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\chapter{La distribution de Laplace asymétrique
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généralisée} % numéroté
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Dans ce chapitre, on présente, en premier lieu, le processus de
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Laplace ainsi que les deux processus sous-jacents à sa construction,
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le processus gamma et le processus de Wiener. Ensuite, on présente la
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distribution de Laplace asymétrique généralisée et ses principales
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propriétés qui seront utilisées pour modéliser les rendements de
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titres financiers. Puis, on présente quelques cas particuliers. Dans
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le chapitre suivant, on présentera différentes méthodes pour obtenir
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une approximation de la fonction de densité et la fonction de
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répartition.
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La distribution de Laplace asymétrique généralisée a été
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principalement étudiée par \cite{kozubowski1999class}. Cependant, elle
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a été introduite près d'une décennie auparavant par
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\cite{madan1990variance}, sous le nom de distribution Variance
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Gamma. La différence entre les approches des deux auteurs est
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majeure. \cite{madan1990variance} développent un modèle financier à
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partir du mouvement brownien géométrique, qu'ils généralisent en
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proposant que la variance suive une distribution
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gamma. \cite{kozubowski1999class} généralisent la distribution de
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Laplace asymétrique. Leur approche est plus générale, car ils ne
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cherchent pas à développer un modèle financier, mais une nouvelle
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classe de distributions utilisable dans divers domaines
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scientifiques. Étant donné leur approche plus détaillée et plus
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intuitive, c'est leur formulation du modèle qui sera développée. On
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rappellera enfin que les deux modèles sont équivalents même si leurs
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paramétrisations sont différentes.
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\section{Le processus de Laplace}
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\label{sec:processusGAL}
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Le processus de Laplace est défini comme étant un processus de Wiener
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subordonné par un processus gamma. En d'autres termes, c'est un
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processus de Wiener évalué à des temps aléatoires déterminés par un
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processus gamma. Selon \cite{kotz2001laplace}, ce dernier est à la
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distribution de Laplace ce que le mouvement brownien est à la loi
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normale. Il est aussi un cas particulier des processus de Lévy, et en
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conserve donc la principale propriété, celle d'être infiniment
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divisible.
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Il a certains points en commun avec le mouvement brownien dont des
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moments finis pour tout ordre et des incréments indépendants et
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stationnaires. Cependant, la plupart des caractéristiques diffèrent:
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\begin{itemize}
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\item Discontinuité des trajectoires (processus de sauts);
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\item Distribution asymétrique des accroissements;
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\item Paramètre d'échelle et de temps entièrement dissociés.
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\end{itemize}
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Enfin, il possède une représentation alternative qui n'implique aucun
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processus de Wiener. Il peut en fait être représenté comme la
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différence de deux processus gamma indépendants. On peut le
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représenter en utilisant la forme générale des processus de Lévy.
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\subsection{Le processus gamma}
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\label{sec:processusgamma}
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Le processus gamma, noté $\left\{G(t;\tau,\beta)\right\}$, est un
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processus de sauts purs (donc aucune composante de dérive ni de
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diffusion) dont les incréments $G(t+1;\tau,\beta) - G(t;\tau,\beta)$
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suivent une distribution gamma de paramètres de forme $\tau$ et
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d'échelle $\beta$, définie par les fonctions de densité
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$f_{\tau,\beta}(x)$ et caractéristique $\phi_{\tau,\beta}(\xi)$:
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\begin{align}
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f_{\tau,\beta}(x) &= \frac{\beta^\tau}{\Gamma(\tau)} x^{\tau \,-\, 1} e^{- \beta x } 1_{\lbrace x\geq\,0 \rbrace} \label{eq:densitegamma} \\
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\phi_{\tau,\beta}(\xi) &= E\left[e^{i\xi\,X} \right] \nonumber\\
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&= \int_{0}^{\infty} e^{i\xi\,x} f_{\tau,\beta}(x) dx \nonumber\\
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&=
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\frac{1}{\left(1-\frac{i\xi}{\beta}\right)^{\tau}} \label{eq:fncaractgamma}.
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\end{align}
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On s'intéresse à la situation où le paramètre d'échelle est de valeur
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unitaire ($\beta=1$). Le processus gamma agit alors à titre de
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compteur et sa valeur $G(t;\tau,\beta=1)$ au temps $t$ correspondra au
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nombre de sauts depuis $t=0$. La fonction de densité
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$G(t+1;\tau,\beta=1) - G(t;\tau,\beta=1)$ sera alors:
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\begin{align}
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f_{\tau,\beta=1}(x) &= \frac{1}{\Gamma(\tau)} x^{\tau \,-\, 1} e^{- x} 1_{\lbrace x\geq\,0 \rbrace}. \label{eq:densitegamma1}
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\end{align}
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Le paramètre $\tau$, qui définit la forme de la distribution,
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déterminera la fréquence moyenne des sauts du processus gamma
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$\Gamma(t;\tau,\beta=1)$, étant donné l'espérance $E[G(t)] = \tau\cdot
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t$. La fonction caractéristique de ce processus sera donc
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$\phi(\xi,t;\tau,\beta=1)$, en utilisant la propriété de convolution
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\eqref{eq:convocaractIID} (même si le temps $t$ n'est pas entier, car
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la distribution est infiniment divisible):
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\begin{align}
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\phi(\xi,t;\tau,\beta=1) &= \left[\frac{1}{\left(1-\frac{i\xi}{1}\right)^{\tau}}\right]^t \nonumber\\
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&= \frac{1}{\left(1-i\xi\right)^{\tau\cdot t}}.
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\end{align}
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On peut réécrire la fonction caractéristique d'un incrément de ce
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processus $\phi(\xi;t=1;\tau,\beta=1)$ sous la représentation de
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Lévy-Khintchine \eqref{eq:levykhintchine}, avec l'exposant
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caractéristique $\Xi(\zeta)$:
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\begin{align}
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\label{eq:exposantchargamma}
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\Xi(\zeta;t=1;\tau,\beta=1) &= \tau\ln{\left(1-i\zeta\right)} \\
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&= \tau \left(e^{0} - e^{-\infty}\right) \ln{\left(1-i\zeta \right)} \nonumber\\
|
||
&= \tau \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x} - e^{-(1-i\zeta)x}}{x} dx \nonumber\\
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||
&\qquad\mbox{(intégrale de Frullani \citep{spiegel1999schaum}, p.115)} \nonumber\\
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&= \tau \int_{0}^{\infty}
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||
\left(1-e^{i\zeta\,x}\right)\frac{1}{x}e^{-x}dx.
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\end{align}
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On a donc, par cette représentation, la démonstration que le processus
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gamma est un processus de sauts purs. Il pourra donc être utilisé
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comme subordonnant dans la construction d'un processus subordonné
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\eqref{eq:processussubordonne}.
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\subsection{Le processus de Wiener}
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\label{sec:mouvementbrownien}
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Le processus de Wiener $\left\{W(t;\mu,\sigma^2)\right\}$ est un
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processus de diffusion avec dérive. Il n'a donc pas de composante de
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saut. Ses incréments suivent une distribution normale:
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\begin{align}
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\label{eq:incrwiener}
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W(t+1;\mu,\sigma^2) - W(t;\mu,\sigma^2) \sim N(\mu,\sigma^2).
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\end{align}
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Cette distribution est définie par la fonction de densité
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$f_{\mu,\sigma}(x)$ et la fonction caractéristique
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$\phi_{\mu,\sigma}(\xi)$:
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\begin{align}
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f_{\mu,\sigma}(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp{\left\{\frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2\right\}} \label{eq:fndensitenormale} \\
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||
\phi_{\mu,\sigma}(\xi) &= \exp\left\{
|
||
i\mu\xi-\frac{\sigma^2\xi^2}{2}
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\right\} \label{eq:fncaractnormale}.
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\end{align}
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Notons que la variance d'un incrément est proportionnelle à la
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longueur de celui-ci. Soit deux incréments indépendants d'un même
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processus: $I_1 = W(t+q;\mu,\sigma^2) - W(t;\mu,\sigma^2) \sim
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N(q\mu,q\sigma^2) \mbox{ et } I_2 = W(t+q+s;\mu,\sigma^2) -
|
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W(t+q;\mu,\sigma^2) \sim N(s\mu,s\sigma^2)$. La somme de ces
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incréments suit une distribution normale dont la moyenne et la
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variance sont respectivement la somme de celles des deux incréments:
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\begin{align}
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I_1+I_2 \sim N((q+s)\mu, (q+s)\sigma^2).
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\end{align}
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Comme la distribution normale est aussi infiniment divisible, on peut
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obtenir la fonction caractéristique du processus
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$\phi(\xi;t;\mu,\sigma^2)$ en utilisant la propriété de convolution
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\eqref{eq:convocaractIID}:
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\begin{align}
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\phi(\xi;t;\mu,\sigma^2) = \exp\left\{ i\mu t
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\xi-\frac{\sigma^2t\xi^2}{2} \right\}.
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\end{align}
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On déduit donc facilement l'exposant caractéristique
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$\Lambda(\xi;t=1;\mu,\sigma^2)$ d'un incrément de ce processus, sous
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la représentation de Lévy-Khintchine:
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\begin{align}
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\label{eq:exposantcaractnormale}
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\Lambda(\xi;t=1;\mu,\sigma^2) = -(i\mu \xi-\frac{\sigma^2\xi^2}{2}).
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\end{align}
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Ceci démontre que le processus de Wiener est un processus avec dérive
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et diffusion, mais sans composante de saut. Il pourra donc être
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utilisé pour construire un processus subordonné
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\eqref{eq:processussubordonne}.
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\subsection{Le processus de Laplace est un processus subordonné}
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\label{sec:browniensub}
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On considère un processus gamma $G(t;\tau,\beta=1)$ et un processus de
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Wiener $W(t;\mu,\sigma^2)$. On se rappelle que la variance d'un
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incrément \eqref{eq:incrwiener} de ce dernier est proportionnelle à la
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longueur de l'intervalle de temps. En utilisant une propriété appelée
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la subordination, on peut modifier l'échelle de temps du processus de
|
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Wiener de sorte que la variance soit aléatoire pour tout intervalle
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. Tout processus de Lévy peut être utilisé comme subordonnant pour
|
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définir cette échelle de temps. Si on utilise le processus gamma, on
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obtiendra le processus de Laplace sans dérive
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$\left\{Y(t;\sigma,\mu,\tau)\right\}$ défini comme suit:
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\begin{align}
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\label{eq:VGsubordinne}
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\lbrace Y(t;\sigma,\mu,\tau)\rbrace &\equiv \lbrace
|
||
W(G(t;\tau,\beta=1);\mu,\sigma^2)\rbrace.
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\end{align}
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On obtient l'exposant caractéristique $\Psi(\xi,t=1;\sigma,\mu,\tau)$
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d'un incrément $Y(t+1;\sigma,\mu,\tau)-Y(t;\sigma,\mu,\tau)$ en
|
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utilisant la propriété de subordination définie par l'équation
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\eqref{eq:exposantcaractYt}, où $\Xi(\zeta,t=1;\tau,\beta=1)$ est
|
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l'exposant caractéristique du processus gamma et
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$\Lambda(\xi,t=1;\mu,\sigma^2)$ celui du processus de Wiener:
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\begin{align}
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\label{eq:exposantcaractLaplace}
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\Psi(\xi,t=1;\sigma,\mu,\tau) &= \Xi(i\Lambda(\xi,t=1;\mu,\sigma^2),t=1;\tau,\beta=1) \nonumber\\
|
||
&= \tau \ln{\left(1-i(i\Lambda(\xi)) \right)} \nonumber\\
|
||
&= \tau \ln{\left(1+(\frac{\sigma^2 \xi^2}{2} - i \mu \xi) \right)}.
|
||
\end{align}
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Le processus de Laplace sans dérive est donc, par définition, un
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processus de Lévy et par conséquent infiniment divisible. En utilisant
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l'exposant caractéristique \eqref{eq:exposantcaractLaplace} et la
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définition \eqref{eq:fncaractYt}, on obtient sa fonction
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caractéristique:
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\begin{align}
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\label{eq:fonctioncaractlaplacesansdrift}
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||
\phi_{Y(t;\sigma,\mu,\tau)}(\xi) &= \exp{\left\{-t \cdot \Psi(\xi,t=1;\sigma,\mu,\tau)\right\}} \nonumber\\
|
||
&= \exp{\left\{-t \cdot \left(\tau \ln{\left(1+(\frac{\sigma^2
|
||
\xi^2}{2} - i \mu
|
||
\xi) \right)} \right)\right\}} \nonumber\\
|
||
&= \left(1+\frac{\sigma^2 \xi^2}{2} - i \mu \xi\right)^{-\tau \cdot
|
||
t}.
|
||
\end{align}
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Une manière simple pour expliquer le mécanisme derrière le processus
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subordonné est d'en construire une trajectoire à l'aide de la
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simulation.
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On simule un temps d'arrivée $T_1$, de distribution gamma, puis une
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hauteur de saut $X_1$, de distribution normale. On obtient ainsi le
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premier incrément de la trajectoire, tel qu'illustré à la figure
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\ref{fig:increment1}.
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\begin{figure}[!ht]
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\centering \input{"../graphiques/increment1.tex"}
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\caption{Premier incrément d'un processus subordonné}
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\label{fig:increment1}
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\end{figure}
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||
Une réalisation d'une trajectoire de ce processus par simulation se
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||
trouve à la figure \ref{fig:simgammagauss}.
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\begin{figure}[!ht]
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\centering
|
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\includegraphics[scale=.8]{"../graphiques/CH3-SIMGAMMAGAUSS"}
|
||
\caption{Simulation d'un processus de Wiener subordonné par un
|
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processus gamma}
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||
\label{fig:simgammagauss}
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\end{figure}
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Le processus gamma $G(t;\tau,\beta=1)$, en tant que subordonnant dans
|
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ce cas-ci, définit une échelle de temps économique , selon laquelle
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on situe l'arrivée d'évènements pouvant influencer le prix d'un titre
|
||
financier. Cette dernière ne peut être mesurée, elle est donc
|
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abstraite. L'échelle de temps où sont effectuées les observations du
|
||
processus correspond au temps calendrier. C'est la seule qui
|
||
puisse être mesurée. Étant donné que ces deux échelles sont
|
||
indépendantes, plusieurs sauts entre deux observations sont possibles.
|
||
L'échelle de temps économique est donc soit étirée, soit compressée,
|
||
en comparaison au temps calendrier. Autrement dit, si l'on définit
|
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une journée économique comme étant l'intervalle de temps entre deux
|
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sauts, on peut en avoir plusieurs au cours d'une seule journée de
|
||
calendrier $(G(t+1;\tau,\beta=1)-G(t;\tau,\beta=1) > 1)$. À l'opposé,
|
||
une d'entre elles peut chevaucher plusieurs journées calendrier
|
||
$(G(t+1;\tau,\beta=1)-G(t;\tau,\beta=1) \leq 1)$.
|
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Un processus stochastique qui représente le comportement du prix d'un
|
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titre financier doit inclure une composante de dérive. Celle-ci
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exprime le rendement moyen réalisé et est indépendante du processus de
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sauts. Pour cette raison, on ajoute un coefficient de dérive $\theta$
|
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au processus de Laplace sans dérive, pour obtenir sa forme
|
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générale. Comme ce coefficient est constant, on peut multiplier la
|
||
fonction caractéristique \eqref{eq:fonctioncaractlaplacesansdrift} par
|
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la transformée de Fourier inverse du produit de celui-ci et de la
|
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longueur de l'intervalle de temps $t$, $\mathcal{F}^{-1}(\theta \cdot
|
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t) = e^{i\xi\theta \cdot t}$, pour obtenir celle du processus de
|
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Laplace:
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\begin{align}
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\phi_{Y(t;\theta,\sigma,\mu,\tau)}(\xi) &= \frac{e^{i\xi\theta\cdot t}}{\left(1+\frac{\sigma^2\xi^2}{2}- i\mu \xi \right)^{\tau \cdot t}} \nonumber\\
|
||
&= \left(\frac{e^{i\xi\theta}}{\left(1+\frac{\sigma^2\xi^2}{2}- i\mu
|
||
\xi
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||
\right)^{\tau}}\right)^{t} \label{eq:fncaractprocessuslaplace}.
|
||
\end{align}
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||
Le processus $\left\{Y(t;\theta,\sigma,\mu,\tau)\right\}$ définit,
|
||
dans le contexte financier, l'évolution du logarithme du prix, tel que
|
||
présenté par \cite{kotz2001laplace}. Pour des fins de simplification,
|
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on fixe le prix initial à 1: $Y(0;\theta,\sigma,\mu,\tau) = 0$
|
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La fonction caractéristique \eqref{eq:fncaractprocessuslaplace}
|
||
constituera la principale représentation du processus de Laplace pour
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la suite de ce texte. La construction du modèle «Variance Gamma» de
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||
\cite{madan1990variance} est similaire, à l'exception que la
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||
paramétrisation et le processus gamma utilisés sont différents, ce qui
|
||
rend leur approche moins intuitive, bien que le résultat soit
|
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équivalent.
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\section{Distribution de Laplace asymétrique généralisée}
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\label{sec:distributionGAL}
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La distribution de Laplace asymétrique généralisée caractérise un
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intervalle du processus de Laplace avec dérive. Aussi appelée
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distribution de Bessel, elle a été introduite par Karl Pearson en
|
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1929, en lien avec la covariance d'un échantillon tiré d'une
|
||
population normale à deux variables. C'est aussi une généralisation de
|
||
la distribution de Laplace asymétrique qui sera présentée à la section
|
||
\ref{sec:distributionAL}.
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\subsection{Fonction caractéristique}
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\label{sec:fncaractGAL}
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||
On définit cette distribution principalement par sa fonction
|
||
caractéristique. Celle-ci s'obtient facilement à partir de la fonction
|
||
caractéristique du processus de Laplace avec dérive
|
||
\eqref{eq:fncaractprocessuslaplace}, en considérant un incrément de
|
||
longueur $t=1$. À partir de la définition de ce dernier
|
||
\eqref{eq:VGsubordinne}, on déduit qu'elle est en fait un mélange de
|
||
la loi normale dont le paramètre de variance suit une distribution
|
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gamma.
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$Y$ est une variable aléatoire définie comme étant la somme:
|
||
\begin{itemize}
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||
\item d'un paramètre de translation $\theta$,
|
||
\item du produit:
|
||
\begin{itemize}
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||
\item d'une variable aléatoire $W$ issue d'une distribution gamma
|
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\eqref{eq:densitegamma1}
|
||
\item et d'un paramètre $\mu$
|
||
\end{itemize}
|
||
\item et du produit:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item d'un paramètre $\sigma$,
|
||
\item de la racine carrée de la variable aléatoire $W$
|
||
\item et d'une variable aléatoire $Z$ issue d'une distribution
|
||
normale centrée réduite:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:defvarY-GAL}
|
||
&Y = \theta + \mu W + \sigma \sqrt{W} Z
|
||
\end{align}
|
||
où
|
||
\begin{align}
|
||
Z \sim N(0,1) \mbox{ et } W \sim \Gamma(\tau,\beta=1). \nonumber
|
||
\end{align}
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
Alors, la variable aléatoire $Y$, sachant que $W=w$, suit une
|
||
distribution normale de moyenne $w\mu$ et de variance $w\sigma^2$:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:Ynormalconditionnel}
|
||
(Y|W=w) \sim N(w\mu,w\sigma^2).
|
||
\end{align}
|
||
|
||
La fonction caractéristique de la variable aléatoire $Y$ peut donc
|
||
être obtenue en utilisant celle de la loi normale $\phi^{N}_{\mu
|
||
w,w\sigma^2}(t)$ et la formule de l'espérance conditionnelle:
|
||
\begin{align*}
|
||
\phi_Y(t;\theta,\sigma,\mu,\tau) &= E\left[E\left[e^{itY} | W \right] \right] \\
|
||
&= \int_0^{\infty} E \left[ e^{it(\theta + \mu w+\sigma\sqrt{w}Z)} \right] g(w) dw \quad \mbox{(en utilisant \eqref{eq:defvarY-GAL})} \\
|
||
&= e^{i\theta t}\int_0^{\infty} \phi^{N}_{\mu w,w\sigma^2}(t)g(w)dw \\
|
||
&= e^{i\theta t}\int_0^{\infty} e^{ iw\mu t-\frac{w\sigma^2t^2}{2}} \times \frac{1}{\Gamma (\tau)} w^{\tau-1}e^{-w} dw \\
|
||
&= e^{i\theta t}\int_0^{\infty} \frac{1}{\Gamma (\tau)} w^{\tau-1} e^{-w(1+\frac{1}{2} \sigma^2 t^2 - i\mu t)} dw.
|
||
\end{align*}
|
||
|
||
En complétant l'intérieur de l'intégrale de façon à retrouver la
|
||
densité de la loi gamma de paramètres $\alpha=\tau$ et
|
||
$\beta=\left(1+\frac{1}{2} \sigma^2 t^2 - i\mu t \right)^{\tau}$, on
|
||
obtient la fonction caractéristique de la variable aléatoire $Y$ de
|
||
distribution Laplace asymétrique généralisée:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:fncaractGALmu}
|
||
\phi_Y(t;\theta,\sigma,\mu,\tau) &= \frac{e^{i\theta t}}{{\left(1+\frac{1}{2} \sigma^2 t^2 - i\mu t \right)^{\tau}}}\int_0^{\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{2} \sigma^2 t^2 - i\mu t \right)^{\tau}}{\Gamma (\tau)} w^{\tau-1} e^{-w(1+\frac{1}{2} \sigma^2 t^2 - i\mu t)} dw \nonumber\\
|
||
&= \frac{e^{i\theta t}}{\left(1+\frac{1}{2} \sigma^2 t^2 - i\mu t
|
||
\right)^{\tau}}.
|
||
\end{align}
|
||
|
||
\subsection{Invariance d'échelle}
|
||
\label{sec:invariance-dechelle}
|
||
|
||
Une seconde paramétrisation pour la famille de distributions de
|
||
Laplace introduit la propriété d'invariance d'échelle. Cette propriété
|
||
permet d'appliquer un changement d'échelle à une variable aléatoire en
|
||
modifiant un seul paramètre sans que la valeur des autres ne soit
|
||
affectée. Si l'on revient à la définition de la variable aléatoire
|
||
conditionnelle $Y|W$ \eqref{eq:Ynormalconditionnel}, on remarque que
|
||
les paramètres $\mu \text{ et } \sigma^2$ sont influencés par la valeur
|
||
de $W$. Ils sont donc corrélés. En introduisant un paramètre
|
||
d'invariance d'échelle $\kappa$ en remplacement de $\mu$, on élimine
|
||
cette corrélation. Le paramètre $\kappa$ est obtenu à l'aide de la
|
||
transformation suivante:
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:mukappa}
|
||
\kappa = \frac{\sqrt{2\sigma^2+\mu^2}-\mu}{\sqrt{2}\sigma}.
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
À l'inverse, on peut retrouver le paramètre $\mu$ en l'isolant dans
|
||
l'équation précédente. On obtient donc:
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:kappamu}
|
||
\mu = \frac{\sigma}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\kappa}-\kappa \right).
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
On définit la fonction vectorielle $T_{\mu\rightarrow\kappa}$ comme
|
||
étant la transformation qui permet le passage de la forme en $\mu$ à
|
||
celle en $\kappa$:
|
||
\begin{align}
|
||
T_{\mu\rightarrow\kappa}(\theta, \sigma, \mu, \tau) &=
|
||
\left[\begin{array}{c} \theta \\ \sigma \\
|
||
\frac{\sqrt{2\sigma^2+\mu^2}-\mu}{\sqrt{2}\sigma} \\ \tau
|
||
\end{array}\right].
|
||
\end{align}
|
||
|
||
On définit aussi la transformation inverse $T_{\kappa\rightarrow\mu}$:
|
||
\begin{align}
|
||
T_{\kappa\rightarrow\mu}(\theta, \sigma, \kappa, \tau) &=
|
||
\left[\begin{array}{c} \theta \\ \sigma \\
|
||
\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\kappa}-\kappa \right) \\
|
||
\tau
|
||
\end{array}\right].
|
||
\end{align}
|
||
|
||
Cette notation permet d'utiliser un vecteur de paramètres. On peut
|
||
obtenir la matrice de variance-covariance d'une forme paramétrique en
|
||
connaissant celle de l'autre et en utilisant le gradient de ces
|
||
transformations.
|
||
|
||
Pour la première transformation, on a:
|
||
\begin{align}
|
||
\nabla T_{\mu\rightarrow\kappa} &= \left[
|
||
\begin{array}[]{cccc}
|
||
1&0&0&0 \\
|
||
0&1&0&0 \\
|
||
0&\frac{\mu\sqrt{4\sigma^2+\mu^2}-\mu^2}{2\sigma^2\sqrt{4\sigma^2+mu^2}} & -\frac{\sqrt{4\sigma^2+\mu^2}-\mu}{2\sigma\sqrt{4\sigma^2+\mu^2}} & 0 \\
|
||
0&0&0&1
|
||
\end{array}
|
||
\right].
|
||
\end{align}
|
||
|
||
Pour la seconde transformation, on a:
|
||
\begin{align}
|
||
\nabla T_{\kappa\rightarrow\mu} &= \left[
|
||
\begin{array}[]{cccc}
|
||
1&0&0&0 \\
|
||
0&1&0&0 \\
|
||
0&-\frac{\kappa^2-1}{\sqrt{2}\kappa} & -\frac{\left(\kappa^2+1\right)\sigma}{\sqrt{2}\kappa^2} & 0 \\
|
||
0&0&0&1
|
||
\end{array}
|
||
\right].
|
||
\end{align}
|
||
|
||
La forme en $\mu$ sera privilégiée pour l'estimation, car elle est
|
||
plus compacte. Cependant, certaines propriétés de la distribution font
|
||
appel à la forme utilisant le paramètre $\kappa$.
|
||
|
||
\subsection{Fonctions génératrices}
|
||
|
||
En utilisant la relation \eqref{eq:fncaractfgm}, on obtient la
|
||
fonction génératrice des moments à partir de la fonction
|
||
caractéristique:
|
||
\begin{align}
|
||
M_{Y}(\xi) &= \phi_{Y}(-i\xi) \nonumber\\
|
||
&=\frac{e^{\theta \xi}}{\left(1-\frac{1}{2} \sigma^2 \xi^2 - \mu \xi
|
||
\right)^{\tau}}, \label{eq:fgmGAL}\\
|
||
&\quad \mbox{où } 1-\frac{1}{2} \sigma^2 \xi^2 - \mu \xi > 0.
|
||
\label{eq:fgmGALcond}
|
||
\end{align}
|
||
|
||
La condition \ref{eq:fgmGALcond} permet de s'assurer que le
|
||
dénominateur prend une valeur réelle strictement positive. Cette
|
||
condition impose aussi une restriction à l'espace des paramètres
|
||
$\Omega$. La fonction génératrice des moments permet d'obtenir tous
|
||
les moments $E[Y^r]$ d'une variable aléatoire en la dérivant
|
||
successivement par rapport à la variable de transformation et en
|
||
égalant cette dernière à 0:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:fgmmomentsGAL}
|
||
E[Y^r] = \left[ \frac{d^r M_Y(\xi)}{d\xi^r} \right]_{\xi=0}.
|
||
\end{align}
|
||
|
||
La fonction génératrice des cumulants $K_{Y}(\xi)$ est aussi
|
||
intéressante à utiliser. On l'obtient à partir du logarithme de la
|
||
fonction génératrice des moments \eqref{eq:fgmmoments}:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:fgcGAL}
|
||
K_Y(\xi) &= \ln(M_Y(\xi)) \nonumber\\
|
||
&= \ln\left(\frac{e^{\theta \xi}}{\left(1-\frac{1}{2} \sigma^2
|
||
\xi^2 - \mu \xi \right)^{\tau}}\right),\qquad 1-\frac{1}{2}
|
||
\sigma^2 \xi^2 - \mu \xi > 0.
|
||
\end{align}
|
||
|
||
Elle a une utilité similaire à la fonction génératrice des moments,
|
||
sauf qu'elle permet d'obtenir les cumulants $K_r$ de la distribution
|
||
en la dérivant successivement par rapport à la variable de
|
||
transformation et en égalant celle-ci à 0:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:fgccumGAL}
|
||
K_r = \left[ \frac{d^r \ln{(M_Y(\xi))}}{d\xi^r} \right]_{\xi=0}.
|
||
\end{align}
|
||
|
||
\subsection{Moments et rôle des paramètres}
|
||
\label{sec:momentsGAL}
|
||
|
||
En mathématiques, les moments sont des quantités décrivant la forme
|
||
d'un ensemble de points. En statistique, les moments décrivent
|
||
certaines caractéristiques d'une population ou d'un échantillon. Ces
|
||
caractéristiques sont utilisées dans la sélection d'une distribution
|
||
de probabilité appropriée pour représenter la population à partir de
|
||
l'échantillon, ce qu'on appelle l'inférence statistique. Les moments
|
||
bruts et centraux sont évalués par rapport à 0 et à la moyenne
|
||
respectivement.
|
||
|
||
On obtient les premiers moments bruts de cette distribution à l'aide
|
||
de la relation décrite précédemment \eqref{eq:fgmmomentsGAL}.
|
||
\begin{align*}
|
||
E[Y] &= \theta+\tau\,\mu \\
|
||
E[Y^2] &= {\theta}^{2}+2\,\mu\,\tau\,\theta+\tau\,{\sigma}^{2}+{\mu}^{2}\,{\tau}^{2}+{\mu}^{2}\,\tau \\
|
||
E[Y^3] &= {\theta}^{3}+3\,\mu\,\tau\,{\theta}^{2}+\left( 3\,\tau\,{\sigma}^{2}+3\,{\mu}^{2}\,{\tau}^{2} +3\,{\mu}^{2}\,\tau\right) \,\theta \\
|
||
&\quad + \left( 3\,\mu\,{\tau}^{2}+3\,\mu\,\tau\right) \,{\sigma}^{2}+{\mu}^{3}\,{\tau}^{3}+3\,{\mu}^{3}\,{\tau}^{2}+2\,{\mu}^{3}\,\tau \\
|
||
E[Y^4] &= {\theta}^{4}+4\,\mu\,\tau\,{\theta}^{3}+\left( 6\,\tau\,{\sigma}^{2}+6\,{\mu}^{2}\,{\tau}^{2}+6\,{\mu}^{2}\,\tau\right) \,{\theta}^{2}\\
|
||
&\quad+\left( \left( 12\,\mu\,{\tau}^{2}+12\,\mu\,\tau\right) \,{\sigma}^{2}+4\,{\mu}^{3}\,{\tau}^{3}+12\,{\mu}^{3}\,{\tau}^{2}+8\,{\mu}^{3}\,\tau\right) \,\theta \\
|
||
&\quad+\left( 3\,{\tau}^{2}+3\,\tau\right) \,{\sigma}^{4}+\left(
|
||
6\,{\mu}^{2}\,{\tau}^{3}+18\,{\mu}^{2}\,{\tau}^{2}+12\,{\mu}^{2}\,\tau\right)
|
||
\,{\sigma}^{2} \\
|
||
&\quad+{\mu}^{4}\,{\tau}^{4}+6\,{\mu}^{4}\,{\tau}^{3}+11\,{\mu}^{4}\,{\tau}^{2}+6\,{\mu}^{4}\,\tau.
|
||
\end{align*}
|
||
|
||
À partir de ceux-ci, on obtient aussi les quatre premiers moments
|
||
centraux:
|
||
\begin{subequations}\label{eq:momentsGAL}
|
||
\begin{align}
|
||
m_1 &= E[Y] = \theta+\tau\,\mu \label{eq:moments1GAL}\\
|
||
m_2 &= E[(Y-m_1)^2] = \tau\,\sigma^2+\tau\,\mu^2\label{eq:moments2GAL}\\
|
||
m_3 &= E[(Y-m_1)^3] = 3\,\tau\,{\sigma}^{2}\mu+2\,\tau\,{\mu}^{3}\label{eq:moments3GAL}\\
|
||
m_4 &= E[(Y-m_1)^4] =
|
||
3\,{\tau}^{2}{\sigma}^{4}+3\,{\tau}^{2}{\mu}^{4}+3\,\tau\,{\sigma}^{4}+6\,\tau\,{\mu}^{4}+6\,{\tau}^{2}{\mu}^{2}{\sigma}^{2}+12\,\tau\,{\sigma}^{2}{\mu}^{2}.\label{eq:moments4GAL}
|
||
\end{align}
|
||
\end{subequations}
|
||
|
||
On résume le domaine et le rôle des paramètres à la table
|
||
\ref{tab:roleparamGAL}.
|
||
\begin{table}[!ht]
|
||
\centering
|
||
\begin{tabular}{cp{1.75cm}p{2.5cm}p{6.25cm}}
|
||
\hline
|
||
\textbf{Paramètre} & \textbf{Domaine} & \textbf{Rôle} & \textbf{Observations} \\
|
||
\hline
|
||
$\theta$ & $\mathbb{R}$ & Localisation & N'influence que la moyenne. Équivaut au mode lorsque $\mu=0$. \\
|
||
$\sigma$ & $\mathbb{R}^{+} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ & Échelle & Vrai paramètre d'échelle lorsque $\kappa$ est utilisé. \\
|
||
$\mu$ & $\mathbb{R}$ & Asymétrie & Distribution asymétrique à gauche lorsque négatif et à droite lorsque positif. Déplace la moyenne dans la même direction. Corrélation positive avec la variance et le coefficient d'aplatissement.\\
|
||
$\kappa$ & $\mathbb{R}^{+} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ & Asymétrie & Valeur dans l'intervalle $\left[0,1\right[$ lorsque $\mu<0$, dans $\left[1,\infty \right]$ lorsque $\mu \geq0$. \\
|
||
$\tau$ & $\mathbb{R}^{+} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ & Aplatissement & Négativement corrélé avec le coefficient d'aplatissement. Une petite valeur donne une distribution pointue. \\
|
||
\hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\caption{Domaine et rôle des paramètres de la distribution de Laplace asymétrique généralisée}
|
||
\label{tab:roleparamGAL}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
On retrouve quelques exemples de courbes de la fonction de densité
|
||
avec différents paramètres d'asymétrie et d'aplatissement à la figure
|
||
\ref{fig:densiteGAL}.
|
||
\begin{figure}[!ht]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[scale=0.8]{../contenus/r/code/dGAL-exemples.pdf}
|
||
\caption{Fonction de densité de la distribution Laplace asymétrique
|
||
généralisée avec différents paramètres:
|
||
$GAL(y;\theta,\sigma,\kappa,\tau)$}
|
||
\label{fig:densiteGAL}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
Afin de comparer la distribution de Laplace asymétrique généralisée
|
||
avec la normale, que l'on cherche à remplacer dans le contexte des
|
||
rendements financiers, le comportement des coefficients d'asymétrie
|
||
$\gamma_1$ et d'aplatissement $\gamma_2$ de celle-ci peut être
|
||
intéressant à observer. On obtient ces derniers à partir des moments
|
||
centraux \eqref{eq:momentsGAL} :
|
||
\begin{subequations}\label{eq:moments56GAL}
|
||
\begin{align}
|
||
\gamma_1(Y) &= \frac{m_3}{(m_2)^{3/2}} =
|
||
\frac{2\,{\mu}^{3}+3\,{\sigma}^{2}\,\mu}{{\left( {\mu}^{2}+{\sigma}^{2}\right) }^{3/2}\,\sqrt{\tau}}\label{eq:moments5GAL}\\
|
||
\gamma_2(Y) &= \frac{m_4}{(m_2)^{2}} - 3 = \frac{\left(
|
||
3\,{\mu}^{4}+6\,{\sigma}^{2}\,{\mu}^{2}+3\,{\sigma}^{4}\right)
|
||
\,{\tau}^{2}+\left(
|
||
6\,{\mu}^{4}+12\,{\sigma}^{2}\,{\mu}^{2}+3\,{\sigma}^{4}\right)
|
||
\,\tau}{{\left( {\mu}^{2}+{\sigma}^{2}\right) }^{2}\,{\tau}^{2}}
|
||
- 3.\label{eq:moments6GAL}
|
||
\end{align}
|
||
\end{subequations}
|
||
|
||
Le coefficient d'asymétrie de la normale vaut $\gamma_1^N(Y)=0$ et
|
||
celui d'excès d'aplatissement, $\gamma_2^N(Y)=0$, puisqu'il a été
|
||
défini à partir de cette distribution. Si l'on fixe tous les
|
||
paramètres sauf $\mu$, la valeur minimale du coefficient d'excès
|
||
d'aplatissement $\gamma_2(Y)$ est atteinte lorsque $\mu$ est de 0:
|
||
\begin{align*}
|
||
\min_{\mu} \gamma_2(Y) &= \left[\gamma_2(Y)\right]_{\mu=0} \\
|
||
&= \frac{3}{\tau}.
|
||
\end{align*}
|
||
Étant donné que le paramètre $\tau$ est strictement positif, la valeur
|
||
minimale que peut prendre le coefficient d'excès d'aplatissement
|
||
$\gamma_2(Y)$ est plus grande que 0. Par conséquent, l'aplatissement de la
|
||
distribution de Laplace asymétrique généralisée sera toujours
|
||
supérieur à celui de la normale; c'est donc une distribution
|
||
leptocurtique, ce qui est une propriété désirable selon les
|
||
observations de \cite{madan1990variance}.
|
||
|
||
\subsection{Changement d'échelle et de localisation}
|
||
\label{sec:transGAL}
|
||
|
||
Parfois, on doit modifier un ensemble de données afin d'effectuer des
|
||
comparaisons ou pour bénéficier des avantages d'une méthode
|
||
numérique. Les principales transformations utilisées sont:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item un changement de localisation, où l'on additionne une constante
|
||
à l'ensemble des données
|
||
\item un changement d'échelle, où l'on multiplie l'ensemble des
|
||
données par un facteur
|
||
\item une combinaison des deux transformations précédentes.
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
Soit deux constantes $a$, $b\neq0$ et une variable aléatoire $X$ qui
|
||
suit une distribution Laplace asymétrique généralisée: $X \sim
|
||
GAL(\theta,\sigma,\kappa,\tau)$. $Y$ correspond à la somme:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item de la constante $b$ et
|
||
\item du produit:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item de la constante $a$ et
|
||
\item de la variable aléatoire $X$.
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
Selon \cite{kotz2001laplace}, en utilisant le paramètre $\kappa$, on
|
||
peut effectuer un changement d'échelle et de localisation et obtenir
|
||
une variable aléatoire qui suit encore cette distribution:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item le paramètre de localisation $\theta$ subit la même
|
||
transformation que la variable aléatoire $X$;
|
||
\item le paramètre d'échelle $\sigma$ est multiplié par la constante
|
||
$a$;
|
||
\item le paramètre $\kappa$ est inversé si cette constante est
|
||
négative. Ce dernier cas est en fait une réflexion de la
|
||
distribution autour du mode.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
On a donc:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:GALscaletrans}
|
||
Y = aX + b \sim GAL(a \theta + b,a\sigma,\kappa^{\sgn{a}\cdot
|
||
1},\tau).
|
||
\end{align}
|
||
|
||
On estime les paramètres $\hat\theta, \hat\sigma, \hat\mu$ et
|
||
$\hat\tau$ sur un ensemble de données centrées et réduites $X_t$ à
|
||
partir d'un échantillon original $Y_t$. $\hat{m} \text{ et }
|
||
\hat{s}>0$ sont respectivement la moyenne et l'écart-type de
|
||
l'échantillon $Y_t$. En utilisant l'équation de transformation
|
||
\eqref{eq:GALscaletrans} avec les paramètres estimés précédemment, on
|
||
peut alors obtenir ceux correspondants pour l'échantillon:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:transparamGALNS}
|
||
Y_t = \hat{s} X_t + \hat{m} \sim GAL(\hat{s} \theta +
|
||
\hat{m},\hat{s}\sigma,\kappa,\tau) .
|
||
\end{align}
|
||
|
||
Le paramètre $\kappa$ n'est pas modifié puisque l'écart-type $\hat{s}$
|
||
est strictement positif. Cette propriété permettra de pratiquer
|
||
l'estimation sur des données centrées et réduites, ce qui diminue le
|
||
risque d'erreurs numériques sans nuire à sa précision, puisqu'aucune
|
||
information contenue dans l'échantillon n'est perdue.
|
||
|
||
\subsection{Représentation alternative et simulation}
|
||
\label{sec:simulationGAL}
|
||
|
||
Le processus de Laplace $Y(t;\theta,\sigma,\kappa,\tau)$ peut être
|
||
représenté sous la forme d'une différence de deux processus gamma
|
||
$G_1(t;\tau) - G_2(t;\tau)$ à laquelle on additionne une composante de
|
||
dérive. Le premier processus compte les gains, alors que le second,
|
||
les pertes. Les deux ont des incréments qui suivent une distribution
|
||
gamma $\Gamma(\alpha=\tau, \beta=1)$, c'est-à-dire la même
|
||
distribution que le processus
|
||
subordonnant utilisé à la section \ref{sec:browniensub}:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:distributiongammaformealt}
|
||
G_i(\tau) \sim \Gamma\left(\tau,\beta=1 \right), \qquad i\in\left\{
|
||
1,2 \right\}.
|
||
\end{align}
|
||
|
||
Il peut être représenté sous la forme du processus composé suivant:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:processuslaplace2gamma}
|
||
Y(t) \stackrel{d}{=} \theta +
|
||
\frac{\sigma\sqrt{2}}{2}\left(\frac{1}{\kappa} G_1(t) - \kappa
|
||
G_2(t)\right).
|
||
\end{align}
|
||
|
||
La distribution de Laplace asymétrique généralisée peut alors être
|
||
représentée sous la forme d'un incrément de ce processus. Les
|
||
variables aléatoires $G_1$ et $G_2$ sont respectivement des
|
||
réalisations indépendantes de distribution gamma avec densité
|
||
\eqref{eq:densitegamma1}:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:differencegamma}
|
||
Y \stackrel{d}{=} \theta + \frac{\sigma\sqrt{2}}{2} \left(
|
||
\frac{1}{\kappa} G_1 - \kappa G_2 \right).
|
||
\end{align}
|
||
|
||
Simuler une réalisation de chacune d'entre elles suffira pour obtenir
|
||
une réalisation de la distribution gamma. On peut aussi réécrire la
|
||
définition précédente de la variable aléatoire $Y$
|
||
\eqref{eq:differencegamma} sous la forme simplifiée suivante:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:differencegamma2}
|
||
Y \stackrel{d}{=} \theta + \left(G_3-G_4 \right).
|
||
\end{align}
|
||
|
||
Les deux variables aléatoires sont alors définies comme suit:
|
||
\begin{align*}
|
||
G_3 \sim \Gamma\left(\tau,\beta=\frac{\sqrt{2}}{\kappa\sigma} \right)\\
|
||
G_4 \sim \Gamma\left(\tau,\beta=\frac{\kappa\sigma}{\sqrt{2}}
|
||
\right).
|
||
\end{align*}
|
||
|
||
On peut facilement démontrer l'équivalence en distribution
|
||
\eqref{eq:differencegamma2}. En effectuant le produit des fonctions
|
||
caractéristiques respectives $\phi_{Y}(\xi)$, $\phi_{G_3}(\xi)$ et
|
||
$\phi_{G_4}(\xi)$ des variables aléatoires $Y$, $G_3$ et $G_4$, on
|
||
retrouve celle de la forme en $\kappa$:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:equivalence2gammaFC}
|
||
\phi_{Y}(\xi) &= e^{i\xi\theta} \cdot \phi_{G_3}(\xi) \cdot \phi_{G_4}(\xi) \nonumber\\
|
||
&= e^{i\xi\theta} \cdot \left(\frac{1}{1+i\xi\cdot\frac{\kappa\sigma}{\sqrt{2}}}\right)^{\tau} \cdot \left(\frac{1}{1-i\xi\cdot\frac{\kappa\sigma}{\sqrt{2}}}\right)^{\tau} \nonumber\\
|
||
&=
|
||
\frac{e^{i\xi\theta}}{\left(1-i\xi\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\kappa}-\kappa
|
||
\right) + \frac{\sigma^2\xi^2}{2}\right)^{\tau}}.
|
||
\end{align}
|
||
|
||
La figure \ref{fig:simulGAL} présente un histogramme et un estimateur
|
||
de densité par noyau d'un échantillon de 2500 réalisations de la
|
||
variable aléatoire $Y$, suivant une distribution de Laplace
|
||
asymétrique généralisée de paramètres $\theta=0$, $\sigma=1$,
|
||
$\kappa=2$ et $\tau=1$. On remarquera que le paramètre $\kappa$
|
||
produit une distribution asymétrique à gauche puisqu'il prend une
|
||
valeur supérieure à 1.
|
||
|
||
\begin{figure}[!ht]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[scale=0.8]{"../graphiques/CH3-SIMULGAL0121"}
|
||
\caption{Histogramme et estimateur de densité par noyau de 2500
|
||
réalisations de la variable aléatoire $Y\sim
|
||
GAL(\theta=0,\sigma=1,\kappa=2,\tau=1)$}
|
||
\label{fig:simulGAL}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\subsection{Fonction de Bessel et densité}
|
||
\label{sec:besseldensiteGAL}
|
||
|
||
La densité de la distribution Laplace asymétrique généralisée peut
|
||
être exprimée à l'aide de la fonction de Bessel modifiée du troisième
|
||
type \citep{abramowitz1965handbook}:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:BesselK}
|
||
K_{\lambda}(u) =
|
||
\frac{(u/2)^{\lambda}\Gamma(1/2)}{\Gamma(\lambda+1/2)}
|
||
\int_1^{\infty} e^{-ut} (t^2-1)^{\lambda-1/2}dt,\qquad \lambda \geq
|
||
-1/2.
|
||
\end{align}
|
||
|
||
On définit les paramètres $\delta = \mu\sigma^{-1}$ et $\eta =
|
||
\sqrt{1+\delta^2}$ afin de simplifier la notation. La démonstration
|
||
qui permet d'obtenir la fonction de densité est fondée sur la
|
||
définition de la distribution utilisant la différence de deux
|
||
processus gamma \eqref{eq:differencegamma}. Elle est développée par
|
||
\cite{kozubowski1999class}:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:densitekotz}
|
||
f(x) &= \frac{e^{-\kappa^{\sgn(x)}|x|}}{\Gamma(\tau)} \int_{0}^{\infty} y^{\tau-1}(|x|+y)^{\tau-1}e^{-\eta y} dy \nonumber\\
|
||
&= \frac{1}{\Gamma(\tau)\sqrt{\pi}} \left(\frac{|x|}{\eta}
|
||
\right)^{\tau-1/2} e^{\delta x/2} K_{\tau-1/2}\left(\frac{\eta
|
||
|x|}{2}\right).
|
||
\end{align}
|
||
|
||
Afin d'incorporer le paramètre de localisation $\theta$, on remplace
|
||
$x$ par la valeur centrée $x-\theta$, et les paramètres $\eta$ et
|
||
$\delta$ par ceux d'origine, tels que définis précédemment, pour
|
||
obtenir la forme suivante \citep{kotz2001laplace}:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:densitekotz2001}
|
||
f(x) =
|
||
\frac{\sqrt{2}e^{\frac{\sqrt{2}}{2\sigma}(1/\kappa-\kappa)(x-\theta)}}{\sqrt{\pi}\sigma^{\tau+1/2}\Gamma(\tau)}
|
||
\bigg(\frac{\sqrt{2}|x-\theta|}{\kappa+1/\kappa} \bigg)^{\tau-1/2}
|
||
K_{\tau-1/2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2\sigma}\left(\frac{1}{k}+\kappa
|
||
\right)|x-\theta| \right).
|
||
\end{align}
|
||
|
||
Cette fonction a été implémentée dans un algorithme de maximum de
|
||
vraisemblance pour le logiciel GNU R par
|
||
\cite{RpackageVarianceGamma}. Elle reste cependant sensible
|
||
numériquement en plus de demander un temps de calcul important pour de
|
||
grands échantillons. De plus, comme la fonction de densité n'est pas
|
||
différentiable, on ne peut pas obtenir les estimateurs du maximum de
|
||
vraisemblance et leurs matrices de variance-covariance. Donc,
|
||
il est impossible d'effectuer de tests d'adéquation ou d'hypothèse avec ces
|
||
résultats. C'est une des principales raisons qui ont motivé la
|
||
recherche d'autres méthodes d'estimation plus efficaces pour cette
|
||
distribution.
|
||
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||
\section{Cas particuliers}
|
||
\label{sec:cas-particuliers}
|
||
|
||
La distribution de Laplace asymétrique généralisée peut être
|
||
considérée comme une extension de plusieurs cas particuliers. Ces
|
||
distributions ainsi que leur notation et leur fonction de densité sont
|
||
présentées dans la table \ref{tab:casspeciauxGAL}.
|
||
\begin{table}[!ht]
|
||
\centering
|
||
\begin{tabular}{cccc}
|
||
\hline
|
||
\textbf{Cas} & \textbf{Distribution} & \textbf{Notation} & \textbf{Densité} \\
|
||
\hline
|
||
$\theta=0$ & \multirow{4}{*}{Exponentielle de moyenne $\mu>0$} & \multirow{4}{*}{$GAL(0,0,\mu,1)$} & \multirow{4}{*}{$\frac{1}{\mu}e^{-x/\mu}\,(x > 0)$} \\
|
||
$\sigma=0$ & & & \\
|
||
$\mu>0$ & & & \\
|
||
$\tau=1$ & & & \\ \hline
|
||
$\theta=0$ & \multirow{3}{*}{Gamma de paramètres $\alpha=\tau$, $\beta=\mu>0$} &
|
||
\multirow{3}{*}{$GAL(0,0,\mu,\tau)$} & \multirow{3}{*}{$\frac{x^{\tau-1}e^{-x/\mu}}{\mu^\tau\Gamma(\tau)},(x > 0)$} \\
|
||
$\sigma=0$ & & & \\
|
||
$\mu>0$ & & & \\ \hline
|
||
$\sigma>0$ & \multirow{3}{*}{Laplace symétrique $(\sigma>0)$} &
|
||
\multirow{3}{*}{$GAL(\theta,\sigma,0,1)$} & \multirow{3}{*}{$\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}e^{-\sqrt{2}|x-\theta|/\sigma},(x \in \mathbb{R})$} \\
|
||
$\mu=0$ & & & \\
|
||
$\tau=1$ & & & \\ \hline
|
||
$\sigma>0$ & \multirow{3}{*}{Laplace asymétrique $(\sigma>0)$} &
|
||
\multirow{3}{*}{$GAL(\theta,\sigma,\mu,1)$} & \multirow{3}{*}{$\frac{\sqrt{2}\kappa}{\sigma(1+\kappa^2)}\begin{cases}e^{\frac{\sqrt{2}\kappa}{\sigma}(\theta-x)},\quad & x\geq\theta \\ e^{\frac{\sqrt{2}}{\sigma\kappa}(x-\theta)},\quad & x < \theta \end{cases}$} \\
|
||
$\mu \neq 0$ & & & \\
|
||
$\tau=1$ & & & \\ \hline
|
||
$\sigma=0$ & \multirow{3}{*}{Dégénérée à $\theta$} & \multirow{3}{*}{$GAL(\theta,0,0,0)$} & \multirow{3}{*}{$1_{x=\theta}$} \\
|
||
$\mu=0$ & & & \\
|
||
$\tau=0$ & & & \\ \hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\caption{Cas spéciaux de la distribution de Laplace asymétrique généralisée}
|
||
\label{tab:casspeciauxGAL}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
Les deux premiers cas spéciaux sont des distributions de probabilité
|
||
classiques. L’attention sera portée sur la distribution de Laplace
|
||
asymétrique et son cas spécial, celle de Laplace symétrique. La
|
||
dégénérée n'a aucune application pratique, mais en mentionner
|
||
l'existence est pertinent, puisque ce ne sont pas toutes les
|
||
distributions qui admettent ce cas.
|
||
|
||
\subsection{Distribution de Laplace asymétrique}
|
||
\label{sec:distributionAL}
|
||
|
||
La distribution de Laplace asymétrique a été introduite
|
||
par \cite{hinkley1977estimation} et étudiée en profondeur par
|
||
\cite{kozubowski1999class}. Cette distribution a elle aussi plusieurs
|
||
caractéristiques intéressantes pour remplacer la normale, dans le
|
||
contexte de la modélisation financière, comme le présentent
|
||
\cite{kozubowski2001asymmetric}. Elle est notée
|
||
$AL(\theta,\sigma,\kappa)$.
|
||
|
||
Cette distribution, en tant que cas particulier de la distribution de
|
||
Laplace asymétrique généralisée, conserve la majorité de ses
|
||
propriétés. Entre autres, elle est infiniment divisible et possède des moments
|
||
finis. Les paramètres $\theta$, $\sigma$ et $\kappa$ conservent leurs
|
||
rôles et propriétés définis à la section \ref{sec:momentsGAL}. On peut
|
||
donc contrôler la localisation, l'échelle et l'asymétrie de la
|
||
distribution. Cependant, aucun paramètre ne permet de contrôler le
|
||
coefficient d'aplatissement.
|
||
|
||
La densité de probabilité de cette distribution
|
||
$f(x;\theta,\sigma,\kappa)$ présente une forme analytique simple qui
|
||
ne requiert pas le recours à la fonction de Bessel modifiée de
|
||
troisième type \eqref{eq:BesselK}.
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:densiteAL}
|
||
f(x;\theta,\sigma,\kappa) =
|
||
\frac{\sqrt{2}}{\sigma}\frac{\kappa}{1+\kappa^2} \begin{cases}
|
||
\exp\left(\frac{-\sqrt{2}\kappa}{\sigma}\left( x-\theta \right)\right),\quad & x\geq\theta \\
|
||
\exp\left( \frac{\sqrt{2}}{\theta\kappa}\left(\theta - x \right)
|
||
\right),\quad & x<\theta.\end{cases}
|
||
\end{align}
|
||
|
||
La fonction caractéristique de cette distribution prend la forme
|
||
suivante:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:caractALkappa}
|
||
\phi(t;\theta,\sigma,\kappa) = \frac{e^{i \theta
|
||
t}}{1+\frac{\sigma^2 t^2}{2}-
|
||
i\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\kappa}-\kappa \right)
|
||
t}\,.
|
||
\end{align}
|
||
|
||
Cette dernière est utilisée principalement lorsque l'application d'une
|
||
propriété nécessite une distribution avec un seul paramètre d'échelle.
|
||
La seconde paramétrisation de cette distribution utilise le paramètre
|
||
$\mu$ qui n'est pas invariant d'échelle. Cette paramétrisation donne
|
||
une forme beaucoup plus simple de la fonction caractéristique
|
||
\eqref{eq:caractALkappa}:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:caractALmu}
|
||
\phi(t\theta,\sigma,\mu) = \frac{e^{i \theta t}}{1+\frac{\sigma^2
|
||
t^2}{2}- i\mu t}.
|
||
\end{align}
|
||
|
||
On reconnait la fonction caractéristique d'un incrément du processus
|
||
de Laplace \eqref{eq:fncaractprocessuslaplace} avec les paramètres
|
||
($\tau=1$, $t=1$). Une forme standardisée de cette distribution existe
|
||
aussi avec le paramètre d'échelle $\sigma=1$ et de dérive $\theta=0$.
|
||
Enfin, on peut avoir une représentation alternative de cette
|
||
distribution, utilisée principalement pour la simulation, basée sur
|
||
l'exponentielle:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:ALrepsimul}
|
||
Y &= \theta + \frac{\sigma}{\sqrt{2}} \left(\frac{1}{\kappa}W_1 - k W_2 \right)
|
||
\end{align}
|
||
où
|
||
\begin{align*}
|
||
W_1 \sim \mbox{Exponentielle}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}\kappa}\right) \nonumber \mbox{ et } W_2 \sim \mbox{Exponentielle}\left(\frac{\sigma\kappa}{\sqrt{2}}\right)
|
||
\end{align*}
|
||
|
||
Cette méthode n'est cependant pas la plus efficace pour simuler une
|
||
réalisation $Y$ de la distribution de Laplace asymétrique, car on peut
|
||
la faire à partir de deux réalisations indépendantes $U_1$ et $U_2 $
|
||
d'une variable aléatoire uniforme définie sur l'intervalle
|
||
$\left[0,1\right]$:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:simulALunif}
|
||
Y = \theta + \frac{\sigma}{\sqrt{2}}
|
||
\ln{\frac{U_1^\kappa}{U_2^{1/\kappa}}}.
|
||
\end{align}
|
||
|
||
Lorsque le paramètre $\tau$ de la distribution de Laplace asymétrique
|
||
généralisée est un entier, on peut générer une réalisation $X$ de
|
||
celle-ci en sommant un total de $\tau$ réalisations indépendantes de
|
||
la variable aléatoire $Y$:
|
||
\begin{align*}
|
||
X &= \sum_{i=1}^{\tau} Y_{i} \\
|
||
Y_{i} &\sim AL(\theta,\sigma,\kappa).
|
||
\end{align*}
|
||
|
||
\section{Relation avec le modèle de \cite{madan1990variance}}
|
||
\label{sec:relation-avec-le}
|
||
|
||
Le modèle Variance Gamma de \cite{madan1990variance} utilise une
|
||
paramétrisation différente de celle de \cite{kotz2001laplace}. On
|
||
doit, afin de conserver une compatibilité des développements des
|
||
prochains chapitres, détailler les changements de paramètres qui
|
||
permettent de passer d'un modèle à l'autre. Le modèle Variance Gamma
|
||
utilise les paramètres $C,\sigma,\theta \mbox{ et } \nu$. Afin
|
||
d'éviter la confusion, les paramètres seront indicés de 1 à 3 selon le
|
||
modèle d'où ils proviennent. Le modèle 1 sera celui de
|
||
\cite{madan1990variance}, les modèles 2 et 3 seront respectivement les
|
||
paramétrisations en $\mu$ et en $\kappa$ de
|
||
\cite{kotz2001laplace}. Les différentes équivalences se trouvent à la
|
||
table \ref{tab:chparam}.
|
||
\begin{table}[!ht]
|
||
\centering
|
||
\begin{tabular}{cccccc}
|
||
\hline
|
||
\textbf{Vers le modèle} & & & \textbf{À partir du modèle} & & \textbf{À partir du modèle} \\ \hline
|
||
\textbf{1} & & & \textbf{2} & & \textbf{3} \\ \hline
|
||
|
||
& $C$ & $=$ & $\theta_2$ & $=$ & $\theta_3$ \\
|
||
\multicolumn{ 1}{l}{} & $\sigma_1$ & $=$ & $\sqrt{\tau_2}\sigma_2$ & $=$ & $\sqrt{\tau_3}\sigma_3$ \\
|
||
\multicolumn{ 1}{l}{} & $\theta_1$ & $=$ & $\mu\tau_2$ & $=$ & $\tau_3\sigma_3(1/\kappa - \kappa)/\sqrt{2}$ \\
|
||
\multicolumn{ 1}{l}{} & $\nu$ & $=$ & $1/\tau_2$ & $=$ & $1/\tau_3$ \\
|
||
\hline
|
||
\textbf{2} & & & \textbf{1} & & \textbf{3} \\ \hline
|
||
& $\theta_2$ & $=$ & $C$ & $=$ & $\theta_3$ \\
|
||
\multicolumn{ 1}{l}{} & $\sigma_2$ & $=$ & $\sigma_1\sqrt{\nu}$ & $=$ & $\sigma_3$ \\
|
||
\multicolumn{ 1}{l}{} & $\mu$ & $=$ & $\theta_1*\nu$ & $=$ & $\sigma_3(1/\kappa - \kappa)/\sqrt{2}$ \\
|
||
\multicolumn{ 1}{l}{} & $\tau_2$ & $=$ & $1/\nu$ & $=$ & $\tau_3$ \\
|
||
\hline
|
||
\textbf{3} & & & \textbf{1} & & \textbf{2} \\ \hline
|
||
& $\theta_3$ & $=$ & $C$ & $=$ & $\theta_2$ \\
|
||
\multicolumn{ 1}{l}{} & $\sigma_3$ & $=$ & $\sigma_1\sqrt{\nu}$ & $=$ & $\sigma_2$ \\
|
||
\multicolumn{ 1}{l}{} & $\kappa$ & $=$ & $\frac{\sqrt{2(\sigma_1\sqrt{\nu})^2 + (\theta_1*\nu)^2} – \theta_1*\nu}{\sigma_1\sqrt{\nu}\sqrt{2}}$ & $=$ & $\frac{\sqrt{2(\sigma_2)^2 + \mu^2} - \mu}{\sigma_2\sqrt{2}}$ \\
|
||
\multicolumn{ 1}{l}{} & $\tau_3$ & $=$ & $1/\nu$ & $=$ & $\tau_2$ \\ \hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\caption{Changements de paramétrisation}
|
||
\label{tab:chparam}
|
||
\end{table}
|
||
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "gabarit-maitrise"
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%%% End:
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|