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\chapter{Méthode de l'équation d'estimation
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optimale} % numéroté
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Une équation d'estimation est une fonction des données de
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l'échantillon et des paramètres d'un modèle qui spécifie de quelle
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manière on doit procéder pour estimer ces derniers, lorsque la
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distribution de la population est inconnue. Cette approche a un
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avantage sur les méthodes de vraisemblance, car elle ne requiert pas
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l'utilisation de la fonction de densité ou de répartition, mais
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seulement les moments de la distribution. \citep{everitt2006cambridge}
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\cite{crowder1986consistency} définit l'équation d'estimation sous une
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forme générale, composée d'une matrice d'échelle $S(\theta;Y)$, un
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vecteur de fonctions aléatoires $u(\theta;Y)$ et un vecteur de
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pondération $\mathbf{w}(\theta;Y)$:
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\begin{align}
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\label{eq:generalEE86}
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g(\theta;Y) = S^{-1}(\theta;Y) \sum_{t=1}^T u(\theta;Y)
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\mathbf{w}(\theta;Y).
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\end{align}
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En faisant abstraction du vecteur de pondération
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$\mathbf{w}(\theta;Y)$, on retrouve une forme qui rappelle la méthode
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des moments généralisée. La fonction d'estimation $u(\theta;Y)$
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définit, dans ce cas, des conditions de moment. Toutefois, en faisant
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abstraction de la matrice $S(\theta;Y)$, on obtient une classe
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d'équations d'estimation $g(\theta;Y)$ qui généralise plusieurs
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méthodes connues, comme développé par \cite{crowder1987linear}:
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\begin{align}
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\label{eq:generalEE87}
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g(\theta;Y) = \sum_{t=1}^T u(\theta;Y) \mathbf{w}(\theta;Y).
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\end{align}
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La propriété fondamentale de toute équation d'estimation est que son
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espérance est nulle. L'équation d'estimation \eqref{eq:generalEE86},
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et donc \eqref{eq:generalEE87}, produit des estimateurs sans biais:
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\begin{align}
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\label{eq:EEsansbiais}
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E\left[ g(\theta;Y) \right] = 0.
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\end{align}
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Par analogie avec la méthode du maximum de vraisemblance, on pourra
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alors la considérer comme une équation de quasi-score. On peut en
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effet représenter l'équation précédente par celle du score
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\eqref{eq:scoreEMV} donnée par l'espérance de la dérivée de la
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fonction de log-vraisemblance par rapport au vecteur de paramètres
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$\theta$:
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\begin{align}
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\label{eq:scoreEMV}
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E\left[g\left(\theta;Y \right)^{EMV}\right] &= E\left[\frac{d \ln
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L\left(\theta;Y\right)}{d\theta}\right] = 0.
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\end{align}
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On désigne la moyenne et la variance de la distribution par les
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notations $\mu\left(\theta\right)$ et $\sigma^2(\theta)$
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respectivement. On définit aussi les dérivées premières de la moyenne
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et de l'écart-type par rapport au vecteur de paramètres:
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\begin{subequations}\label{eq:derivmom}
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\begin{align}
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\mu^{\prime}\left( \theta \right) &= \frac{d \mu\left(\theta\right)}{d\theta} \label{eq:derivmom1}\\
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|
\sigma^{\prime}\left( \theta \right) &= \frac{d
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\sqrt{\sigma^2(\theta)}}{d\theta}.\label{eq:derivmom2}
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|
\end{align}
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\end{subequations}
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Dans ce chapitre, on considère une équation d'estimation quadratique
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de la forme suivante:
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\begin{equation}
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\label{eq:generalquad}
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g\left(\theta;Y \right) = \sum_{t=1}^n \left[ \mathbf{a}(\theta;y_t)(y_t-\mu\left(\theta\right)) + \mathbf{b}(\theta;y_t)\left((y_t-\mu\left(\theta\right))^2-\sigma^2\left(\theta\right) \right)\right].
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|
\end{equation}
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Le vecteur de pondération $\mathbf{w}(\theta;Y)$ de l'équation
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\eqref{eq:generalEE87} est composé de deux fonctions déterministes:
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$\mathbf{a}(\theta;Y)$ et $\mathbf{b}(\theta;Y)$:
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\begin{align}
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\label{eq:vecteuroptimal.ab}
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|
\mathbf{w}(\theta;Y) &= \begin{bmatrix} \mathbf{a}(\theta;Y) \\
|
|
\mathbf{b}(\theta;Y) \end{bmatrix}.
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|
\end{align}
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On démontre facilement que c'est une équation d'estimation en
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calculant son espérance:
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\begin{align}
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\label{eq:demogeneralquad-convergent}
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E\left[g\left(\theta;Y \right)\right] &= E\left[ \sum_{t=1}^n \left[ \mathbf{a}(\theta;y_t)(y_t-\mu\left(\theta\right)) + \mathbf{b}(\theta;y_t)\left((y_t-\mu\left(\theta\right))^2-\sigma^2\left(\theta\right) \right)\right]\right] \nonumber\\
|
|
&= \sum_{t=1}^n \left( \mathbf{a}(\theta;y_t)\cdot E\left[y_t-\mu\left(\theta\right)\right] + \mathbf{b}(\theta;y_t)\cdot E\left[(y_t-\mu\left(\theta\right))^2-\sigma^2\left(\theta\right) \right]\right) \nonumber\\
|
|
&= 0.
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|
\end{align}
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La forme quadratique regroupe certaines méthodes d'estimation bien
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établies, recensées à la table \ref{tab:methodesquad}.
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\begin{table}[!ht]
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\centering
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\begin{tabular}{ccc}
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\hline
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|
\textbf{Méthode} & $\mathbf{a}(\theta;y_t)$ & $\mathbf{b}(\theta;y_t)$ \\
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\hline
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|
Moindres carrés non pondérés & $\mu^{\prime}\left( \theta \right)$ & $0$ \\
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|
Maximum de quasi-vraisemblance & $\frac{\mu^{\prime}\left( \theta \right)}{ \sigma^2\left( \theta \right)}$ & $0$ \\
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Estimation gaussienne de Whittle
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\citep{fox1986large} & $\frac{\mu^{\prime}\left( \theta \right)}{ \sigma^2\left( \theta \right)}$ & $\frac{\sigma^{\prime}\left( \theta \right)}{ \sigma^2\left( \theta \right)^{3/2}}$ \\
|
|
\hline
|
|
\end{tabular}
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|
\caption{Méthodes d'estimation représentables par la forme quadratique \eqref{eq:generalquad}
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}\label{tab:methodesquad}
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\end{table}
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|
La méthode d'estimation gaussienne de Whittle présente un avantage par
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rapport aux modèles linéaires conventionnels (moindres carrés pondérés
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et maximum de quasi-vraisemblance) du fait qu'elle prend en
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considération la variance comme critère d'optimisation et non
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seulement comme pondération.
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\cite{crowder1987linear} développe, à partir de cette dernière,
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une équation d'estimation optimale qui vise à
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remplacer la méthode de quasi-vraisemblance basée sur la moyenne et la
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variance jusqu'alors utilisée.
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\section{Équation d'estimation optimale}
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\label{sec:equationsquadopt}
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Soit une équation d'estimation de la forme générale
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\eqref{eq:generalEE87}. On a, par définition, que l'espérance de la
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composante stochastique $u(\theta;Y_t)$ de celles-ci sous les vrais
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paramètres $\theta_0$ est nulle. De plus, si l'on considère que les
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données ne sont pas corrélées, l'espérance du produit de deux de ces
|
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fonctions est nulle, sauf lorsqu'elle est évaluée au même point $Y_t$:
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\begin{align}
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\label{eq:Crowder86-th4.1-def}
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|
E \left[u(\theta_0;Y_t) \right] &= 0 \\
|
|
E \left[u(\theta_0;Y_s)u(\theta_0;Y_t) \right] &=
|
|
\delta_{s,t}Var\left[u(\theta_0;Y_t)\right].
|
|
\end{align}
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|
Les matrices non singulières $M(\theta_0) \mbox{ et } V(\theta_0)$
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représentent respectivement, pour l'équation d'estimation, l'espérance
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de sa dérivée par rapport à $\theta$ et l'inverse de sa
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variance-covariance, évaluée à la vraie valeur des paramètres
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$\theta_0$:
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\begin{subequations}\label{eq:Crowder86-th3.3-def}
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\begin{align}
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|
M(\theta_0;Y) &= \sum_{t=1}^{T} \mathbf{w}(\theta_0) E\left[u^{\prime}(\theta_0;Y_t) \right] \label{eq:Crowder86-th3.3-def-1}\\
|
|
V(\theta_0;Y) &= \sum_{t=1}^{T} \mathbf{w}(\theta_0)
|
|
Var\left[u(\theta_0;Y_t)\right]
|
|
\mathbf{w}^{T}(\theta_0)\label{eq:Crowder86-th3.3-def-2}.
|
|
\end{align}
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|
\end{subequations}
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|
La variance asymptotique de l'estimateur $\hat\theta$ prend alors la
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forme suivante, en utilisant la méthode delta multivariée:
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\begin{align}
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\label{eq:VarAsymptEstEE}
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|
Var\left[\hat\theta\right] &=
|
|
M^{-1}(\theta_0)V(\theta_0)\left[M^{-1}(\theta_0)\right]^{T}.
|
|
\end{align}
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|
On désire obtenir des équations d'estimation optimales de telle sorte
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que la variance soit minimale. Le \emph{théorème 4.1} de
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|
\cite{crowder1986consistency} permet d'établir quel vecteur de
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pondération $\mathbf{w}^{*}(\theta)$ utiliser.
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Selon ce théorème, lorsqu'on utilise le vecteur de pondération optimal
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|
\eqref{eq:Crowdervecteuroptimal}, on obtient que la dérivée de la
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fonction d'estimation $M^{*}(\theta)$ soit égale à l'inverse de la
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|
matrice de variance-covariance $V^{*}(\theta)$:
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|
\begin{align}
|
|
\label{eq:Crowdervecteuroptimal}
|
|
\mathbf{w}^{*}(\theta) &= \left\{E \left[u^{\prime}(\theta_0;Y_t)
|
|
\right]\right\}^{T}\left\{Var\left[u(\theta;Y_t)\right]
|
|
\right\}^{-1}.
|
|
\end{align}
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|
La variance asymptotique \eqref{eq:VarAsymptEstEE} du vecteur de
|
|
paramètres optimal $\hat\theta^{*}$ qui résout l'équation d'estimation
|
|
$g^{*}(\theta)$ se simplifie alors sous la forme:
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|
$\left[V^{*}(\theta_0;y_t)\right]^{-1}$
|
|
\begin{align}
|
|
\label{eq:13}
|
|
M^{*}(\theta_0) &= \sum_{t=1}^{T} \left\{E
|
|
\left[u^{\prime}(\theta_0;Y_t)
|
|
\right]\right\}^{T}\left\{Var\left[u(\theta_0;Y_t)\right]
|
|
\right\}^{-1} E\left[u^{\prime}(\theta_0;Y_t) \right] \\
|
|
V^{*}(\theta_0) &= \sum_{t=1}^{T} \left\{E
|
|
\left[u^{\prime}(\theta_0;Y_t)
|
|
\right]\right\}^{T}\left\{Var\left[u(\theta_0;Y_t)\right]
|
|
\right\}^{-1} Var\left[u(\theta_0;Y_t)\right] \nonumber\\
|
|
&\quad \times \left[\left\{E \left[u^{\prime}(\theta_0;Y_t)
|
|
\right]\right\}^{T}\left\{Var\left[u(\theta_0;Y_t)\right]
|
|
\right\}^{-1}\right]^{T} \nonumber\\
|
|
&= \sum_{t=1}^{T} \left\{E \left[u^{\prime}(\theta_0;Y_t)
|
|
\right]\right\}^{T}\left\{Var\left[u(\theta_0;Y_t)\right]
|
|
\right\}^{-1} E\left[u^{\prime}(\theta_0;Y_t) \right] \nonumber\\
|
|
\Leftrightarrow M^{*}(\theta_0) &= V^{*}(\theta_0) \nonumber\\
|
|
\Leftrightarrow Var(\hat\theta^{*}) &= \left[M^{*}(\theta_0)\right]^{-1} V^{*}(\theta_0) \left[\left[M^{*}(\theta_0)\right]^{-1}\right]^{T} \nonumber\\
|
|
&= \left[V^{*}(\theta_0)\right]^{-1}.
|
|
\end{align}
|
|
|
|
On considère la fonction $u(\theta;Y_t)$ de l'équation quadratique
|
|
\eqref{eq:generalquad} , dont on cherche le vecteur de pondération
|
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optimal correspondant selon la proposition
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\eqref{eq:Crowdervecteuroptimal}:
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|
\begin{align}
|
|
\label{eq:15}
|
|
u(\theta;Y_t) &= \begin{bmatrix}
|
|
Y_t-\mu(\theta)\\
|
|
(Y_t-\mu(\theta))^2-\sigma^2(\theta)
|
|
\end{bmatrix}.
|
|
\end{align}
|
|
|
|
On évalue l'espérance, sous le vecteur de vrais paramètres $\theta_0$,
|
|
de la dérivée par rapport à $\theta$ de la fonction $u(\theta;Y)$:
|
|
\begin{align}
|
|
\label{eq:16}
|
|
E\left[u^{\prime}(\theta;Y_t)\right] &= \begin{bmatrix}
|
|
E \left[-\mu^{\prime}(\theta)\right] \\
|
|
E
|
|
\left[-2(Y-\mu(\theta))\mu^{\prime}(\theta)-2\sqrt{\sigma^2(\theta)}\sigma^{\prime}(\theta)\right]
|
|
\end{bmatrix} \nonumber\\
|
|
&= \begin{bmatrix}
|
|
-\mu^{\prime}(\theta) \\
|
|
-2 \sqrt{\sigma^2(\theta)}\sigma^{\prime}(\theta).
|
|
\end{bmatrix}.
|
|
\end{align}
|
|
|
|
Puis, on évalue la variance-covariance du vecteur $u(\theta)$. Pour ce
|
|
faire, on devra évaluer séparément chaque élément composant cette
|
|
matrice:
|
|
\begin{align}
|
|
\label{eq:matvcov-u-EE}
|
|
Var\left[u(\theta;Y_t) \right] &=
|
|
\begin{bmatrix}
|
|
Var\left[Y-\mu(\theta)\right] & Cov\left[Y-\mu(\theta),(Y-\mu(\theta))^2-\sigma^2(\theta) \right] \\
|
|
Cov\left[Y-\mu(\theta),(Y-\mu(\theta))^2-\sigma^2(\theta) \right]
|
|
& Var\left[(Y-\mu(\theta))^2-\sigma^2(\theta)\right]
|
|
\end{bmatrix}.
|
|
\end{align}
|
|
|
|
On définit les coefficients d'asymétrie et d'aplatissement normalisés,
|
|
ainsi qu'une constante $\gamma_3(\theta)$ qui en découle, afin de
|
|
simplifier les expressions qui seront obtenues conséquemment:
|
|
\begin{subequations}\label{eq:momentsupgamma}
|
|
\begin{align}
|
|
\gamma_1\left(\theta\right) &= \frac{m_3\left(\theta\right)}{m_2\left(\theta\right)^{3/2}} \nonumber\\
|
|
&= \frac{E\left[\left(Y-\mu\left(\theta\right)\right)^3\right]}{\sigma^2\left(\theta\right)^{3/2}} \label{eq:momentsupgamma1}\\
|
|
\gamma_2\left(\theta\right) &= \frac{m_4\left(\theta\right)}{m_2\left(\theta\right)^{2}} - 3 \nonumber\\
|
|
&=\frac{E\left[\left(Y-\mu\left(\theta\right)\right)^4\right]}{\sigma^2\left(\theta\right)^2}-3 \label{eq:momentsupgamma2}\\
|
|
\gamma_3(\theta) &= \gamma_2\left(\theta\right) + 2 -
|
|
\gamma_1\left(\theta\right)^2. \label{eq:momentsupgamma3}
|
|
\end{align}
|
|
\end{subequations}
|
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|
On développe les différentes composantes de la matrice:
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|
\eqref{eq:matvcov-u-EE}
|
|
\begin{align}
|
|
\label{eq:18}
|
|
Var\left[Y-\mu(\theta)\right] &= E\left[(Y-\mu(\theta))^2\right] -
|
|
E\left[Y-\mu(\theta)\right]^2 \nonumber\\
|
|
&=\sigma^2(\theta)\\
|
|
Cov\left[Y-\mu(\theta),(Y-\mu(\theta))^2-\sigma^2(\theta) \right] &=
|
|
E\left[\left(Y-\mu(\theta)\right)\left((Y-\mu(\theta))^2-\sigma^2(\theta)\right)
|
|
\right] \nonumber\\ &\quad - E\left[Y-\mu(\theta) \right]
|
|
E\left[(Y-\mu(\theta))^2-\sigma^2(\theta) \right] \nonumber\\
|
|
&= E\left[(Y-\mu(\theta))^3 - \sigma^2(\theta)(Y-\mu(\theta))\right] \nonumber\\
|
|
&= \sigma^2(\theta)^{3/2}\gamma_1(\theta)\\
|
|
Var\left[(Y-\mu(\theta))^2-\sigma^2(\theta)\right] &=
|
|
E\left[\left((Y-\mu(\theta))^2-\sigma^2(\theta)
|
|
\right)\left((Y-\mu(\theta))^2-\sigma^2(\theta) \right) \right]\nonumber\\
|
|
&= E\left[(Y-\mu(\theta))^4 - 2\sigma^2(\theta)(Y-\mu(\theta))^2 +
|
|
\sigma^2(\theta)^2 \right] \nonumber\\
|
|
&= \sigma^2(\theta)^2\left(\gamma_2(\theta)+3\right) - 2\sigma^2(\theta)^2 + \sigma^2(\theta)^2 \nonumber\\
|
|
&=\sigma^2(\theta)^2\left(\gamma_2(\theta)+2 \right).
|
|
\end{align}
|
|
|
|
On obtient alors la matrice de variance-covariance de la fonction
|
|
$u(\theta)$, dont on évalue par la suite l'inverse:
|
|
\begin{align}
|
|
\label{eq:19}
|
|
Var\left[u(\theta;Y_t) \right] &= \begin{bmatrix}
|
|
\sigma^2(\theta) & \sigma^2(\theta)^{3/2}\gamma_1(\theta)\\
|
|
\sigma^2(\theta)^{3/2}\gamma_1(\theta) &
|
|
\sigma^2(\theta)^2\left(\gamma_2(\theta)+2 \right)
|
|
\end{bmatrix} \\
|
|
Var^{-1}\left[u(\theta;Y_t) \right] &=
|
|
\frac{1}{\sigma^2(\theta)^3\gamma_3(\theta)}\begin{bmatrix}
|
|
\sigma^2(\theta)^2\left(\gamma_2(\theta)+2 \right) & -\sigma^2(\theta)^{3/2}\gamma_1(\theta)\\
|
|
-\sigma^2(\theta)^{3/2}\gamma_1(\theta) & \sigma^2(\theta)
|
|
\end{bmatrix}.
|
|
\end{align}
|
|
|
|
On peut enfin évaluer l'expression \eqref{eq:Crowdervecteuroptimal} à
|
|
l'aide des résultats précédents:
|
|
\begin{align*}
|
|
\mathbf{w}^{*}(\theta) &= \begin{bmatrix} -\mu^{\prime}(\theta) & -2
|
|
\sqrt{\sigma^2(\theta)}\sigma^{\prime}(\theta).
|
|
\end{bmatrix} \times
|
|
\frac{1}{\sigma^2(\theta)^3\gamma_3(\theta)} \begin{bmatrix}
|
|
\sigma^2(\theta)^2\left(\gamma_2(\theta)+2 \right) & -\sigma^2(\theta)^{3/2}\gamma_1(\theta)\\
|
|
-\sigma^2(\theta)^{3/2}\gamma_1(\theta) & \sigma^2(\theta)
|
|
\end{bmatrix}.
|
|
\end{align*}
|
|
|
|
On obtient alors le vecteur de pondération optimal
|
|
\eqref{eq:vecteuroptimal.ab} formé des fonctions
|
|
$\mathbf{a}^{*}(\theta)$ et $\mathbf{b}^{*}(\theta)$:
|
|
\begin{subequations}\label{eq:coefficientscrowder}
|
|
\begin{align}
|
|
\mathbf{a}^{*}(\theta) &= \frac{\left\{ -\left( \gamma_2\left(\theta\right)+2 \right) \mu^{\prime}\left( \theta \right) + 2\gamma_1\left(\theta\right) \sigma^{\prime}\left( \theta \right) \right\}}{\sigma^2\left(\theta\right)\gamma_3(\theta)} \label{eq:acrowder}\\
|
|
\mathbf{b}^{*}(\theta) &=
|
|
\frac{\gamma_1\left(\theta\right)\mu^{\prime}\left( \theta
|
|
\right)-2\sigma^{\prime}\left( \theta \right)}{\sigma^2\left(
|
|
\theta \right)^{3/2}\gamma_3(\theta)}. \label{eq:bcrowder}
|
|
\end{align}
|
|
\end{subequations}
|
|
|
|
On obtient aisément les matrices $M^{\star}\left(\theta\right) \mbox{
|
|
et } V^{\star}\left(\theta\right)$ à partir de leur définition
|
|
\eqref{eq:Crowder86-th3.3-def}:
|
|
\begin{align}
|
|
M^{\star}\left(\theta\right) &= V^{\star}\left(\theta\right) \nonumber\\
|
|
&= T \cdot \sigma(\theta)^{-2} \left\{ \left(\mu^{\prime}\left(
|
|
\theta \right)\right)\left(\mu^{\prime}\left( \theta
|
|
\right)\right)^T+\gamma_3(\theta)^{-1}\left(\gamma_1\left(\theta\right)\mu^{\prime}\left(
|
|
\theta \right)-2\sigma^{\prime}\left( \theta
|
|
\right)\right)\left(\gamma_1\left(\theta\right)\mu^{\prime}\left(
|
|
\theta \right)-2\sigma^{\prime}\left( \theta \right)\right)^T
|
|
\right\}. \label{eq:Moptimalestimetheta}
|
|
\end{align}
|
|
|
|
Afin d'obtenir la solution optimale $\theta^{\star}$, on définit la
|
|
fonction objectif $\Lambda\left(\theta;\mathbf{y}_T\right)$:
|
|
\begin{align}
|
|
\label{eq:eqnobjectifEE}
|
|
\Lambda\left(\theta;\mathbf{y}_T\right) &=
|
|
g\left(\theta;\mathbf{y}_T \right) W\left( \theta;\mathbf{y}_T
|
|
\right) g\left( \theta;\mathbf{y}_T \right)^T.
|
|
\end{align}
|
|
|
|
$W\left( \theta ;\mathbf{y}_T \right)$ est une matrice définie
|
|
positive. En premier lieu, on suggère d'utiliser la matrice
|
|
identité. Puis, on peut raffiner l'estimation en lui substituant la
|
|
matrice $V^{\star}(\hat\theta)$ de manière itérative, de la même
|
|
manière qu'avec la méthode des moments généralisée itérative, à la
|
|
section \ref{sec:GMMtwostep}.
|
|
|
|
\section{Équation d'estimation optimale modifiée}
|
|
\label{sec:eqoptmodif}
|
|
|
|
Il est possible que, pour certaines distributions, les expressions
|
|
formant le vecteur de pondération optimal $\mathbf{w}^{*}(\theta)$
|
|
soient particulièrement complexes. On pourra toujours les utiliser,
|
|
cependant, il peut être intéressant de développer une approximation de
|
|
celles-ci. Pour ce faire, on substitue les valeurs théoriques des
|
|
coefficients d'asymétrie et d'aplatissement par une valeur estimée à
|
|
partir de l'échantillon:
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\begin{subequations}\label{eq:vecteurcrowdermod}
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\begin{align}
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\mathbf{a}_{mod}^{*}(\theta) &= \frac{\left\{ -\left( \hat\gamma_2\left(\mathbf{y}_T\right)+2 \right) \mu^{\prime}\left( \theta \right) + 2\hat\gamma_1\left(\mathbf{y}_T\right) \sigma^{\prime}\left( \theta \right) \right\}}{\sigma^2\left(\theta\right)\hat\gamma_3(\mathbf{y}_T)} \label{eq:acrowdermod}\\
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\mathbf{b}_{mod}^{*}(\theta) &=
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\frac{\hat\gamma_1\left(\mathbf{y}_T\right)\mu^{\prime}\left(
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\theta \right)-2\sigma^{\prime}\left( \theta
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\right)}{\sigma^2\left( \theta
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\right)^{3/2}\hat\gamma_3(\mathbf{y}_T)} \label{eq:bcrowdermod}
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\end{align}
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où
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\begin{align}
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\label{eq:coeffemp}
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\hat\gamma_1\left(\mathbf{y}_T\right) &= \frac{\sum_{t=1}^{T}(y_t-\overline{y})^3}{\left(\sum_{t=1}^{T}(y_t-\overline{y})^2\right)^{3/2}} \\
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\hat\gamma_2\left(\mathbf{y}_T\right) &=
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\frac{\sum_{t=1}^{T}(y_t-\overline{y})^4}{\left(\sum_{t=1}^{T}(y_t-\overline{y})^2\right)^{2}} \\
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\hat\gamma_3\left(\mathbf{y}_T\right) &=
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\hat\gamma_2\left(\mathbf{y}_T\right) + 2 -
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\hat\gamma_1\left(\mathbf{y}_T\right)^2.
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\end{align}
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\end{subequations}
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On pourra ainsi réduire considérablement la taille des expressions à
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évaluer tout en conservant les propriétés asymptotiques des
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estimateurs, puisque l'espérance de chacune des statistiques utilisées
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est égale à la valeur que l'on a remplacée.
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Au prochain chapitre, nous appliquerons la méthode des moments
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généralisée et la méthode de l'équation d'estimation optimale à la
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distribution de Laplace asymétrique généralisée.
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "gabarit-maitrise"
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%%% End:
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