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\chapter{Les modèles de rendements financiers}
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\section{L'utilisation de modèles en finance}
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\label{sec:utilisationmodeles}
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On doit considérer les implications de l'utilisation de modèles en
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finance avant d'entreprendre leur étude. On doit aussi prendre
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connaissance des différents types ainsi que les risques liés à chacun
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d'entre eux. Pour ce faire, on se réfère à la note «Model Risk»
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publiée par \cite{derman1996modelrisk}.
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Durant les dernières décennies, plusieurs modèles sont apparus afin de
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fournir une approche fondamentale aux concepts de tarification,
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d'offre et de demande et d'arbitrage aux intervenants des milieux
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financiers. Au cours des années 1970, on se préoccupe particulièrement
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des fluctuations des taux d'intérêt, un phénomène qui marque cette
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époque. Les notions de duration et de convexité font alors leurs
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débuts. Sur les marchés de capitaux propres, on s'intéresse à la
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discordance entre le prix négocié des contrats à terme et le prix
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raisonnable calculé selon une perspective théorique.
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Puis, la confiance développée envers le modèle de tarification
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d'options de \cite{black1973pricing} et ses extensions a favorisé la
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croissance du marché des produits dérivés. La puissance de calcul
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croissante des ordinateurs a aussi permis l'élaboration et
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l'utilisation de modèles de plus en plus sophistiqués. La dépendance
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qui peut se développer envers ceux-ci apporte son lot de
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considérations. On doit donc se rappeler l'utilisation désirée par les
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auteurs de ceux-ci et le risque associé à leur usage à grande échelle.
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\subsection{Différents types de modèles}
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\label{sec:differentsmodeles}
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Toujours selon Derman, un modèle financier peut être classé parmi au
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moins trois catégories:
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\begin{enumerate}
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\item Le \textbf{modèle fondamental}, basé sur un système de postulats
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et de données, entre lesquels on peut établir différentes
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relations. Le modèle de Black-Scholes en est un exemple.
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\item Le \textbf{modèle phénoménologique}, qui présente une
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description ou une analogie, afin d'illustrer quelque chose qui ne
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peut être directement observé. C'est un modèle moins fondamental,
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basé aussi sur des liens de cause à effet. Un modèle qui chercherait
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à expliquer l'impact du retrait du porteur de parts majoritaire
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d'une entreprise sur la valeur des actions de celle-ci serait
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phénoménologique.
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\item Le \textbf{modèle statistique}, basé sur une régression ou un
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réglage optimal entre différents ensembles de données. On ne cherche
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pas ici à expliquer une dynamique, mais à décrire une tendance ou
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une corrélation. Le modèle d'évaluation des actifs financiers et
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celui des trois facteurs de \cite{fama1993common} en sont des exemples.
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\end{enumerate}
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Un modèle financier est en partie basé sur des variables qui
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représentent des opinions et des anticipations, et non seulement des
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quantités mesurables. Ces variables peuvent être, entre autres, le
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rendement et la volatilité future espérés. Cette considération sera
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importante notamment lorsque l'on voudra déterminer le prix
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raisonnable d'un produit dérivé. En effet, un modèle de tarification
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est essentiellement un moyen de refléter l'intuition des acteurs du
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marché à propos de ces variables sous la forme d'un prix exprimé dans
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une unité monétaire. Un bon modèle doit faciliter l'extrapolation de
|
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ce prix sous certaines conditions de marché.
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Contrairement à la physique classique, un principe fondamental en
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finance est l'incertitude. On ne peut anticiper la valeur d'un titre à
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un moment donné dans le futur avec la même précision qu'on peut
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prévoir la position d'un objet à cet instant. Les outils mathématiques
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principalement utilisés seront alors les processus stochastiques, les
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statistiques et les distributions de probabilités, en plus du calcul
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différentiel et intégral.
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\subsection{Le risque de modélisation}
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\label{sec:modelerisque}
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Plusieurs risques inhérents à la modélisation en finance
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existent. Quelques-uns d'entre eux seront décrits dans cette section.
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La modélisation peut tout simplement ne pas être applicable à la
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situation étudiée. L'exemple le plus probant serait de tenter de
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prévoir les mouvements du prix d'un titre financier à court terme.
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Un modèle peut être incorrect pour plusieurs raisons. Entre autres, il
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peut ignorer certains facteurs ou poser une hypothèse déterministe
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inappropriée sur ceux-ci. Il peut aussi considérer une dynamique
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incorrecte pour un des facteurs ou encore une relation inappropriée
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entre ceux-ci. Enfin, il peut n'être applicable que sous certaines
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conditions bien précises ou encore que son utilisation soit limitée à
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court terme, notamment lorsqu'il nécessite un temps de calibration
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pour être statistiquement valable. Il peut aussi être inutilisable par
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une mauvaise estimation des paramètres.
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Un modèle peut aussi être correct, mais avoir une solution
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erronée. Cela se produit notamment lorsqu'on tente de dériver une
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solution analytique ou que l'on doit utiliser des méthodes numériques
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pour obtenir celle-ci. On se doit, dans ce cas, de connaître l'erreur
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maximale possible de la méthode utilisée. Un modèle correct peut aussi
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être utilisé dans le mauvais contexte. Par exemple, on pourrait avoir
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recours à des paramètres inadéquats de simulation, ou encore réutiliser le
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modèle dans une autre situation sans tenir compte des
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conditions de validité de celui-ci.
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Son utilisation peut génèrer des prix déraisonnables; on parle alors
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d'arbitrage de modèle. Par exemple, si un titre est évalué à l'aide du
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modèle d'évaluation des actifs financiers, son prix sera différent de
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celui qui serait obtenu avec la régression à trois facteurs de Fama et
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French. Un investisseur peut alors faire du profit en achetant le
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titre à celui qui demande le prix le plus faible pour le revendre à
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celui qui offre le plus élevé.
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L'utilisation de données instables peut produire des résultats
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différents selon la période étudiée. La possibilité qu'une estimation
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basée sur des données historiques soit erronée doit être considérée.
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Enfin, comme la plupart des modèles financiers sont implémentés sous
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forme de logiciels, différents bogues informatiques peuvent se
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retrouver dans le code source. On considère entre autres des erreurs
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d'arrondissement, de logique et de clarté du code, ainsi que des
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particularités du matériel qui n'auraient pas été prises en compte par
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le programmeur. Ces erreurs peuvent être difficiles à détecter, c'est
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pourquoi un grand nombre de tests devraient être effectués avant de
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publier un logiciel de modélisation financière.
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\section{Les rendements financiers}
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\label{sec:prixrendements}
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Le \textbf{rendement} est défini comme étant le gain ou la perte de
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valeur d'un actif sur une période donnée. Il est constitué des revenus
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occasionnés et des gains en capitaux d'un investissement et est
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habituellement représenté sous la forme d'un pourcentage. Ces derniers
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peuvent prendre la forme de coupons pour les titres à revenus fixes et
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de dividendes pour les actions échangées sur les marchés boursiers. On
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ne considèrera, dans ce texte, que les titres boursiers sans
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dividende, dont le rendement est lié uniquement aux gains en capitaux.
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\subsection{Définitions et notations}
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\label{sec:defrendements}
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On définit le prix $S(t)>0$ d'un titre financier observé au temps
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$t$. Implicitement, le prix considéré est celui à la fermeture. On
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définit aussi le taux de rendement effectif $R(t)$ sur une période
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comprise dans l'intervalle de temps $\left[t-1,t\right]$. C'est le
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taux composé continument, aussi appelé force d'intérêt, qui aurait
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occasionné les mêmes gains ou pertes sur un montant déposé en banque
|
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au cours de la période concernée. Le taux de rendement est la variable
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d'intérêt dans le contexte de la modélisation financière.
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On associe le taux de rendement effectif à la différence entre le
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logarithme du prix initial et final. Dans la situation où le taux de
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rendement est déterministe et non aléatoire, on obtient l'équation
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différentielle suivante:
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\begin{align*}
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\frac{dS(t)}{dt} &= R(t) \cdot S(t).
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\end{align*}
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On peut interpréter cette équation en affirmant que la variation du
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prix $dS(t)$ sur un intervalle de temps infiniment petit $dt$ est
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proportionnelle à la valeur actuelle $S(t)$. Cette équation
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différentielle a pour solution générale:
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\begin{align}
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\label{eq:solutiondiffrendement}
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S(t) &= S(0)e^{R(t) \cdot t}.
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||
\end{align}
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Afin de définir les propriétés de l'échantillon sélectionné, on pose
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comme hypothèse:
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\begin{hypothese}
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Le rendement $R(t)$ est constant durant la période définie par
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l'intervalle de temps $\left[t-1,t\right]$, mais il est différent
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d'une à l'autre: $R(s) \neq R(t), s \neq t$.
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\end{hypothese}
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On peut alors représenter le rendement $R(t)$ comme étant la
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différence entre les logarithmes des prix observés au temps $t$ et
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$t-1$, ou encore le logarithme du quotient de ces mêmes prix:
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\begin{align}
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R(t) &= \ln{(S(t))} - \ln{(S(t-1))} \nonumber\\
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||
&=
|
||
\ln{\left(\frac{S(t)}{S(t-1)}\right)}. \label{eq:rendementlogprix}
|
||
\end{align}
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On définit aussi le \textbf{rendement cumulé} $L(t)$. Il correspond à
|
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la somme des rendements effectifs observés sur l'intervalle
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$\left[0,t\right]$:
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\begin{align}
|
||
L(t) &= \sum_{i=1}^{t} R(i) \nonumber\\
|
||
&= \sum_{i=1}^{t} \left[\ln{(S(i)} - \ln{(S(i-1))}\right] \nonumber\\
|
||
&= \ln{(S(t))} - \ln{(S(0))} \nonumber\\
|
||
&= \ln{\left(\frac{S(t)}{S(0)}\right)}. \label{eq:rendementcumL}
|
||
\end{align}
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Cette représentation permet d'exprimer le prix actuel $S(t)$ en
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fonction de la valeur initiale $S(0)$ sous une forme similaire à la
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solution \eqref{eq:solutiondiffrendement}, mais tenant compte de
|
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l'hypothèse émise précédemment:
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\begin{align}
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e^{L(t)} &= \frac{S(t)}{S(0)} \nonumber\\
|
||
S(t) &= S(0) \cdot e^{L(t)} \nonumber\\
|
||
&= S(0) \cdot \exp\left(\sum_{i=1}^{t} R(i)\right).
|
||
\end{align}
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\subsection{Rendements cumulés}
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\label{sec:rendementscum}
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On pose l'hypothèse suivante:
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\begin{hypothese}
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||
Les rendements $R(i), i \in 1, \ldots, t$ sont indépendants, mais
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pas nécessairement identiquement distribués.
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\end{hypothese}
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On peut alors obtenir la distribution du rendement cumulé $L(t)$ en
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utilisant le produit de convolution \eqref{eq:convocaract}.
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Considérons $\phi_{R(i)}(\xi)$ la fonction caractéristique d'un
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rendement $R(i)$ et $\phi_{L(t)}(\xi)$ celle du cumulé $L(t)$. On
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obtient alors que cette dernière est égale au produit des fonctions
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caractéristiques des rendements effectifs sur chacune des périodes de
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l'intervalle $\left[0,t\right]$:
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\begin{equation}
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\label{eq:convolutionLR}
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||
\phi_{L(t)}(\xi) = \prod_{i=1}^t \phi_{R(i)}(\xi).
|
||
\end{equation}
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On considère la situation où l'on posera plutôt l'hypothèse suivante:
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\begin{hypothese}
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||
Les rendements $R(i), i \in 1, \ldots, t$ sont à la fois
|
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indépendants et identiquement distribués.
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||
\end{hypothese}
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|
||
Alors, la fonction caractéristique des rendements est égale pour
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chaque période:
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\begin{align}
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\label{eq:rendementsIID}
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||
\phi_{R}(\xi) = \phi_{R(1)}(\xi) = \ldots &= \phi_{R(t)}(\xi).
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||
\end{align}
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On peut donc simplifier l'expression \eqref{eq:convolutionLR} pour
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obtenir la fonction caractéristique:
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\begin{equation}
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\label{eq:convolution2}
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||
\phi_{L(t)}(\xi) = \left[\phi_{R}(\xi)\right]^t.
|
||
\end{equation}
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|
||
Considérer une distribution qui est fermée sous la convolution pour
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||
modéliser les rendements sur une période $R(i)$ peut alors être
|
||
intéressant. Le rendement cumulé $L(t)$ pourra aussi être
|
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modélisé à l'aide de la même distribution. Pour ce faire, on modifie
|
||
un paramètre d’échelle en fonction de la longueur $t$ de l'intervalle
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de temps considéré.
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\subsection{Données disponibles}
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\label{sec:donneesdisponibles}
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Les données disponibles auprès des fournisseurs d'informations
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financières prennent habituellement la forme de séries chronologiques
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discontinues. Celles-ci incluent les prix à l'ouverture, le plus bas
|
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et le plus élevé au courant de la journée ainsi qu'à la fermeture,
|
||
pour chaque jour où les marchés financiers sont en activité. Afin de
|
||
mesurer le rendement quotidien d'un titre, seuls les prix à la
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fermeture seront considérés.
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\section{Les premiers modèles}
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\subsection{Le modèle de Bachelier}
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\label{sec:bachelier}
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Un des premiers modèles proposés afin de représenter les rendements
|
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financiers a été celui de \cite{bachelier1900theorie} .
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Le prix d'un titre peut varier, durant une période, de n'importe
|
||
quelle valeur comprise dans l'intervalle $\left[ -S(t),\infty
|
||
\right]$. Il propose donc que cet intervalle soit remplacé par
|
||
l'ensemble du domaine réel $\mathbb{R}$. La probabilité que le titre
|
||
atteigne une valeur nulle ou négative ou que celle-ci double devrait
|
||
donc être négligeable. Il ajoute aussi que la variation est
|
||
indépendante du prix actuel du titre $S(t)$ et que la distribution de
|
||
probabilités de celle-ci est symétrique et centrée en ce point.
|
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Il utilise le principe selon lequel la probabilité que deux évènements
|
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indépendants consécutifs aient lieu est le produit de celles que
|
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chacun d'entre eux se réalise, pour établir la distribution des
|
||
variations du prix. Par exemple, la variation du prix sur une première
|
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période prend la valeur $x$ et celle sur une seconde, $z-x$, comme
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illustré à la figure \ref{fig:bachelier1}.
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%% ligne du temps
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\begin{figure}[!ht]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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||
\draw [->] (0,0) -- (6,0); \foreach \x in {0,2,4} \draw (\x
|
||
cm,3pt) -- (\x cm,-3pt); \draw (0,0) node[below=3pt] {$ 0 $}
|
||
node[above=3pt] {$ S(0) $}; \draw (2,0) node[below=3pt] {$ t_1 $}
|
||
node[above=3pt] {$ S(0)+x $}; \draw (4,0) node[below=3pt] {$
|
||
t_1+t_2 $} node[above=3pt] {$ S(0)+z $};
|
||
\end{tikzpicture}
|
||
\caption{Modèle de Bachelier: probabilité composée}
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||
\label{fig:bachelier1}
|
||
\end{figure}
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||
On définit $f(x,t)$ la fonction de densité de la variation du prix
|
||
$S(t)$ par rapport au niveau initial $S(0)$. Alors, selon le principe
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précédent, on obtient l'expression
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:probcomposeeB}
|
||
f(z,t_1+t_2) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,t_1)\cdot f(z-x,t_2)
|
||
\cdot dx.
|
||
\end{align}
|
||
|
||
La solution proposée est que la densité de probabilité soit de la forme
|
||
\begin{align*}
|
||
\label{eq:formeprobB}
|
||
f(x,t) = A \cdot \exp \left\{-B^2x^2 \right\}.
|
||
\end{align*}
|
||
|
||
Afin que la fonction $f(x,t)$ soit une densité de probabilité, la
|
||
condition suivante doit être respectée:
|
||
\begin{align}
|
||
\int_{-\infty}^{\infty} A \cdot \exp \left\{-B^2x^2 \right\} dx = 1.
|
||
\end{align}
|
||
|
||
Ceci implique que
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||
\begin{align*}
|
||
B&= A\sqrt{\pi}.
|
||
\end{align*}
|
||
|
||
En posant $x=0$, on a $A=f(0,t)$ et l'on en déduit:
|
||
\begin{align}
|
||
f(x,t) = f(0,t) \cdot \exp \left\{-\pi \cdot f(0,t)^2 \cdot x^2
|
||
\right\}.
|
||
\end{align}
|
||
|
||
En reprenant l'intégrale \eqref{eq:probcomposeeB}, on obtient que la
|
||
densité de probabilité $f(z,t_1+t_2)$ soit aussi de la forme
|
||
\eqref{eq:formeprobB}:
|
||
\begin{align}
|
||
f(z,t_1+t_2) = \frac{f(x,1)f(z-x,2)}{\sqrt{f(x,1)^2+f(z-x,2)^2}}
|
||
\exp \left\{-\pi \frac{f(x,1)f(z-x,2)}{f(x,1)^2+f(z-x,2)^2} z^2
|
||
\right\}.
|
||
\end{align}
|
||
|
||
On reconnaitra que cette densité est, à un changement de variable
|
||
près, une loi normale. La démarche suggère qu'il recherchait une
|
||
distribution qui était fermée sous la convolution, une propriété
|
||
souhaitable pour un modèle cohérent des rendements financiers.
|
||
|
||
Ce modèle implique un processus de Wiener-Bachelier selon lequel les
|
||
incréments, ou les changements de prix, suivent une distribution
|
||
normale:
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:bachelier00}
|
||
S(T)-S(t) \sim N\left(0,\sigma^2 \left(T-t\right)\right).
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
On doit noter que ce modèle implique que la variance des fluctuations
|
||
n'est pas proportionnelle au prix initial. Une première correction
|
||
sera apportée au modèle afin de considérer le logarithme du prix. Ce
|
||
changement permettra d'obtenir un modèle où elle est désormais
|
||
proportionnelle au prix initial. Le processus du prix suivra alors un
|
||
mouvement brownien géométrique:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:browniengeom}
|
||
S(T)-S(t) &\sim LN \left(0, \sigma (T-t) \right).
|
||
\end{align}
|
||
|
||
Le logarithme du prix suivra alors un processus de Wiener-Bachelier:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:bachelierwiener2}
|
||
\ln\left(S(T)\right)-\ln\left(S(t)\right) &\sim N\left(0,\sigma
|
||
\left(T-t\right)\right).
|
||
\end{align}
|
||
|
||
Un des principaux avantages du processus de Bachelier modifié est que
|
||
le rendement cumulé $L(t)$ est aussi une variable aléatoire
|
||
gaussienne. Cette propriété est appelée L-stabilité ou invariance sous
|
||
l'addition. La distribution gaussienne est la seule ayant cette
|
||
propriété où le second moment est fini. Le sujet des distributions L
|
||
stables sera aussi abordé à la section \ref{sec:mandelbrot}.
|
||
|
||
Quelques années après sa publication, ce modèle est l'objet de
|
||
critiques de la part d'économistes et de financiers. En se référant à
|
||
\cite{mitchell1916critique}, on observe que, sur une base annuelle,
|
||
les variations négatives par rapport à la moyenne (149) sont plus
|
||
fréquentes que celles qui sont positives (126), pour un ensemble de 40
|
||
titres boursiers, entre 1890 et 1915 (figure \ref{fig:mitchell1}).
|
||
Une asymétrie négative des rendements sera alors présente.
|
||
\begin{figure}[!ht]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[scale=0.75]{../graphiques/mitchell1.pdf}
|
||
\caption{Distribution des rendements annuels de 40 titres boursiers,
|
||
de 1890 à 1915, Table XVIII de \cite{mitchell1916critique}}
|
||
\label{fig:mitchell1}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
De plus, les variations extrêmes sont plus fréquentes que ne pourrait
|
||
le prédire un modèle basé sur un mouvement brownien. La distribution
|
||
des rendements aurait donc des queues plus épaisses
|
||
\footnote{traduction de l'anglais heavy tailed} que la normale. On
|
||
doit trouver un modèle qui permet de tenir compte de ces
|
||
particularités.
|
||
|
||
\subsection{Proposition de Mandelbrot}
|
||
\label{sec:mandelbrot}
|
||
|
||
|
||
\cite{mandelbrot1963variation} propose un modèle qui vise à combler
|
||
les lacunes du processus brownien géométrique
|
||
\eqref{eq:browniengeom}. Il explique que les distributions empiriques
|
||
des changements de prix sont habituellement trop \emph{pointues} pour
|
||
être considérées comme des échantillons d'une population gaussienne.
|
||
|
||
Il identifie différentes caractéristiques qu'un bon modèle des
|
||
rendements financiers devrait posséder:
|
||
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\label{enum:mandelbrot}
|
||
\item Il doit tenir compte de la fréquence des grands changements de
|
||
prix. Il doit donc être basé sur une distribution leptocurtique,
|
||
plus pointue au centre que la normale.
|
||
\item Il doit permettre des changements instantanés et imprévisibles
|
||
de toute amplitude.
|
||
\item Il doit admettre une probabilité non nulle que plusieurs
|
||
changements consécutifs semblent corrélés.
|
||
\item Il doit admettre un processus de prix non stationnaire, car la
|
||
variance échantillonnale prend différentes valeurs à travers le
|
||
temps.
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
La famille de distributions L stables semble être celle qui répond le
|
||
mieux à l'ensemble de ces conditions \citep{walterlevy}. L'équation
|
||
suivante définit la propriété de L-stabilité de la distribution de la
|
||
variable aléatoire des rendements sur une période $R$:
|
||
\begin{align}
|
||
(a_1 R_1 + b_1) + (a_2 R_2 + b_2) &\stackrel{d}{=} aR + b \\
|
||
\forall a_1,a_2 > 0, \forall b_1, b_2.
|
||
\end{align}
|
||
|
||
La solution générale de cette équation a été découverte par Lévy en
|
||
1925. Le logarithme de la fonction caractéristique de celle-ci prend
|
||
la forme suivante:
|
||
\begin{align}
|
||
\ln{(\phi_{R}(\xi))} = i\delta \xi - \gamma |\xi|^{\alpha}
|
||
\left[1+\frac{i\beta \xi}{|\xi|} \tan{\frac{\alpha\pi}{2}} \right].
|
||
\end{align}
|
||
|
||
Le domaine et le rôle des paramètres de la distribution L stable sont
|
||
décrits à la table \ref{tab:roleparam}. La flexibilité apportée par les
|
||
quatre paramètres permet de remplir les quatre conditions établies au
|
||
début de cette section. De plus, l'absence, dans la majorité des cas,
|
||
de moments finis d'ordre supérieur à l'espérance permet de tenir
|
||
compte du mouvement erratique des prix et ainsi produire de larges
|
||
discontinuités de son processus. Elle permet aussi d'expliquer
|
||
l'apparence de corrélation sérielle, en considérant une probabilité
|
||
non négligeable que cette caractéristique soit présente. Cependant, ce
|
||
modèle est difficile à appliquer à l'évaluation de produits dérivés
|
||
pour cette raison, étant donné que l'on devra être en mesure de
|
||
quantifier la volatilité.
|
||
\begin{table}[!ht]
|
||
\centering
|
||
\begin{tabular}{|c|p{1.75cm}|p{2.5cm}|p{6.25cm}|}
|
||
\hline
|
||
\textbf{Paramètre} & \textbf{Domaine} & \textbf{Rôle} & \textbf{Observations} \\
|
||
\hline
|
||
$\alpha$ & $\left]0,2\right]$ & Aplatissement & Plus sa valeur est petite, plus la distribution est leptocurtique. $\alpha=2$ correspond à la distribution normale. \\
|
||
$\beta$ & $\left] -1, 1 \right]$ & Asymétrie & Défini seulement lorsque $\alpha \neq 1$. Lorsque $\alpha=1$ et $\beta=0$, on obtient la distribution de Cauchy. \\
|
||
$\gamma = s^{\alpha}$ & $\mathbb{R}\setminus\{0 \}$ & Échelle & On doit prendre la racine $\alpha$ pour obtenir un paramètre d'échelle $s$ tel que défini par Pearson. \\
|
||
$\delta$ & $\mathbb{R}$ & Localisation & \\
|
||
\hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\caption{Domaine et rôle des paramètres de la distribution L stable de Mandelbrot}
|
||
\label{tab:roleparam}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
L'approche classique, selon Mandelbrot, pour expliquer les grands
|
||
changements de prix a été de considérer un mélange de deux
|
||
distributions normales, dont une pour les fluctuations régulières et
|
||
une qui a une variance plus importante, pour les discontinuités. Il
|
||
remarque que pour expliquer adéquatement le comportement des données
|
||
empiriques, on doit introduire un mélange de plusieurs distributions
|
||
normales, ce qui rendrait le modèle plus complexe. Par contre, on
|
||
retrouve une approche intéressante avec le modèle présenté à la
|
||
section suivante.
|
||
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||
\subsection{Le modèle de Press}
|
||
\label{sec:press}
|
||
|
||
\cite{press1967compound} propose un modèle statistique basé sur un
|
||
processus de Poisson composé auquel on ajoute un mouvement brownien
|
||
$W(t)$. C'est donc d'un processus ayant des incréments stationnaires
|
||
et indépendants. Il présente donc les caractéristiques d'un processus
|
||
de Lévy. Press utilise aussi la transformation logarithmique
|
||
\eqref{eq:browniengeom} afin que la variation soit proportionnelle au
|
||
prix. Il remarque aussi que le modèle logarithmique de Bachelier est
|
||
inadéquat, car il ne tient pas compte des queues de la distribution
|
||
empirique des rendements qui sont plus épaisses que celles de la
|
||
normale. Il ajoute que le modèle proposé par Mandelbrot est
|
||
discutable, car il ne trouve aucune évidence, à partir des données
|
||
observées, que la distribution de la population aurait une variance
|
||
infinie.
|
||
|
||
Le processus de Poisson $\left\{N(t)\right\}$ de paramètre $\lambda t$
|
||
est un processus de comptage qui détermine les occurrences des sauts
|
||
$Y_k, k = 1, \ldots, N(t)$. Ces sauts surviennent généralement
|
||
lorsqu'une information importante est rendue publique par rapport à un
|
||
titre. Ceux-ci sont aussi de distribution normale, mais leur espérance
|
||
n'est pas nulle et leur variance est différente de celle du processus
|
||
$W(t)$. Cette composante que l'on ajoute au modèle de Bachelier
|
||
modifié permet d'expliquer les variations plus importantes et moins
|
||
fréquentes observées empiriquement.
|
||
|
||
Le processus du logarithme du prix $\left\{s(t)\right\} \equiv
|
||
\left\{\ln{(S(t))}\right\}$ est donc représenté par l'équation
|
||
suivante:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:press67}
|
||
s(t) &= s(0) + \sum_{k=1}^{N(t)} Y_k + W(t).
|
||
\end{align}
|
||
|
||
On définit les différentes variables aléatoires composant le processus
|
||
comme suit:
|
||
\begin{align*}
|
||
Y_k &\sim N(\theta,\sigma_2^2) \\
|
||
W(t) &\sim N(0,\sigma_1^2 t) \\
|
||
N(t) &\sim Poisson(\lambda t)
|
||
\end{align*}
|
||
|
||
Comme pour la plupart des processus de Lévy, on ne peut obtenir une
|
||
forme explicite pour la fonction de densité, car celle-ci se présente
|
||
sous la forme d'une série infinie. On représente alors ces processus
|
||
par leur fonction caractéristique, formée par le produit de celles de
|
||
leurs différentes composantes.
|
||
|
||
La distribution du logarithme du prix $s(t)$ est définie par la
|
||
fonction caractéristique $\phi_{s(t)}(\xi)$, qui est le produit de
|
||
celle de la constante et celles des processus de Wiener et de Poisson
|
||
composé:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:fncaractpress}
|
||
\phi_{s(t)}\left(\xi\right) &= E\left[e^{i \xi s(t)} \right] \nonumber \\
|
||
&= exp\left\{ i\xi \cdot s(0) \right\} \times exp \left\{ -\frac{t \sigma_1^2 \xi^2}{2} \right\} \times exp \left\{ \lambda t \left[e^{i \theta \xi-(\sigma_2^2 \xi^2/2)}-1 \right] \right\} \nonumber \\
|
||
&= exp\left\{ i\xi \cdot s(0)- \frac{t}{2}\sigma_1^2\xi^2 + \lambda
|
||
t \left[e^{i \theta \xi-(\sigma_2^2 \xi^2/2)}-1 \right] \right\}.
|
||
\end{align}
|
||
|
||
Afin d'estimer le modèle, on s'intéressera plutôt à la distribution
|
||
d'un incrément $\Delta s(t) = s(t)-s(t-1)$ de ce processus. La
|
||
fonction caractéristique $\phi_{\Delta s(t)}(\xi)$ de cette variable
|
||
aléatoire peut être facilement identifiée à partir de celle du
|
||
processus \eqref{eq:fncaractpress}. Essentiellement, on pose $s(0)=0
|
||
\mbox{ et } t=1$, pour obtenir:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:fncaractpress2}
|
||
\phi_{\Delta s(t)}\left(\xi\right) &= E\left[e^{i\xi\Delta s(t)} \right] \nonumber \\
|
||
&= exp\left\{-\frac{\sigma_1^2 \xi^2}{2} + \lambda \left[e^{i
|
||
\xi\theta -(\sigma_2^2 \xi^2/2)}-1 \right] \right\}.
|
||
\end{align}
|
||
|
||
Pour estimer les paramètres du modèle, on privilégie la méthode des
|
||
cumulants, qui est similaire à la méthode des moments. Considérons les
|
||
quatre premiers cumulants de la distribution de l'incrément $\Delta
|
||
s(t)$:
|
||
\begin{subequations}\label{eq:cumulantspress}
|
||
\begin{align}
|
||
K_1 &= \lambda\theta \\
|
||
K_2 &= \sigma_1^2+\lambda(\theta^2+\sigma_2^2) \\
|
||
K_3 &= \lambda\theta(\theta^2+3\sigma_2^2) \\
|
||
K_4 &= \lambda(\theta^4 + 6 \theta^2 \sigma_2^2 + 3 \sigma_2^4).
|
||
\end{align}
|
||
\end{subequations}
|
||
|
||
En utilisant les quatre premiers cumulants empiriques
|
||
\eqref{eq:cumulantsempiriques}, on obtient les équations suivantes:
|
||
\begin{subequations}\label{eq:presscum}
|
||
\begin{align}
|
||
0 &= \hat\theta^4 - \frac{\overline{K}_3}{\overline{K}_1} \hat\theta^2 + \frac{3\overline{K}_4}{2\overline{K}_1} \hat\theta - \frac{\overline{K}_3^2}{2\overline{K}_1^2} \label{eq:presscumtheta}\\
|
||
\hat\lambda &= \frac{\overline{K}_1}{\hat\theta} \label{eq:presscumlambda}\\
|
||
\hat\sigma_2^2 &= \frac{\overline{K}_3-\hat\theta^2\overline{K}_1}{3\overline{K}_1} \label{eq:presscumsigma2}\\
|
||
\hat\sigma_1^2 &= \overline{K}_2 -
|
||
\frac{\overline{K}_1}{\hat\theta}\left(\hat\theta^2 +
|
||
\frac{\overline{K}_3 - \overline{K}_3 \theta^2}{3\overline{K}_1}
|
||
\right). \label{eq:presscumsigma1}
|
||
\end{align}
|
||
\end{subequations}
|
||
|
||
En résolvant numériquement l'équation \eqref{eq:presscumtheta} pour le
|
||
$\hat\theta$, puis par substitutions successives dans les équations
|
||
\eqref{eq:presscum}, on obtient des estimateurs convergents pour les
|
||
quatre paramètres du modèle.
|
||
|
||
Un modèle similaire a aussi été présenté par \cite{merton1976option},
|
||
cependant, il inclut un paramètre de dérive $\alpha$, et considère que
|
||
les sauts $Y$, qui sont des facteurs multiplicatifs, peuvent suivre une autre distribution que la normale. Il
|
||
présente le modèle sous la forme d'une équation différentielle
|
||
stochastique:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:modelemerton}
|
||
\frac{dS}{S} = (\alpha - \lambda k)dt + \sigma dW + dq.
|
||
\end{align}
|
||
La constante $k$ représente l'espérance de la variation relative si un
|
||
saut se produit et $q$, le processus de Poisson composé. La solution
|
||
de cette équation est, selon le lemme d'Itô:
|
||
\begin{align}
|
||
S(t) &= \tilde{S}(0) \exp \left\{
|
||
(\alpha-\frac{1}{2}\sigma^2-\lambda k)t +
|
||
\sigma W(t) \right\}
|
||
\end{align}
|
||
où
|
||
\begin{align}
|
||
\tilde{S}(0) &= \begin{cases}
|
||
S(0) & \text{si } N(t) = 0\\
|
||
S(0) \sum_{k=1}^{N(t)} Y_k & \text{si } N(t) \geq 1. \nonumber
|
||
\end{cases}
|
||
\end{align}
|
||
|
||
En spécifiant un paramètre de dérive $\delta =
|
||
\alpha-\frac{1}{2}\sigma^2-\lambda k$ et en considérant que les
|
||
sauts $Y$ sont de distribution lognormale, on peut réécrire la
|
||
fonction caractéristique d'un incrément \eqref{eq:fncaractpress2} du
|
||
modèle de Press:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:fncaractmerton}
|
||
\phi_{\Delta s(t)}\left(\xi\right) &= E\left[e^{i\xi\Delta s(t)} \right] \nonumber \\
|
||
&= \exp\left\{i\delta \xi -\frac{\sigma^2 \xi^2}{2} + \lambda
|
||
\left[e^{i \xi\theta -(\sigma^2 \xi^2/2)}-1 \right] \right\}.
|
||
\end{align}
|
||
|
||
L'utilisation de ce modèle présente deux désavantages. L'estimation du
|
||
modèle est difficile lorsque la moyenne s'approche de 0, car le
|
||
quotient \eqref{eq:presscumlambda} tend alors vers une
|
||
indétermination. De plus, contrairement à d'autres modèles, il est
|
||
difficile d'identifier le rôle des paramètres par rapport à un moment
|
||
en particulier (classification de Pearson), contrairement à ce qu'on
|
||
pourra observer avec la distribution de Laplace asymétrique
|
||
généralisée.
|
||
|
||
\subsection{Le modèle de Praetz}
|
||
|
||
\cite{praetz1972distribution} propose un modèle inspiré par la
|
||
physique des particules. Il pose comme hypothèse que deux intervalles
|
||
qui ne se chevauchent pas forment une marche aléatoire, et que les
|
||
éléments qui composent la séquence des rendements financiers $\left\{
|
||
R(t) \right\}$ sont mutuellement indépendants. Il considère qu'un
|
||
état stable existe où les rendements suivent une loi normale de
|
||
paramètres $\mu$ et $\sigma^2$.
|
||
|
||
Cependant, cet état stable n'est jamais réellement atteint, et la
|
||
fonction de densité empirique généralement observée suppose une
|
||
distribution symétrique concave, pointue au centre et ayant des queues
|
||
épaisses. Il fait une analogie entre la température d'un gaz et le
|
||
niveau d'activité sur les marchés, où la variance du mouvement
|
||
brownien est proportionnelle à ces deux quantités. Il propose que le
|
||
paramètre de variance de la normale $\sigma^2$ suive une distribution
|
||
$g(\sigma^2)$ ayant un support positif. La distribution conditionnelle
|
||
est normale lorsque ce paramètre est connu.
|
||
\begin{align}
|
||
h_{R(t)}(r) &= \int_0^{\infty} f_{R(t)}(r|\sigma^2) g(\sigma^2) d\sigma^2 \\
|
||
f_{R(t)}(r|\sigma^2) &= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}exp\left\{-\frac{(r-\mu)^2}{2\sigma^2} \right\} \label{eq:praetz72}
|
||
\end{align}
|
||
|
||
Il propose comme solution acceptable pour la densité $g(\sigma^2)$, la
|
||
distribution gamma inverse de paramètres $m$ et $s^2$:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:gpraetz}
|
||
g(\sigma^2) &=
|
||
\frac{s^{2m}(m-1)^me^{-(m-1)\frac{s^2}{\sigma^2}}}{\sigma^{2(m-1)}\Gamma(m)}.
|
||
\end{align}
|
||
|
||
Cette distribution a pour moyenne $s^2$ et variance $\frac{s^2}{m-2}$.
|
||
La distribution non conditionnelle des rendements $h_{R(t)}$ est
|
||
approximativement une Student avec $2m$ degrés de liberté à un facteur
|
||
d'échelle de $\left(\frac{m}{m-1}\right)^{1/2}$ près:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:hpraetz}
|
||
h_{R(t)}(r) &= \frac{\Gamma(m)\left[\ 2(m-1)\pi
|
||
\right]^{1/2}s}{\left[1+\frac{(y-\mu)^2}{s^2(2m-2)}
|
||
\right]^{m+1/2}}.
|
||
\end{align}
|
||
|
||
D'autres distributions pourraient être utilisées au lieu de la gamma
|
||
inverse. En utilisant la loi gamma, on obtient la distribution de
|
||
Laplace asymétrique généralisée, qui sera l'objet d'une étude
|
||
approfondie aux chapitres suivants. Il propose enfin d'utiliser aussi
|
||
la distribution a priori gamma inverse pour le paramètre $\mu$. Par
|
||
contre, il remarque qu'il obtient aussi une distribution similaire à
|
||
celle de Student. Cette généralisation n'est donc pas nécessaire.
|
||
|
||
\section{Conditions essentielles de Madan et Seneta}
|
||
\label{sec:madanseneta90}
|
||
|
||
Inspirés par les travaux de Mandelbrot, Press et Praetz,
|
||
\cite{madan1990variance} présentent un ensemble de conditions
|
||
considérées essentielles dans l'élaboration d'un modèle de rendements
|
||
financiers. Ils se baseront sur celles-ci pour proposer le modèle
|
||
Variance Gamma:
|
||
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item La distribution des rendements $R$ doit avoir une queue
|
||
épaisse. Ainsi, la probabilité que cette variable aléatoire ait une
|
||
valeur supérieure à $r+t$ avec un $t$ petit, sachant qu'elle est
|
||
supérieure à $r$, doit tendre vers 1, ce qui signifie que la
|
||
fonction de survie converge lorsque cette quantité est grande.
|
||
\begin{eqnarray}
|
||
\label{eq:condmadan1}
|
||
\lim_{r\rightarrow \infty} P\left[R > r+t | R > r \right] &=& 1 \\
|
||
\bar{F}(r+t) &\sim& \bar{F}(r), \qquad r \rightarrow \infty \nonumber
|
||
\end{eqnarray}
|
||
\item La distribution doit posséder des moments finis pour les $n$
|
||
premières puissances des rendements $R$. Étant donné que l'on
|
||
cherche à modéliser la queue de la distribution, on fixe $n=4$.
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:condmadan2}
|
||
E\left[R^k\right] < \infty, \qquad k \in \lbrace 1,2,3,4 \rbrace
|
||
\end{equation}
|
||
\item
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Le modèle doit proposer un processus de temps continu ayant
|
||
des accroissements stationnaires et indépendants.
|
||
\item Les distributions des accroissements doivent appartenir à la
|
||
même famille, quelle que soit leur longueur. Cette condition est
|
||
essentielle afin de permettre l'échantillonnage et l'analyse des
|
||
séries chronologiques.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\item Le modèle doit permettre une extension multivariée avec une
|
||
distribution elliptique afin de conserver la validité du modèle
|
||
d'évaluation des actifs financiers.
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
Chacun des modèles présentés précédemment respecte la majorité ou
|
||
toutes ces conditions. Les résultats se retrouvent à la table
|
||
\ref{tab:condmadan}.
|
||
\begin{table}[!ht]
|
||
\centering
|
||
\begin{tabular}{ccccc}
|
||
& \multicolumn{4}{c}{\textbf{Conditions}} \\
|
||
\hline
|
||
\textbf{Modèles} & 1 & 2 & 3 & 4 \\
|
||
\hline
|
||
Mouvement brownien de Bachelier & & $\ast$ & $\ast$ & $\ast$ \\
|
||
Distribution stable symétrique de Mandelbrot & $\ast$ & & & $\ast$ \\
|
||
Processus de Poisson composé de Press & $\ast$ & $\ast$ & $\ast$ & $\ast$ \\
|
||
Mélange gaussien/inverse gamma de Praetz & $\ast$ & $\ast$ & & $\ast$ \\
|
||
Modèle Variance Gamma de Madan et Seneta & $\ast$ & $\ast$ & $\ast$ & $\ast$ \\
|
||
\hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\caption{Respect des conditions émises par Madan et Seneta pour les différents modèles présentés}
|
||
\label{tab:condmadan}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
On remarque que le modèle de Press remplit toutes les conditions
|
||
émises par Madan et Seneta. Cependant, ils remarqueront que ce n'est
|
||
pas un processus de sauts, car il contient aussi une composante de
|
||
diffusion (Section \ref{sec:levykhintchine}), ce qui va à l'encontre
|
||
de l'intuition derrière la continuité de la trajectoire du prix. C'est
|
||
cette dernière observation qui les incitera à proposer le modèle
|
||
Variance Gamma, qui est un processus de sauts. Ce modèle, aussi étudié
|
||
sous le nom de distribution de Laplace asymétrique généralisée par
|
||
\cite{kotz2001laplace}, a acquis beaucoup de notoriété dans le domaine
|
||
de la finance mathématique. De plus, avec le développement de
|
||
l'informatique et des méthodes numériques, on peut maintenant utiliser
|
||
de manière efficace la fonction caractéristique dans le cadre de la
|
||
calibration, des tests statistiques et de la tarification
|
||
d'options. C'est pourquoi un intérêt particulier est apporté à cette
|
||
distribution dans ce texte.
|
||
|
||
% \section{La volatilité}
|
||
% \label{sec:volatilite}
|
||
|
||
% La \textbf{volatilité} est une mesure de l'ampleur des variations du
|
||
% prix d'un actif. Elle sert à quantifier le risque lié à un
|
||
% investissement, le plus souvent sur un horizon à court terme. Elle se
|
||
% calcule le plus souvent à partir des prix des options observés sur les
|
||
% marchés, on parle alors de volatilité implicite. Comme elle n'est pas
|
||
% mesurable, cette volatilité est le reflet de l'anticipation des
|
||
% investisseurs quant aux perspectives du marché.
|
||
|
||
% Cependant, on peut toujours mesurer la volatilité historique du prix
|
||
% d'un titre à travers les rendements passés. La première étude à ce
|
||
% sujet a été faite par Black et Scholes, les auteurs du célèbre modèle
|
||
% qui porte désormais leur nom. Ils ont conclu que leur modèle
|
||
% surestimait le prix des options pour des actifs sous-jacents ayant une
|
||
% volatilité historique élevée, le contraire se produisait lorsqu'elle
|
||
% l'était peu. Leur modèle est donc utile à condition que les
|
||
% investisseurs puissent faire de bonnes prévisions
|
||
% \citep{musiela2005martingale}.
|
||
|
||
% De plus, comme il a été expliqué précédemment, les données historiques
|
||
% démontrent que la volatilité n'est pas constante avec le temps, mais
|
||
% plutôt aléatoire. Dans cette perspective, on pourrait identifier la
|
||
% distribution de la volatilité à travers le temps.
|
||
% \subsection{Mesure de la volatilité historique}
|
||
% \label{sec:mesurevolatilite}
|
||
|
||
% Afin d'obtenir un ensemble d'observations de la volatilité historique,
|
||
% on utilise une approche par fenêtre mobile. \cite{randal2004non}
|
||
% considère un estimateur de variance mobile $\hat\sigma^2(t)$, basé sur
|
||
% les rendements centrés $R(t) = Y(t)-E\left[Y(t)\right]$ de la forme
|
||
% \begin{align}
|
||
% \hat\sigma^2(t) = \frac{1}{2r+1} \sum_{j=-r}^r R(t+j)^2, \qquad
|
||
% t\in\left[r+1,n-r\right] \label{mobilevariance}
|
||
% \end{align}
|
||
|
||
% Étant donné la taille limitée $n$ de l'échantillon des rendements, on
|
||
% doit faire un compromis entre la précision des observations de la
|
||
% volatilité et le nombre $n-2r$ de celles-ci. L'hypothèse de volatilité
|
||
% stochastique fera pencher en faveur d'une fenêtre étroite, ce qui
|
||
% procurera un grand nombre d'observations la décrivant à court
|
||
% terme. On pourra donc ajuster une distribution de probabilités à
|
||
% celles-ci.
|
||
|
||
% \subsection{Biais de la volatilité implicite}
|
||
% \label{sec:impvolsmile}
|
||
|
||
% Le biais de volatilité implicite est un concept qui explique pourquoi
|
||
% la volatilité des options croît lorsque le prix d'exercice s'éloigne
|
||
% de la valeur actuelle du titre sous-jacent. Selon
|
||
% \cite{hull1999options}, ce phénomène a été remarqué sur les marchés
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% financiers américains à partir du krach boursier du lundi noir
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% \footnote{19 octobre 1987}, et n'est toujours pas entièrement
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% expliqué. Généralement, on observe que, pour les options sur indices
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% boursiers et taux de change, la courbe de volatilité implicite est
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% plutôt symétrique, alors qu'elle est asymétrique pour celles sur
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% actions (voir figure \ref{fig:volimplicite} pour un exemple).
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% \begin{figure}[!ht]
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% \centering
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% \includegraphics[]{./bbry-echeance-06-2013-20mai2013.png}
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% \caption{Courbe de volatilité implicite, titre BBRY, option d'achat
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% avec échéance 06-2013, observée le 20-05-2013, prix de 15.83,
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% source: \cite{thevolskew}}
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% \label{fig:volimplicite}
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% \end{figure}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "gabarit-maitrise"
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%%% End:
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