de ce prix. Parfois, les dividendes ne sont pas fixes, mais proportionnels à la valeur de l'action à la date ex-dividende avec un taux $\delta$. Soit $n(T)$ le nombre de dates ex-dividende dans l'intervalle $\left] t,T \right]$, le prix initial $S(t)$ considéré pour le calcul de la valeur de l'option est alors défini comme suit: \begin{align} \label{eq:prixinitialdividende} S(t) = S^{*}(t) (1-\delta)^{n(T)}. \end{align} Lorsque l'on considère un indice composé de plusieurs titres, on peut prendre un dividende versé de manière continue à un taux $q$. Dans ce cas, le prix initial $S(t)$ sera \begin{align} \label{eq:pricinitialdivcontinu} S(t) = S^{*}(t) e^{-q(T-t)}. \end{align} \subsection{Options sur contrats à terme et taux de change} \label{sec:futureoptions} \cite{black1976pricing} (p.177) démontre que le prix d'une option sur un contrat à terme a le même prix que sur une action dont le taux de dividende équivaut au taux sans risque. On peut donc utiliser les résultats \eqref{eq:prixinitialdividende} et \eqref{eq:pricinitialdivcontinu} en posant $q=r$. De même, on peut évaluer le prix d'une option sur une monnaie étrangère en considérant le taux sans risque étranger $r_f$ comme un taux de dividende $q=r_f$. Selon la Banque des Règlements Internationaux, c'est le type d'options le plus transigé sur les marchés non réglementés en date de 2005, même s'il est moins étudié que les autres. %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "gabarit-maitrise" %%% End: