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\chapter{Évaluation d'options}
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\label{chap:options}
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Un des principaux intérêts de connaître la distribution des rendements
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d'un actif est de pouvoir évaluer la valeur de différents produits
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dérivés.
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\section{Définitions}
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\label{sec:options}
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En se référant à \cite{bingham2004risk}, on définit:
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\begin{itemize}
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\item Un \textbf{produit dérivé} est un contrat financier dont la
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valeur à la date d'échéance $T$ est déterminée par le prix de
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l'actif sous-jacent au temps $T$ ou par celles prises au cours de
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l'intervalle $\left[0,T \right]$.
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\item Une \textbf{option} est un instrument financier qui donne le
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droit (et non l'obligation) d'effectuer une transaction avant ou à
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une date et pour un prix spécifiés.
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\item Une \textbf{option d'achat (de vente) européenne} donne le
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\textbf{droit} d'acheter (de vendre) un actif au \textbf{prix
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d'exercice} $K$ au temps $T$.
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\item Lorsque sa valeur actuelle est, par rapport au prix
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d'exercice:
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\begin{itemize}
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\item supérieure $(S(t)>K)$, l'option d'achat est dite \textbf{dans le
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cours};
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\item égale $(S(t)=K)$, l'option d'achat est dite \textbf{au cours};
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\item inférieure $(S(t)<K)$, l'option d'achat est dite \textbf{hors du
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cours}.
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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Le prix à l'échéance d'une option d'achat européenne $C(t)$ est défini
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comme suit:
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\begin{align}
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\label{eq:callpayoff}
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C(T) = \left\{ \begin{array}{cc}
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S(T)-K & ,S(T) > K \\
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0 & S(T) \leq K.
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\end{array} \right.
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\end{align}
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La valeur du prix à l'échéance est appelée une \textbf{créance
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éventuelle}. L'évaluation d'un produit dérivé équivaut à calculer la
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valeur espérée actualisée de la réclamation contingente définie par le
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contrat. Pour l'option d'achat européenne, on obtient la formule
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suivante:
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\begin{align}
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C(t) &= B(t,T) E \left[C(T) \right] \nonumber\\
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&= B(t,T) \int_{K}^{\infty} (S(T)-K)
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d\hat{F}_{S(T)} \label{eq:reclamationcall}.
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\end{align}
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$B(t,T)$ est la valeur au temps $t$ d'une obligation zéro-coupon au taux sans
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risque $r$ d'échéance $T$. $\hat{F}_t(S(T))$ est la fonction de
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répartition de la distribution neutre au risque de $S(T)$.
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Les déterminants de la valeur d'une option sont:
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\begin{itemize}
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\item le prix courant de l'actif $S(t)$
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\item le prix d'exercice $K$
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\item la volatilité de l'actif $\sigma$
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\item le temps d'ici l'échéance $T-t$
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\item le taux d'intérêt sans risque $r$.
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\end{itemize}
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On peut aussi récrire \eqref{eq:reclamationcall} avec le logarithme du
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prix $k=\ln{K}$. On utilise donc $s(t)=\ln{S(T)}$, dont la fonction de
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répartition est définie par ${F}_{s(T)}(y) = Pr\left[\ln{S(T)} < y
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\right]$:
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\begin{align}
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C(t) = B(t,T) \int_{k}^{\infty} (e^{s(T)}-e^{k}) d{F}_{s(T)}. \label{eq:reclamationcallintlog}
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\end{align}
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Enfin, une relation fondamentale, appelée parité vente-achat, permet,
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dans un scénario sans arbitrage, de calculer le prix d'une option de
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vente $P(t)$ (d'achat $C(t)$) en connaissant la valeur:
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\begin{itemize}
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\item de l'autre lorsqu'elles sont de mêmes échéance et prix
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d'exercice
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\item de l'obligation $B(t,T)$
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\item initiale du titre sous-jacent $S(t)$ commun aux deux options.
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\end{itemize}
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\begin{align}
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\label{eq:pariteputcall}
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P(t)+S(t) = C(t)+ B(t,T) K.
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\end{align}
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Cette relation permettra d'évaluer les deux types d'option à l'aide
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d'un seul calcul.
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\subsection{Équation martingale}
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\label{sec:equationmartingale}
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L'évaluation d'options se fait traditionnellement dans un univers ou
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un espace de probabilités neutre au risque, noté $\mathbb{Q}$,
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c'est-à-dire un point de vue selon lequel les investisseurs n'exigent
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pas une prime de risque. Cette approche a été introduite par
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\cite{black1973pricing}. Dans cette perspective, les rendements
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espérés futurs sont escomptés au taux sans risque. La distribution des
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rendements cumulés \eqref{eq:rendementcumL} répond à la propriété
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martingale, selon laquelle la valeur actuelle d'un titre financier
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reflète l'ensemble de l'information connue sur ce dernier. Cette
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propriété permet de fixer un seul prix pour les
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options. \textbf{L'équation martingale} établit l'égalité entre la
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valeur espérée du titre au temps $t$ et celle d'un investissement de
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même valeur dans un compte en banque créditant le taux sans risque:
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\begin{align}
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\label{eq:equationmartingale}
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E\left[\exp(L_t) \right] = e^{rt}.
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\end{align}
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\subsection{Paramètres neutres au risque}
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\label{sec:GALrn}
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Afin de pouvoir utiliser les résultats de l'estimation paramétrique
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des chapitres précédents pour évaluer le prix de produits dérivés, on
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doit tout d'abord identifier les paramètres neutres au risque de la
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distribution de Laplace asymétrique généralisée associant le
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rendement cumulé $L_t$ au taux d'intérêt sans risque $r$. Pour ce
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faire, on utilise l'équation martingale \eqref{eq:equationmartingale}
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ainsi que la fonction génératrice des moments \eqref{eq:fgmGAL}. On
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obtient alors une expression pour le paramètre de dérive neutre au
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risque $\theta_{RN}$:
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\begin{align}
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e^{rt} &= E\left[\exp(L_t) \right]
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= E\left[\exp(R_1+\ldots+R_t) \right] \nonumber\\
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&= M_{R_1+\ldots+R_t}(1)
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= (M_{R}(1))^t \nonumber\\
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||
&= \left(\frac{e^{\theta_{RN}}}{(1-\mu-\sigma^2/2)^{\tau}} \right)^t \nonumber\\
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||
r &= \ln \left(\frac{e^{\theta_{RN}}}{(1-\mu-\sigma^2/2)^{\tau}} \right) \nonumber\\
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&= \theta_{RN} - \tau\ln(1-\mu-\frac{\sigma^2}{2}) \nonumber\\
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||
\theta_{RN} &= r +
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\tau\ln(1-\mu-\frac{\sigma^2}{2}). \label{eq:martingaleGAL}
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\end{align}
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On obtient ainsi le paramètre de correction de la dérive $\omega$ à
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partir de l'équation martingale \eqref{eq:martingaleGAL}:
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\begin{align}
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\label{eq:omegaGAL}
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\omega = \tau\ln(1-\mu-\frac{\sigma^2}{2}).
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\end{align}
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Cette égalité impose une contrainte aux paramètres $\mu$ et $\sigma$
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qui doit respecter la condition
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\begin{align}
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\label{eq:inegaliteparamrn}
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\mu+\frac{\sigma^2}{2} < 1.
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\end{align}
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On obtient ensuite la fonction caractéristique de la mesure neutre au
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risque $\mathbb{Q}$ pour $L_T$ en remplaçant $\theta$ par
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$\theta_{RN}$:
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\begin{align}
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\label{eq:fncaractGALrn}
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\phi(\xi,L_T) = \frac{\exp\left(i\xi*\left(\ln\left(S_{t}\right)+\left(T-t\right)\left(r+\omega\right)\right)\right)}{\left(1-i\mu\,\xi+\left(\sigma^2\xi^2\right)/2\right)^{\tau\left(T-t\right)}}.
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\end{align}
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La distribution neutre au risque des rendements est donc $R_t \sim
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GAL(r+\tau\ln(1-\mu-\sigma^2/2),\sigma,\mu,\tau)$.
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\section{Aperçu du modèle de Black-Scholes}
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\label{sec:blackscholes}
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Étant donné l'importance du modèle de Black-Scholes en finance, on se
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doit de le présenter comme outil de référence lorsque l'on veut le
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remplacer. Ce modèle est basé sur les quatre hypothèses suivantes:
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\begin{enumerate}
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\item Les rendements ont une distribution normale de moyenne $\mu$ et
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variance $\sigma^2$, ou, de manière équivalente, le processus de
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prix $\lbrace S(t) \rbrace$ est un mouvement brownien géométrique de
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dérive $\mu$ et de volatilité $\sigma$.
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\item Une obligation zéro-coupon au taux d'intérêt sans risque $r$
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existe sur le marché.
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\item Le marché est complet et sans friction. Une position prise sur
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ce marché peut être couverte de manière continue.
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\item La vente à découvert est autorisée, de plus tous les actifs sont
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infiniment divisibles.
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\end{enumerate}
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En utilisant l'équation martingale \eqref{eq:equationmartingale}, on
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obtient la distribution neutre au risque des rendements, qui est
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normale avec une moyenne $r-\frac{\sigma^2}{2}$ et une variance
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$\sigma^2$.
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À partir de cette information, on peut dériver la formule de
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Black-Scholes pour le prix d'une option d'achat ou de vente
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\eqref{eq:pariteputcall} européenne:
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\begin{align}
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\label{eq:blackscholes}
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C(S(t),K,T) &= \Phi(\Delta_1) ~ S(t) - \Phi(\Delta_2) ~ K B(t,T) \\
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||
\Delta_1 &= \frac{\ln\left(\frac{S(t)}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)}{\sigma\sqrt{T - t}} \nonumber\\
|
||
\Delta_2 &= \Delta_1 - \sigma\sqrt{T - t} \nonumber\\
|
||
P(S(t),K,T) &= \Phi(-\delta_2)K B(t,T) -
|
||
\Phi(-\delta_1)S(t). \label{eq:putblackscholes}
|
||
\end{align}
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L'avantage de ce modèle est que toutes les données requises pour
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évaluer le prix d'options sur des actifs cotés sur les marchés
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boursiers, à l'exception de la volatilité, sont accessibles auprès de
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fournisseurs d'informations financières. Comme les options sont
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négociées sur les marchés financiers, on a aussi accès à leur prix, ce
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qui permet d'extrapoler la valeur de la volatilité implicite. C'est
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pour cette raison que le modèle, bien qu'il soit basé sur des
|
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hypothèses très restrictives, est toujours utilisé comme point de
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référence.
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\section{Méthodes d'évaluation pour options européennes}
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\label{sec:methodesoptions}
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Le modèle de Black-Scholes est un des seuls qui présentent une forme
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analytique simple pour le prix des options. Bien qu'on puisse en
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dériver une pour plusieurs modèles en utilisant les équations
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différentielles stochastiques et le calcul d'Îto, les résultats sont
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souvent difficiles à utiliser. On préfèrera alors utiliser des
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méthodes numériques pour calculer le prix des options.
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\subsection{Méthode de Heston}
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\label{sec:heston1993}
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L'approche utilisée par \cite{heston1993closed} est de calculer
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directement l'espérance de la créance éventuelle associée à l'option
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de vente européenne $P(S(t),K,T-t)$ sous la mesure neutre au risque
|
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$\mathbb{Q}$:
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\begin{align}
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P(S(t),K,T) &= B(t,T) \int_{0}^{\infty} \max\left(K-S(T),0\right)\cdot d{F}_{S(T)} \label{eq:PutHeston93-1}\\
|
||
&= B(t,T)K \int_{0}^{K} dF_{S(T)} - B(t,T)\int_{0}^{K} S(T)\cdot d{F}_{S(T)} \nonumber\\
|
||
&= B(t,T)K F_{S(t)}(K) - S(t) G_{S(t)}(K). \label{eq:PutHeston93}
|
||
\end{align}
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On définit la fonction de répartition $F_{S(t)}(K)$ de la variable
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aléatoire $S(t) \leq K$ sous la mesure $\mathbb{Q}$. On définit aussi
|
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la fonction de répartition $G_{S(t)}(K)$ sous une autre mesure
|
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équivalant à $\mathbb{Q}$. Soit $\phi_F(\xi)$ la fonction
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caractéristique de $S(T)$ sous $\mathbb{Q}$, celle de cette mesure est
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alors définie comme suit:
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\begin{align}
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\label{eq:mesureGHeston}
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\phi_G(\xi) = \frac{\phi_F(\xi-i)}{\phi_F(-i)}.
|
||
\end{align}
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C'est une transformée d'Esscher de paramètre $h=1$ de la mesure
|
||
$\mathbb{Q}$. On remarquera la forme de \eqref{eq:PutHeston93} qui est
|
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très similaire à la formule du prix de l'option de vente du modèle de
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Black-Scholes \eqref{eq:putblackscholes}.
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Les fonctions de répartition $F_{S(t)}(K)$ et $G_{S(t)}(K)$
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peuvent être évaluées à partir de \eqref{eq:approxinvfncaract} ou de
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la méthode du point de selle.
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\cite{carr1999option} notent qu'on ne peut pas inverser
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l'approximation \eqref{eq:approxinvfncaract} en utilisant la méthode
|
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de la transformée de Fourier rapide. Cependant, l'approche de la
|
||
méthode du point de selle n'a pas été considérée, bien qu'elle puisse
|
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fournir une solution analytique dans plusieurs situations, en
|
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particulier pour la distribution de Laplace asymétrique généralisée
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\eqref{eq:saddlepointGAL}.
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\subsection{Méthode de Carr et Madan}
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\label{sec:carrmadanfftoptions}
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La méthode de Heston nécessite l'évaluation de deux probabilités, donc
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deux inversions de fonctions
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caractéristiques. \cite{madan1998variance} ont développé une méthode
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qui ne nécessite qu'une seule inversion, décrite par
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\cite{epps2007pricing}. Cette méthode nécessite cependant la sélection
|
||
d'un paramètre d'amortissement $\theta_{D}$ par tâtonnement afin
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d'obtenir de bons résultats. Elle utilise l'expression de la créance
|
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éventuelle \emph{amortie} \footnote{traduction de l'anglais damped} de
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l'option d'achat, construite à partir de l'expression
|
||
\eqref{eq:reclamationcallintlog}:
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\begin{align}
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\label{eq:callamortiCarr}
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||
C_{\theta_D}(S(t),k,T) &= e^{\theta_{D}k} C(S(t),k,T) \\
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||
&= e^{\theta_{D}k} B(t,T) \int_{K}^{\infty} (e^{s(T)}-e^{k})
|
||
d{F}_{s(T)}.
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||
\end{align}
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On applique la transformée de Fourier:
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\begin{align}
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\label{eq:fouriercallamortiCarr}
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||
\mathcal{F}C_{\theta_D}(\nu) = B(t,T) \frac{\phi\left( \nu - i(1+\theta_D) \ \right)}{(\theta_D+i\nu)(1+\theta_D+i\nu)}.
|
||
\end{align}
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||
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||
Ce résultat est inversé et \emph{amplifié} \footnote{traduction de
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||
l'anglais amplified} pour retrouver le prix de l'option:
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||
\begin{align}
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||
C(S(t),k,T) &= e^{-\theta_{D}k} \mathcal{F}^{-1}\left(\mathcal{F}C_{\theta_D}(\nu) \right) \nonumber\\
|
||
&= \frac{e^{-\theta_{D}k}}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\nu k}
|
||
(\mathcal{F}C_{\theta_D})(\nu)\cdot
|
||
d\nu \nonumber\\
|
||
&= \frac{e^{-\theta_{D}k}}{\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-i\nu k}
|
||
(\mathcal{F}C_{\theta_D})(\nu)\cdot d\nu \qquad \mbox{(par
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||
symétrie)}. \label{eq:prixoptionCarr}
|
||
\end{align}
|
||
|
||
On peut utiliser la méthode de la transformée de Fourier rapide
|
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(section \ref{sec:methodeFFT}) pour retrouver les prix d'options en se
|
||
référant à \cite{carr1999option}.
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||
On doit donc discrétiser \eqref{eq:prixoptionCarr} et effectuer des
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||
changements de variables pour obtenir la forme \eqref{eq:sommefft}. On
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fixe le nombre de points $N$ (idéalement une puissance de deux) et
|
||
$\eta$ le pas de discrétisation. On définit l'incrément $\lambda$ pour le
|
||
vecteur $k_u$, $u=1,\ldots,N$ des logarithmes des prix d'exercice:
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||
\begin{align}
|
||
\lambda = \frac{2\pi}{N\eta}.
|
||
\end{align}
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||
|
||
La valeur maximale $b$ de ce prix d'exercice sera:
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||
\begin{align}
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b=\frac{N\lambda}{2}.
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||
\end{align}
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||
|
||
Enfin, on obtient la suite des points d'évaluation de la fonction
|
||
caractéristique $\nu_j = \eta (j-1)$. L'ensemble de ces substitutions
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||
permet d'obtenir une expression qui est de la forme requise pour
|
||
appliquer la méthode de la transformée de Fourier rapide.
|
||
\begin{align}
|
||
C(S(t),k_u,T) &\approx \frac{e^{-\theta_D\,k}}{\pi} \sum_{j=1}^N e^{-i\nu_j\,k} (\mathcal{F}C_{\theta_D})(\nu_j) \nonumber\\
|
||
&\approx \frac{e^{-\theta_D\,k}}{\pi} \sum_{j=1}^N
|
||
e^{-i\lambda\eta(j-1)(u-1)} e^{ib\nu_j}
|
||
(\mathcal{F}C_{\theta_D})(\nu_j) \eta. \label{eq:prixoptionFFT}
|
||
\end{align}
|
||
|
||
C'est essentiellement une intégration par la méthode du trapèze. On
|
||
suggère d'implémenter la correction de Simpson, qui permet une
|
||
intégration plus précise tout en conservant le même nombre de points
|
||
de discrétisation. On obtiendra alors la formule suivante:
|
||
\begin{align}
|
||
C(S(t),k_u,T) &\approx \frac{e^{-\theta_D\,k}}{\pi} \sum_{j=1}^N
|
||
e^{-i\lambda\eta(j-1)(u-1)} e^{ib\nu_j}
|
||
(\mathcal{F}C_{\theta_D})(\nu_j) \frac{\eta}{3} \left(3 + (-1)^j +
|
||
\delta_{j-1}\right). \label{eq:prixoptionFFTsimpson}
|
||
\end{align}
|
||
|
||
On peut par la suite calculer un prix d'option pour chaque prix
|
||
d'exercice en utilisant une méthode d'interpolation (splines cubiques
|
||
par exemple).
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||
|
||
\subsection{Prix d'exercice hors du cours}
|
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\label{sec:outofmoneyfft}
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||
|
||
L'intégration numérique de \eqref{eq:prixoptionCarr} pose problème
|
||
quand l'échéance $T-t$ est petite, ou encore le prix d'exercice $K$
|
||
est hors du cours ($k > \ln(S(t))$). Dans ce contexte particulier,
|
||
\cite{carr1999option} développent une formule alternative à l'équation
|
||
\eqref{eq:prixoptionCarr} pour évaluer le prix de l'option d'achat :
|
||
\begin{align}
|
||
C(S(t),k,T) &= \frac{1}{\pi\sinh(\theta^{*}_D k)} \int_{0}^{\infty}
|
||
e^{-i\nu k} (\mathcal{F}C^{*}_{\theta^{*}_D})(\nu)\cdot
|
||
d\nu. \label{eq:prixoptionCarrOOM}
|
||
\end{align}
|
||
La transformée de Fourier de l'expression du prix de l'option d'achat
|
||
européenne est exprimée sous la forme
|
||
\begin{align}
|
||
\mathcal{F}C^{*}_{\theta^{*}_D} &= \frac{\zeta_T(\nu-i\theta^{*}_D) - \zeta_T(\nu+i\theta^{*}_D)}{2}\\
|
||
\zeta_T(\nu) &= e^{-r(T-t)}\bigg[\frac{1}{1+i\nu} -
|
||
\frac{e^{r(T-t)}}{iv} - \frac{\phi(\nu-i)}{\nu(\nu-i)} \bigg].
|
||
\nonumber
|
||
\end{align}
|
||
|
||
On note que ce paramètre d'amortissement $\theta^{*}_D$ peut être
|
||
différent du paramètre $\theta_D$ qui a été utilisé précédemment.
|
||
|
||
L'expression à utiliser pour la méthode de la transformée de Fourier
|
||
rapide devient
|
||
\begin{align}
|
||
C^{*}(S(t),k_u,T) &\approx \frac{1}{\pi\sinh(\theta^{*}_D k)}
|
||
\sum_{j=1}^N e^{-i\lambda\eta(j-1)(u-1)} e^{ib\nu_j}
|
||
(\mathcal{F}C^{*}_{\theta^{*}_D})(\nu_j) \frac{\eta}{3} \left(3 +
|
||
(-1)^j + \delta_{j-1}\right). \label{eq:prixoptionFFTsimpsonOOM}
|
||
\end{align}
|
||
Les paramètres $N ,\eta, \lambda$ et $\nu_j$ prennent les valeurs
|
||
utilisées pour évaluer le prix dans la situation où le titre est dans
|
||
le cours \eqref{eq:prixoptionFFTsimpson}.
|
||
|
||
\subsection{Critique de la méthode de Carr-Madan}
|
||
\label{sec:critiquecarrmadanfft}
|
||
|
||
Un paramètre d'amortissement $\theta_{D}$ inférieur à la valeur
|
||
optimale (lorsque comparé avec la méthode de Heston ou d’Epps) aura
|
||
tendance à surestimer le prix des options d'achat
|
||
européennes. \cite{itkin2005pricing} démontre que pour certaines
|
||
régions de l'espace des paramètres, l'intégrale
|
||
\eqref{eq:prixoptionCarr} a un comportement très irrégulier. De plus,
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il décrit plusieurs restrictions pour $\theta_{D}$ qui, dans plusieurs
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cas, ne permettent pas d'estimation convergente.
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\subsection{Méthode d’Epps}
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\label{sec:epps2007}
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\cite{epps2007pricing} propose une méthode qui, contrairement à celle
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de Carr et Madan, ne nécessite pas de paramètre d'amortissement et qui
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ne requiert aussi qu'une seule inversion de la fonction
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caractéristique. Pour ce faire, on se base sur l'expression de
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l'option de vente développée précédemment \eqref{eq:PutHeston93-1}, qui
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est ensuite exprimée sous la forme du logarithme, à la manière de
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\eqref{eq:reclamationcallintlog}. Après l'utilisation de la formule
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d'inversion \eqref{eq:gilpelaez2}, on obtient le résultat suivant:
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\begin{align}
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\label{eq:putepps-1}
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E\left[max(K-S_T;0) \right] &= \int_{-\infty}^{k} {F}_{S(T)}(s)e^s\cdot\,ds \nonumber\\
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&= \frac{K}{2}-\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{k} \lim_{c\to\infty}
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\underbrace{\int_{-c}^{c} \frac{e^{-i\nu s}}{\pi
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i\nu}\phi(\nu)d\nu}_{a(c,s)}e^sds.
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\end{align}
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La formule d'inversion implique que lorsque $|\lim_{c\to\infty}
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a(c,s)| = |1-2{F}_{S(t)}(s)|\leq 1$, pour toute valeur $\epsilon>0$,
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$c_{\epsilon}$ existe telle que l'on a le résultat suivant:
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\begin{align}
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\label{eq:putepps-resultat1}
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|sup_s\left[1-2{F}_{S(t)}(s)-a(c_{\epsilon},s) \right]|<\epsilon.
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\end{align}
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Dans cette situation, $|a(c,s)e^s|\leq e^s(1+\epsilon)$ lorsque la
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constante $c$ est suffisamment grande. Comme la fonction $e^s$ est
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intégrable sur le support $(-\infty,k)$, le théorème de convergence
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dominée de Lebesgue (section \ref{sec:theor-de-conv}) implique que
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l'on peut poser l'égalité suivante:
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\begin{align}
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\int_{-\infty}^{k} \lim_{c\to\infty} a(c,s)e^sds &= \lim_{c\to\infty}\int_{-\infty}^{k} a(c,s)e^sds \nonumber\\
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&= \lim_{c\to\infty} \int_{-\infty}^{k}\int_{-c}^{c}
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\frac{e^{(1-i\nu) s}}{\pi i\nu}\phi(\nu)d\nu ds. \nonumber
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\end{align}
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De plus, comme la limite de la double intégrale précédente est égale à
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$K-2E\left[max(K-S_T;0) \right]$ qui appartient à l'intervalle
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$\left[-K,K\right]$, le théorème de Fubini (section
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\ref{sec:theoreme-de-fubini}) permet d'inverser l'ordre d'intégration:
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\begin{align}
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\lim_{c\to\infty} \int_{-\infty}^{k}\int_{-c}^{c} \frac{e^{-i\nu
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s}}{\pi i\nu}\phi(\nu)d\nu ds &= \lim_{c\to\infty} \int_{-c}^{c} \int_{-\infty}^{k}e^{(1-i\nu)s} ds \frac{\phi(\nu)}{\pi i \nu} d\nu \nonumber\\
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&= \frac{K}{\pi} \lim_{c\to\infty} \int_{-c}^{c}
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\frac{K^{-i\nu}}{i\nu+\nu^2}\phi(\nu)d\nu. \label{eq:fubini-integrale-a-EPPS}
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\end{align}
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En remplaçant le résultat \eqref{eq:fubini-integrale-a-EPPS} dans
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l'équation de départ \eqref{eq:putepps-1}, on obtient ainsi une
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expression particulièrement simple pour le prix de l'option de vente:
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\begin{align}
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P(S(t),K,T) &= B(t,T)K\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{2\pi} \int_{-c}^c
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K^{-i\nu} \frac{\phi(\nu)}{\nu(i+\nu)}
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d\nu\right]. \label{eq:PutEpps8.37}
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\end{align}
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Cependant, puisque la forme ne se prête pas à l'utilisation de
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l'algorithme de la transformée de Fourier rapide, on a recours à une
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procédure d'intégration numérique.
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\section{Particularités}
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\label{sec:monnaiescontrats}
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\subsection{Option sur actions avec dividendes}
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\label{sec:dividentoptions}
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Lorsqu'une option a, pour titre sous-jacent, une action qui verse des
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dividendes, on doit en tenir compte dans l'évaluation de son prix. Si
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l'on considère que la valeur au marché de l'action $S^{*}(t)$ a été
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évaluée avec la méthode de l'actualisation des flux financiers futurs,
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on doit tenir compte de la valeur actualisée des dividendes qui seront
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versés avant l'échéance de l'option et la soustraire de ce prix.
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Parfois, les dividendes ne sont pas fixes, mais proportionnels à la
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valeur de l'action à la date ex-dividende avec un taux $\delta$. Soit
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$n(T)$ le nombre de dates ex-dividende dans l'intervalle $\left] t,T
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\right]$, le prix initial $S(t)$ considéré pour le calcul de la valeur
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de l'option est alors défini comme suit:
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\begin{align}
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\label{eq:prixinitialdividende}
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S(t) = S^{*}(t) (1-\delta)^{n(T)}.
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\end{align}
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Lorsque l'on considère un indice composé de plusieurs titres, on peut
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prendre un dividende versé de manière continue à un taux $q$. Dans ce
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cas, le prix initial $S(t)$ sera
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\begin{align}
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\label{eq:pricinitialdivcontinu}
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S(t) = S^{*}(t) e^{-q(T-t)}.
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\end{align}
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\subsection{Options sur contrats à terme et taux de change}
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\label{sec:futureoptions}
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\cite{black1976pricing} (p.177) démontre que le prix d'une option sur
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un contrat à terme a le même prix que sur une action dont le taux de
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dividende équivaut au taux sans risque. On peut donc utiliser les
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résultats \eqref{eq:prixinitialdividende} et
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\eqref{eq:pricinitialdivcontinu} en posant $q=r$.
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De même, on peut évaluer le prix d'une option sur une monnaie
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étrangère en considérant le taux sans risque étranger $r_f$ comme un
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taux de dividende $q=r_f$. Selon la Banque des Règlements
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Internationaux, c'est le type d'options le plus transigé sur les
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marchés non réglementés en date de 2005, même s'il est moins étudié
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que les autres.
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "gabarit-maitrise"
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%%% End:
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