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\chapter{Modèles de volatilité stochastique}
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\label{chap:modeles-volatilite}
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\Opensolutionfile{reponses}[reponses-modeles-volatilite]
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\Opensolutionfile{solutions}[solutions-modeles-volatilite]
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\begin{Filesave}{reponses}
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\bigskip
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\section*{Réponses}
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\end{Filesave}
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\begin{Filesave}{solutions}
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\section*{Chapitre \ref{chap:modeles-volatilite}}
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\addcontentsline{toc}{section}{Chapitre \protect\ref{chap:modeles-volatilite}}
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\end{Filesave}
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<<echo=FALSE>>=
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options(width = 55)
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@
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\begin{exercice}
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On considère un processus ARCH(2) dont le carré des résidus répond à l'équation suivante \footnote{Cet exercice est inspiré de l'exercice 8 du chapitre 3 de Enders (2004)} :
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\begin{align*}
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\epsilon_t^2 &= \alpha_0 + \alpha_1\epsilon_{t-1}^2 + \alpha_2\epsilon_{t-2}^2.
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\end{align*}
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On suppose que les résidus proviennent du modèle suivant:
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\begin{align*}
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y_t &= a_0 + a_1 y_{t-1} + \epsilon_t.
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\end{align*}
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Trouvez la variance conditionnelle et inconditionnelle de $\left\{ y_t \right\}$.
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\begin{sol}
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On identifie d'abord la moyenne conditionnelle de $y_t$:
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\begin{align}
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E_{t-1}[y_t] &= E_{t-1}[a_0 + a_1 y_{t-1} + \epsilon_t] \\
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&= a_0 + a_1 y_{t-1}
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\end{align}
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La variance conditionnelle peut alors s'obtenir en utilisant la définition habituelle:
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\begin{align*}
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V_{t-1}[y_t | y_{t-1}, y_{t-2}, \ldots] &= E_{t-1}[y_t - E_{t-1}[y_t]]^{2} \\
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&= E_{t-1}[(a_0 + a_1 y_{t-1} + \epsilon_t)-(a_0 + a_1 y_{t-1})]^{2} \\
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&= E_{t-1}[\epsilon_t]^{2} \\
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&= E_{t-1}[\alpha_0 + \alpha_1\epsilon_{t-1}^2 + \alpha_2\epsilon_{t-2}^2] \\
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&= \alpha_0 + \alpha_1\epsilon_{t-1}^2 + \alpha_2\epsilon_{t-2}^2
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\end{align*}
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La variance inconditionnelle s'obtient en trouvant la solution particulière pour $y_t$:
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\begin{align*}
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•y_t &= a_0 + a_1 y_{t-1} + \epsilon_t \\
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&= (1+a_1)a_0 + a_1^2 y_{t-2} + a_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \\
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&= \cdots \\
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&= (a+a_1+a_2+a_3+\ldots)a_0 + \epsilon_t + a_1\epsilon_{t-1} + a_2\epsilon_{t-2} + \ldots \\
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&= \frac{a_0}{1-a_1} + \sum_{i=0}^{\infty} a_1^{i}\epsilon_{t-i}
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\end{align*}
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On évalue la variance de cette dernière expression:
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\begin{align*}
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•Var[y_t] &= Var[\sum_{i=0}^{\infty} a_1^{i}\epsilon_{t-i}] \\
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&= \sum_{i=0}^{\infty} a_1^{2i} Var[\epsilon_{t-i}] \\
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&= \frac{\sigma^2}{1-a_1^2}
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\end{align*}
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À partir de la définition, on a que:
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\begin{align*}
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E[\epsilon_t^2] &= \alpha_0 + \alpha_1 E_[\epsilon_{t-1}^2] + \alpha_2 E[\epsilon_{t-2}^2].
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\end{align*}
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Comme la variance inconditionnelle de $\epsilon_t$ est identique à celle de $\epsilon_{t-1}$ et $\epsilon_{t-2}$, on peut affirmer que:
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\begin{align*}
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E[\epsilon_t^2] &= \frac{\alpha_0}{1-\alpha_1-\alpha_2} \\
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&= \sigma^2.
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\end{align*}
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On obtient donc que la variance inconditionnelle de $y_t$ est
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\begin{align*}
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•Var[y_t] &= \frac{\alpha_0}{(1-\alpha_1-\alpha_2)(1-a_1^2)}.
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\end{align*}
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\end{sol}
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\end{exercice}
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\Closesolutionfile{solutions}
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\Closesolutionfile{reponses}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "exercices_series_chrono"
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%%% End:
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