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TeX
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\chapter{Éléments de théorie des probabilités}
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\section{Définitions de base}
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\label{sec:introvariablealeatoire}
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Une \textbf{variable aléatoire} est une variable dont la valeur est
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déterminée par une expérience aléatoire. On associe une probabilité à
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chacune des valeurs possibles. On appelle \textbf{évènement} tout
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ensemble de réalisations possible de l'expérience
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aléatoire. L'entièreté de tous les évènements se nomme
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l'\textbf{ensemble fondamental} et est notée $\Omega$.
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Une \textbf{probabilité} associée à un évènement $A$ doit satisfaire
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un ensemble de trois axiomes \citep{dodge2004statistique}.
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\begin{enumerate}
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\item Une probabilité est une valeur comprise entre 0 et 1:
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\begin{equation}
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\label{eq:condition1probabilite}
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0 \leq P(A) \leq 1.
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\end{equation}
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\item La probabilité de l'évènement correspondant à l'ensemble
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fondamental est 1:
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\begin{equation}
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\label{eq:condition2probabilite}
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P(\Omega) = 1.
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\end{equation}
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\item Pour chaque séquence d'évènements mutuellement exclusifs
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$A_1,A_2,\ldots$:
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\begin{equation}
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\label{eq:condition3probabilite}
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P \left[ \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right] = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i).
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\end{equation}
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\end{enumerate}
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Le respect de ces conditions devra notamment être vérifié lors de
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l'utilisation de méthodes numériques.
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Toujours selon \cite{dodge2004statistique}, on définit:
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\begin{enumerate}
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\item La \textbf{densité}, notée $f_X(x)$, permet de déterminer la
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probabilité qu'une variable aléatoire $X$ prenne une valeur dans un
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intervalle fixé $\left[ a,b \right]$. En intégrant cette fonction
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sur l'intervalle $\left[ a,b \right]$, on obtient cette probabilité:
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\begin{equation}
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\label{eq:densitedefinition}
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P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f_X(x) dx.
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\end{equation}
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\item La \textbf{fonction de répartition}, notée $F_X(x)$, d’une
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variable aléatoire est définie comme la probabilité que celle-ci
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prenne une valeur inférieure ou égale à un certain nombre $b \in
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\mathbb{R}$:
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\begin{equation}
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\label{eq:repartitiondefinition}
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F_X(b) = P(X \leq b) = \int_{-\infty}^{b} f_X(x) dx.
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\end{equation}
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\end{enumerate}
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\section{Transformées d'une variable aléatoire}
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\label{sec:transformees}
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Les transformées d'une variable aléatoire résultent de l'application
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d'un opérateur intégral, ou à noyau, sur la fonction de densité.
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Certaines d'entre elles permettent de déterminer entièrement leur
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distribution. Parmi celles-ci, on retrouve la fonction caractéristique
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et les fonctions génératrices des moments et des cumulants, qui sont
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les plus couramment utilisées.
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Certaines transformées permettent de modifier la distribution d'une
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variable aléatoire. Parmi celles-ci, la transformée d'Esscher, qui est
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employée en actuariat et en finance, est aussi étroitement liée au
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concept d'utilité en sciences économiques.
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\subsection{La fonction caractéristique}
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\label{sec:fonctioncaract}
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\subsubsection{Transformée de Fourier}
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\label{sec:transfourier}
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La transformée de Fourier est une opération qui transforme une
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fonction $g(\xi)$ en une autre $f(x)$ par l'intégration, sur son
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domaine, du produit $\mathrm{e}^{-i x\xi}\,g(\xi)$:
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\begin{equation}
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\label{eq:transfourier}
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\mathcal{F}(g):x\mapsto f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-ix\xi}\,g(\xi)\,\mathrm{d}\xi.
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\end{equation}
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On définit aussi la transformée de Fourier inverse
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\index{Transformée!de Fourier!inverse}, qui permet de retrouver la
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fonction initiale $g(\xi)$ à partir de la transformée $f(x)$:
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\begin{equation}
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\label{eq:transinvfourier}
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g(\xi)=\mathcal{F}^{-1}(f(x)) = {1 \over 2\pi}\, \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{ix \xi}\,f(x)\, \mathrm{d}x.
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\end{equation}
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\subsubsection{Définition}
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\label{sec:deffncaract}
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La fonction caractéristique \index{Fonction!caractéristique} est
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définie comme étant la transformée de Fourier inverse de la densité
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\index{Fonction!de densité}, dans le cas continu, ou de masse de
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probabilité \index{Fonction!de masse de probabilité}, dans le cas
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discret. C'est donc une application directe de
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\eqref{eq:transinvfourier} qui s'exprime par l'intégrale de
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Riemann-Stieltjes:
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\begin{equation}
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\label{eq:deffncaract}
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\phi_X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{isx} dF_X(x).
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\end{equation}
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Cette intégrale est toujours convergente, comme le démontre
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\cite{stuart1987kendall}.
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\subsubsection{Les moments}
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\label{sec:momentsfncaract}
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On définit le moment d'ordre $r$ d'une distribution de probabilités
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comme étant la quantité représentée par l'espérance de la puissance
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$r$ d'une variable aléatoire:
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\begin{equation}
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\label{eq:defmoments}
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E[X^r] = \int_{-\infty}^{\infty} x^r dF_X(x).
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\end{equation}
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La fonction caractéristique\index{Fonction!caractéristique},
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lorsqu'elle est différenciable, permettra de générer les moments de la
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distribution en utilisant la propriété suivante
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\citep{lukacs1960characteristic}:
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\begin{equation*}
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\frac{d^r\phi_X(s)}{ds^r} = i^r \int_{-\infty}^{\infty} e^{isx} x^r dF_X(x).
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\end{equation*}
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En posant $s=0$ par la suite, on obtient, pour les différentes
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dérivées, l'équation suivante:
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\begin{equation*}
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\left[ \frac{d^r\phi_X(s)}{ds^r} \right]_{s=0} = i^r\,E[X^r].
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\end{equation*}
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Ce qui nous permet de définir les différents moments de la
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distribution à partir de la fonction caractéristique:
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\begin{equation}
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\label{eq:fncaractmoments}
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E[X^r] = (-i)^r\,\left[ \frac{d^r\phi_X(s)}{ds^r} \right]_{s=0}.
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\end{equation}
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\subsection{Inversion de la fonction caractéristique}
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\label{sec:inversioncaract}
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\subsubsection{La densité}
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\label{sec:densitefncaract}
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On obtient la densité de la variable aléatoire $X$ en calculant la
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transformée de Fourier \eqref{eq:transfourier} de la fonction
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caractéristique suivante:
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\begin{equation}
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\label{eq:caractdensite}
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f_X(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-isx} \phi_X(s) ds.
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\end{equation}
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On peut utiliser l'intégration numérique si l'intégrale n'a pas de
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solution analytique, la méthode de la transformée de Fourier rapide
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(section \ref{sec:methodeFFT}) ou encore la méthode du point de selle.
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\subsubsection{La fonction de répartition}
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\label{sec:repartitionfncaract}
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On peut obtenir directement l'expression de la fonction de
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répartition, sans passer par l'intégration de la densité de
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probabilité, en utilisant le théorème de \cite{gil1951note}:
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\begin{equation}
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\label{eq:gilpelaez}
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F_X(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{isx}\phi_X(-s)-e^{-isx}\phi_X(s)}{is} ds.
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\end{equation}
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On peut exprimer cette intégrale sous la forme suivante lorsque la
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densité $f(x)$ est strictement continue \citep[p.66]{epps2007pricing}:
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\begin{equation}
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\label{eq:gilpelaez2}
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||
F_X(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-isx}}{is} \phi(s) ds.
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\end{equation}
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Cette forme est moins appropriée pour l'intégration numérique, mais
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sera utile dans plusieurs calculs. On préfèrera la ramener à la forme
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suivante avec le théorème 2 de \cite{wendel1961non}:
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\begin{equation}
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\label{eq:inversionfncaract}
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||
F_X(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty} \frac{Im\left[e^{-isx}\phi_X(s)\right]}{s} ds.
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\end{equation}
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Cette fonction peut être difficile à intégrer de manière efficace
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numériquement, surtout lorsqu'on l'évalue en des points situés aux
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extrémités de la distribution. On peut alors privilégier l'égalité
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donnée par le théorème 4 de \cite{shephard1991characteristic}, qui
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utilise le noyau de Fejér afin de réduire l'erreur d'intégration, pour
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obtenir le résultat suivant:
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\begin{equation}
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\label{eq:shepherd}
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F_X(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\pi} \lim_{n\rightarrow\infty} \int_{0}^{n} \underbrace{\left[ 1-\frac{s}{n} \right]}_{\text{Noyau de Fejér}} \left[ \frac{e^{isx}\phi_X(-s)-e^{-isx}\phi_X(s)}{is} \right] ds.
|
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\end{equation}
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De même, en utilisant le raisonnement qui permet de passer de la
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définition de la transformée \eqref{eq:gilpelaez} à celle de son
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inverse \eqref{eq:inversionfncaract}, on obtient, pour le résultat
|
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\eqref{eq:shepherd}, l'expression suivante:
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\begin{equation}
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\label{eq:approxinvfncaract}
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F_X(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi} \lim_{n\rightarrow\infty} \int_{0}^{n} \left[ 1-\frac{s}{n} \right] \frac{Im\left[e^{-isx}\phi_X(s)\right]}{s}ds.
|
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\end{equation}
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On peut alors obtenir une approximation en fixant la borne
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d'intégration supérieure $n$ qui définit la précision
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désirée. Certains logiciels d'intégration numérique prennent en charge
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les bornes infinies.
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La fonction caractéristique permet d'identifier la distribution d'une
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somme de variables aléatoires indépendantes $Z = X_1, \ldots, X_n$,
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appelée produit de convolution et noté $Z = X_1 * \ldots * X_n$:
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\begin{equation}
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\label{eq:convocaract}
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\phi_{Z}(s) = \phi_{X_1+\ldots+X_n}(s) = \prod_{i=1}^n \phi_{X_i}(s).
|
||
\end{equation}
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Lorsque les variables aléatoires sommées sont aussi identiquement
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distribuées, la fonction caractéristique de $Z$ est la $n^e$ puissance
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de celle de $X$:
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\begin{equation}
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\label{eq:convocaractIID}
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\phi_{Z}(s) = \phi_{X_1+\ldots+X_n}(s) = \left[\phi_{X}(s)\right]^n.
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\end{equation}
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Cette fonction est donc une solution de rechange intéressante à
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utiliser lorsque aucune forme analytique pour la densité ou la
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fonction de répartition pour une distribution donnée n'existe.
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\subsection{La fonction génératrice des moments}
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\label{sec:fgm}
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La fonction génératrice des moments $M_X(s)$
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\index{Fonction!génératrice des moments} est définie comme étant la
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transformée de Laplace inverse \index{Transformée!de Laplace!inverse}
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de la densité:
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\begin{equation}
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\label{eq:deffngenmom}
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||
M_X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{sx} dF_X(x).
|
||
\end{equation}
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||
Cette intégrale, contrairement à \eqref{eq:deffncaract}, ne converge
|
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pas toujours, ce qui signifie que certaines distributions n'ont pas de
|
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fonction génératrice des moments. Comme son nom l'indique, cette
|
||
fonction permet de générer les moments de la distribution de la
|
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variable $X$, ce qui se fait essentiellement de la même manière
|
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qu'avec la définition \eqref{eq:fncaractmoments}. Par contre, on n'a
|
||
pas à éliminer le terme complexe, ce qui a pour avantage de simplifier
|
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les calculs:
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\begin{equation}
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\label{eq:fgmmoments}
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E[X^r] = \left[ \frac{d^r M_X(s)}{ds^r} \right]_{s=0}.
|
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\end{equation}
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La fonction génératrice des moments peut aussi être obtenue à partir
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de la fonction caractéristique :
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\begin{equation}
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\label{eq:fncaractfgm}
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M_X(s) = \phi(-is).
|
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\end{equation}
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Ceci permet d'en déduire qu'elles possèdent des caractéristiques
|
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communes, notamment le produit de convolution.
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\subsection{La fonction génératrice des cumulants}
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\label{sec:fgc}
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La fonction génératrice des cumulants $K_X(s)$ est définie comme le
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logarithme de la fonction génératrice des moments:
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\begin{equation}
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\label{eq:fgc}
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K_X(s) = \ln{M_X(s)}.
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\end{equation}
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Cette fonction est utilisée pour générer les cumulants, des quantités
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étroitement liées aux moments, qui peuvent à leur tour être utilisés
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dans le cadre de méthodes d'estimation paramétrique. Parmi celles-ci,
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on retrouve la méthode des cumulants, dont l'objectif est de former un
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système d'équations où les valeurs empiriques et théoriques de ces
|
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quantités sont égales. Les valeurs empiriques peuvent être obtenues à
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partir des moments échantillonnaux \citep{stuart1987kendall}:
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\begin{subequations}\label{eq:cumulantsempiriques}
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\begin{align}
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||
\hat{K}_1 &= \hat{m}_1 \label{eq:cumulantsempiriques1}\\
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||
\hat{K}_2 &= \hat{m}_2' - \hat{m}_1^2 \label{eq:cumulantsempiriques2}\\
|
||
\hat{K}_3 &= \hat{m}_3' - 3\hat{m}_1\hat{m}_2' + 2\hat{m}_1^2 \label{eq:cumulantsempiriques3}\\
|
||
\hat{K}_4 &= \hat{m}_4' - 3\hat{m}_2'^2 - 4\hat{m}_1\hat{m}_3' + 12\hat{m}_1^2\hat{m}_2' -
|
||
6\hat{m}_1^4 \label{eq:cumulantsempiriques4}.
|
||
\end{align}
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\end{subequations}
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On remarquera aussi la forme de la première dérivée de cette dernière,
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qui sera utilisée pour estimer la densité et la fonction de
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répartition avec la méthode du point de selle:
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\begin{equation}
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\label{eq:derivfgc}
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\frac{dK_X(s)}{ds} = K^{\prime}_X(s) = \frac{M^{\prime}_X(s)}{M_X(s)}.
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\end{equation}
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\subsection{La transformée d'Esscher}
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\label{sec:transesscher}
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La transformée d'Esscher transforme la densité en une autre en
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utilisant un coefficient exponentiel:
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\begin{equation}
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||
\label{eq:esschertransform}
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||
f(x;h)=\frac{e^{hx}f(x)}{\int_{-\infty}^\infty e^{hx} f(x) dx}.
|
||
\end{equation}
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||
Lorsque l'on ne dispose pas d'une forme analytique de la densité, on
|
||
peut exprimer la transformée d'Esscher sous la forme de sa fonction
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génératrice des moments:
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\begin{equation}
|
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\label{eq:esscherMx}
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||
M_X(s;h) = \frac{M_X(s+h)}{M_X(h)}.
|
||
\end{equation}
|
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|
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\section{La transformée de Fourier rapide}
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\label{sec:methodeFFT}
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||
Étant donné l'importance de la transformée de Fourier et de son
|
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inverse en sciences physiques, plusieurs algorithmes ont été
|
||
développés afin d'en effectuer l'intégration numérique. Ces
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||
algorithmes se regroupent sous l'appellation de transformée de Fourier
|
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rapide.
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||
L'existence de ces algorithmes favorise l'utilisation de la fonction
|
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caractéristique et de ses propriétés, notamment pour l'agrégation de
|
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risques en actuariat, ou encore le calcul de probabilités pour des
|
||
distributions n'ayant pas de forme explicite pour la fonction de
|
||
répartition.
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||
Ces algorithmes numériques sont utilisés respectivement pour calculer
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de manière optimisée des sommes de la forme
|
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\begin{align}
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||
\hat{f}(x_u) &= \sum_{j=1}^{N} \phi(\zeta_j)\,e^{-{2\pi i \over N} (j-1)(u-1) } \qquad u = 1,\dots,n. \label{eq:sommefft} \\
|
||
\hat{\phi}(\zeta_j) &= \sum_{u=1}^{N} f(x_u)\,e^{{2\pi i \over N}
|
||
(j-1)(u-1) } \qquad j = 1,\dots,n. \label{eq:sommeifft}
|
||
\end{align}
|
||
|
||
Par exemple, pour évaluer l'intégrale \eqref{eq:caractdensite} afin
|
||
d'obtenir la valeur de la densité sur un certain domaine
|
||
$\left[a,b\right]$, on devra discrétiser celle-ci sur nombre $N$ de
|
||
points de discrétisation.On définit alors les différents paramètres de
|
||
ces deux algorithmes:
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item $\eta = \frac{b-a}{N}$, le pas de discrétisation pour la
|
||
variable aléatoire $u$
|
||
\item $\zeta = \eta(j-1)$, la variable de transformation
|
||
\item $\lambda = \frac{2\pi}{N\eta}$, le pas de discrétisation pour la
|
||
variable de transformation $\zeta$
|
||
\item $c=\frac{N\lambda}{2}$, la borne supérieure d'intégration
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
On obtient alors une sommation de la forme \eqref{eq:sommefft}:
|
||
\begin{subequations}\label{eq:sommefftdensite}
|
||
\begin{align}
|
||
f_{FFT}(x_u) &\approx \frac{1}{2\pi} \sum_{j=1}^N e^{-i\lambda\zeta_j(u-1)} e^{-ic\zeta_j} \phi(-c+\lambda\,(j-1)) \eta, \label{eq:sommefftdensite1}\\
|
||
&\approx \frac{1}{2\pi} \sum_{j=1}^N
|
||
e^{-i\frac{2\pi}{N}(j-1)(u-1)} e^{-ic\zeta_j}
|
||
\phi(-c+\lambda\,(j-1)) \eta.\label{eq:sommefftdensite2}
|
||
\end{align}
|
||
\end{subequations}
|
||
|
||
Plusieurs logiciels d'analyse numérique possèdent une implémentation
|
||
de la méthode de la transformée de Fourier rapide. Essentiellement,
|
||
c'est une fonction $f_{FFT}(X_u)$ qui prend comme argument un vecteur
|
||
de valeurs, appelé signal, et qui en retourne un autre, de même
|
||
longueur, le spectre de fréquences. En statistique, la fonction
|
||
caractéristique empirique constitue le signal et la densité, le
|
||
spectre de fréquences. Le signal $X_u$ est défini comme suit, à partir
|
||
des constantes définies précédemment:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:signalfftfonction}
|
||
X_u &= e^{-i\lambda\zeta_j(u-1)} \phi\left(-c+(j-1)\lambda\right)
|
||
\eta.
|
||
\end{align}
|
||
|
||
La somme \eqref{eq:sommefftdensite1} devient alors
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:fftfonction}
|
||
f_{FFT}(X_u) &\approx \frac{1}{2\pi} \sum_{j=1}^N X_u e^{-ic\zeta_j}.
|
||
\end{align}
|
||
|
||
On recouvre la densité aux points $x_u=a+(j-1)\eta, j=1,\ldots,N$ en
|
||
appliquant la transformation suivante au vecteur $f_{FFT}(X_u)$:
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:densitefftfonction}
|
||
f(x_u) = \frac{1}{N} e^{icx_u} f_{FFT}(X_u).
|
||
\end{align}
|
||
|
||
\section{Processus de Lévy}
|
||
\label{sec:processuslevy}
|
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||
\subsection{Définition et propriétés}
|
||
\label{sec:defproplevy}
|
||
|
||
Le processus de Lévy, tel que présenté par \cite{barndorff2001levy},
|
||
est une classe générale de processus stochastiques regroupant entre
|
||
autres les processus de Poisson composés et les processus de Wiener.
|
||
Il est défini comme continu à droite, limité à gauche (càdlàg), ayant
|
||
pour point de départ l'origine et ayant des incréments indépendants et
|
||
homogènes. Il est infiniment divisible, tout processus de Lévy peut
|
||
ainsi être considéré comme une convolution de plusieurs autres. Cette
|
||
propriété est très intéressante dans un contexte de rendements
|
||
financiers, car la même distribution pourra être utilisée avec
|
||
n'importe quel intervalle d'échantillonnage des prix.
|
||
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\subsubsection{Représentation de Lévy-Khintchine}
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\label{sec:levykhintchine}
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Le processus de Lévy est généralement représenté par sa fonction
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caractéristique sous la forme de Lévy-Khintchine:
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\begin{align}
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\mathbb{E}\Big[e^{i\theta X(t)} \Big] &= \exp \Bigg(
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\underbrace{ait\theta}_{\text{composante de dérive}} \nonumber\\
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&\qquad -
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\underbrace{\frac{1}{2}\sigma^2t\theta^2}_{\text{composante de
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diffusion}} \nonumber\\ &\qquad + \underbrace{t
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\int_{\mathbb{R}\backslash\{0\}} \big( e^{i\theta x}-1 -i\theta x \mathbf{I}_{|x|<1}\big)\,\nu(dx)}_{\text{composante de saut}} \Bigg)\label{eq:levykhintchine}\\
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&= \exp \bigg(-t\Psi(\theta) \bigg).
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\end{align}
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$\Psi(\theta)$ est appelé l'exposant caractéristique de l'incrément de
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longueur 1 $(X(t+1)-X(t))$. Un processus de Lévy est souvent décrit
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par son triplet générateur $(a,\sigma^2,\nu)$. Cette description
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permettra de classer certains processus de Lévy selon deux catégories:
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\begin{itemize}
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\item Si $\sigma^2=0$, $\lbrace X(t) \rbrace$ est un processus de
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sauts
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\item Si $a=0 \mbox{ et } \sigma^2=0$, alors le processus $\lbrace
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X(t) \rbrace$ est un processus de sauts purs
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\end{itemize}
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L'élément $\nu(dx)$ de la composante de saut est appelé la mesure de
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Lévy. Un exemple de processus de Lévy représenté sous la forme de
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Lévy-Khintchine qui ne fait pas partie de ces deux catégories est
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défini par le modèle de Press \eqref{eq:fncaractpress}.
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\subsubsection{Représentation de Lévy-Itô}
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\label{sec:levyito}
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La décomposition de Lévy-Itô est une représentation alternative
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décrivant la trajectoire d'une réalisation du processus. Cette
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dernière a une interprétation intéressante en finance décrite par
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\cite{applebaum2004levy}:
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\begin{align}
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\label{eq:levyitodecomposition}
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X(t) &= \underbrace{at + B_{\sigma^2}(t)}_{\text{mouvement brownien}} \nonumber\\ &\quad+ \underbrace{\int_{|x|<1}x N(t,dx)-t\nu(dx)}_{\text{martingale de sauts purs de carré intégrable}} \nonumber\\ &\quad+ \underbrace{\int_{|x|>1}x N(t,dx)}_{\text{processus de Poisson composé}} \\
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&= X_1(t) + X_2(t) + X_3(t).
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\end{align}
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La portion mouvement brownien ($X_1(t)$) décrit le comportement
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général du processus, en spécifiant le rendement espéré $a$ et la
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volatilité du titre $\sigma^2$. La première intégrale ($X_2(t)$)
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décrit le bruit causé par les transactions financières quotidiennes
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qui font varier un peu le prix, alors que la seconde ($X_3(t)$)
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introduit les sauts occasionnés par des évènements plus rares, comme
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les catastrophes naturelles et les crises politiques. Dans les deux
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cas, $N(t,dx)$ est une mesure aléatoire de Poisson.
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\subsection{Processus subordonné}
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\label{sec:procsubordonne}
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On considère les processus de Lévy $\lbrace X(t) \rbrace$ et $\lbrace
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Z(t) \rbrace$. Celui qui suit est défini comme étant un processus
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subordonné et aussi un processus de Lévy, comme le démontrent
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\cite{sato1999levy} et \cite{schoutens2003levy}:
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\begin{equation}
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\label{eq:processussubordonne}
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\lbrace Y(t) \rbrace = \lbrace X\left(Z(t)\right) \rbrace.
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\end{equation}
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Les processus de Lévy les plus couramment utilisés en finance sont des
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mouvements browniens subordonnés. Ils sont plus faciles à manipuler et
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permettent néanmoins de représenter les phénomènes de queues longues
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présents dans les distributions de rendements. Une bonne introduction
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à ce sujet est faite par \cite{kyprianou2007introductory}.
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Si $\Lambda(\theta)$ est l'exposant caractéristique du processus
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$\lbrace X(t)\rbrace$ et $\Xi(\theta)$, celui du processus subordonné
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$\lbrace Z(t)\rbrace$, alors celui du processus $\lbrace Y(t)\rbrace$
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prend la forme suivante:
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\begin{align}
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\label{eq:exposantcaractYt}
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\Psi(\theta) &= \Xi(\theta)\circ i\Lambda(\theta) \nonumber\\
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&= \Xi(i\Lambda(\theta)).
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\end{align}
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La fonction caractéristique du processus $\lbrace Y(t) \rbrace$ est
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alors
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\begin{equation}
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\label{eq:fncaractYt}
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\phi_{Y(t)}(\xi) = e^{-t\Xi(i\Lambda(\xi))}.
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\end{equation}
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La densité de la variable aléatoire $Y(t)$ s'obtient à l'aide de la
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formule de l'espérance conditionnelle:
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\begin{align}
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f_{Y(t)}(y) &= E\left[ f_{X(t)}(y|Z(t)=z) \right] \nonumber\\
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&= \int_{-\infty}^{\infty} f_{X(t)}(y|Z(t)=z) \cdot f_{Z(t)}(z)
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dz \label{eq:densiteprocessusyt}.
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\end{align}
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\section{Théorèmes d'intégration}
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\label{sec:integration}
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Ces deux théorèmes sont présentés sans démonstration afin de
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complémenter la démonstration de la méthode d'Epps de la section
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\ref{sec:epps2007}. La démonstration de ceux-ci nécessite des
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connaissances en théorie de l'intégration. On peut retrouver davantage
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d'explications sur ceux-ci dans \cite{teschl2004topics}.
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\subsection{Théorème de convergence dominée de Lebesgue}
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\label{sec:theor-de-conv}
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Le théorème de convergence dominée de Lebesgue est un des principaux
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éléments de la théorie de l'intégration. Il sert à démontrer qu'une
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fonction est intégrable, sachant qu'une autre l'est aussi et qu'elle
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répond à certaines conditions.
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Soit $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$, une suite de fonctions réelles ou
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complexes intégrables dans un intervalle $\mathit{I}$ qui convergent
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vers une fonction $f$:
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\begin{align}
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\label{eq:sequencetheoremconvdom}
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f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x).
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\end{align}
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On suppose qu'une fonction $g$ intégrable dans l'intervalle
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$\mathit{I}$ existe telle que pour toute valeur de $n$ et pour tout
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point $x\in I$ où elle est définie, la valeur absolue de $f_n(x)$ est
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inférieure ou égale à $g(x)$:
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\begin{align}
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\label{eq:theoremeconvdom}
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\forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in \mathit{I}, |f_n(x)| \leq
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g(x).
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\end{align}
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Alors, la fonction $f$ est intégrable dans l'intervalle
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$\mathit{I}$.
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\subsection{Théorème de Fubini}
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\label{sec:theoreme-de-fubini}
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Le théorème de Fubini permet, entre autres, d'inverser l'ordre
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d'intégration lorsque certaines conditions sont remplies.
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Soit une fonction $f$ continue sur le rectangle $\mathit{R}$ suivant:
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\begin{align}
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\label{eq:rectanglefubini}
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\mathit{R} &= \left\{(x,y) | a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \right\}.
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\end{align}
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on peut inverser l'ordre d'intégration:
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\begin{align}
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\label{eq:thfubini2}
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\int_{X\times Y}f(x,y)~ d(\mu\times\nu)(x,y)=\int_X\left[\int_Y
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f(x,y)~ d\nu(y)\right]~ d\mu(x)=\int_Y\left[\int_X f(x,y)~
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d\mu(x)\right]~ d\nu(y).
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\end{align}
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Il est possible de généraliser cet énoncé en utilisant la théorie de
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la mesure.
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "gabarit-maitrise"
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%%% End:
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