\subsection{Survol de la méthode et utilisation}

La méthode de modélisation de la structure à terme basée sur des courbes paramétriques vise à fournir une approximation des taux d'intérêt à partir de points connus et observables de cette courbe, que l'on peut retrouver notamment via des services d'informations financières tels Bloomberg et CRSP. Ces courbes ne font aucunement allusion à une distribution statistique particulière et fonctionnent avec des données en coupe transversale. Pour chaque temps $t$, on peut calculer l'équation de la courbe, et ce indépendamment des informations passées, qui n'interviennent pas dans ces modèles. Ces modèles n'ont aucune valeur prédictive et servent strictement à faire de l'interpolation afin de peaufiner l'ajustement de modèles de taux d'intérêt tels que les modèles de la famille HJM et les modèles basés sur le modèle de Vasicek, ainsi que tout autre modèle basé sur un taux initial connu et fixé. On retrouve dans cette famille les modèles basés sur des splines cubiques et splines de lissage, ainsi que la famille de modèles basés sur les travaux de Nelson et Siegel. \\

Une propriété commune à ces modèles est qu'ils sont constitués d'une fonction de base $\phi_k(\tau)$ et de paramètres $\lambda_k$, composants les différents termes d'une somme, comprenant $K$ termes, plus ou moins selon l'ajustement désiré. La forme générale est la suivante:

\begin{eqnarray*}
  \delta(\tau) &=& \sum_{k=1}^K \lambda_k \phi_k(\tau)
\end{eqnarray*}

L'estimation de splines est basée sur la correspondance des premières dérivées et donne des résultats précis dont on peut borner exactement l'erreur maximale, car ce sont de simples fonctions polynomiales. Cependant, ces courbes ont un comportement qui ne répond pas aux exigences d'une courbe de structure à terme car elles ne sont pas robustes, en plus de comporter de nombreux paramètres (4 par intervalle). \\

Quant à elles. les courbes de la famille de Nelson-Siegel ont l'avantage d'être parcimonieuses, le modèle de base comportant quatre paramètres. Elles sont construite à partir de monômes, de polynômes multipliés par une forme exponentielle. Elles sont considérées adéquates dans la plupart des situation où la courbe n'est pas complexe. Comme ces courbes ne passent pas par tous les points connus, il faut par contre les estimer par une méthode du type moindres carrés. \\

Dans la section suivante, on ne traitera que de la courbe de Nelson-Siegel dans sa forme originale. Par contre, il en existe plusieurs généralisations dont les courbes de Svensson, Wiseman et Bjork and Christensen.\\

\subsection{Courbe de Nelson-Siegel}

La courbe de Nelson-Siegel prend la forme suivante, pour les taux à terme:

\begin{eqnarray*}
  f_0(\tau,t) = \beta_{0t}+(\beta_{1t}+\beta_{2t}\tau)e^{-\beta_{3t}\tau} \\
\end{eqnarray*}

Et de même pour les taux instantanés

\begin{eqnarray*}
  r(\tau,t) = \beta_{0t}+(\beta_{1t}+\beta_{2t}\tau)e^{-\beta_{3t}\tau} \\
\end{eqnarray*}

Elle peut à la fois être utilisée pour modélisée la structure à terme des taux instantanés (spot rate) ou encore celle des taux à terme (forward rate). Si on utilise la forme précédente pour modéliser le taux à terme, on retrouve alors la forme suivante pour les taux instantanés, qui représentent une moyenne de taux à terme.

\begin{eqnarray*}
  r(\tau,t) &=& \frac{1}{\tau} \int_0^\tau f_0(s) ds \\ 
  &=& \beta_0 + (\beta_{1t}+\frac{\beta_{2t}}{\beta_{3t}})\frac{1-e^{-\beta_{3t}{\tau}}}{\beta_{3t}\tau}-\frac{\beta_{2t}}{\beta_{3t}}e^{-\beta_{3t}\tau} \\
\end{eqnarray*}

On remarque une certaine ressemblance entre la forme de cette équation et la structure donnée par le modèle de Vasicek, mais en pratique elle se limite à la présence de la forme exponentielle, et formellement les deux modèles ont peu de caractéristiques en commun.

\subsection{Analyse empirique}

On utilise pour cette étude empirique les taux composite des bons du trésor américain entre le 3 janvier 1990 et le 15 février 2012, pris à un intervalle de 30 jours ouvrables, c'est-à-dire 192 observations. Les taux considérés ici sont pour les obligations de 90 jours, 2 ans, 3 ans, 5 ans et 10 ans. Seules ces séries ont été utilisées car elles sont complètes pour toutes les journées d'ouverture des marchés.

L'estimation a été effectuée à l'aide de la méthode des moindres carrés ordinaires, c'est-à-dire sans utiliser de pondération par la matrice de variance-covariance.

Si on note $O_\tau^{(t)}$ le taux instantané observé pour la duration $\tau$ au temps $t$, on obtient l'équation d'estimation suivante au temps $t$:

\begin{eqnarray*}
  \sum_{\tau} (O_\tau^{(t)} - r(\tau,t))^2
\end{eqnarray*}

On doit minimiser la valeur de cette expression pour obtenir les meilleurs estimateurs de 
$\mathbf{\beta} = [\beta_0,\beta_1,\beta_2,\beta_3]$.
On effectue l'optimisation de la fonction d'estimation pour chaque temps $t$ pour lequel on désire estimer la courbe. On peut ensuite utiliser les paramètres estimés pour tracer un graphique d'une courbe en particulier et effectuer une comparaison visuelle de la performance du modèle.

\includegraphics[scale=0.5,page=2]{nelsonsiegel-plots.pdf}

On remarque au temps 1 que la courbe est relativement plate, elle s'ajuste très bien aux données dans cette situation.

\includegraphics[scale=0.5,page=3]{nelsonsiegel-plots.pdf}

Au temps 61, la courbe est concave, et on remarque un bon ajustement par rapport aux données observées.

\includegraphics[scale=0.5,page=4]{nelsonsiegel-plots.pdf}

Au temps 121, la courbe est aussi concave, et on remarque encore un bon ajustement par rapport aux données observées.

\includegraphics[scale=0.5,page=5]{nelsonsiegel-plots.pdf}

Au temps 181, la courbe devrait plutôt avoir une forme convexe, on observe qu'ici, en présence de taux très faibles pour une duration de 90 jours, que l'ajustement n'est pas du tout satisfaisant. C'est d'ailleurs une des limites de la courbe de Nelson-Siegel de ne pas bien s'adapter à des structures à terme convexes ou irrégulières, ayant des points d'inflexion par exemple.

En résumé, voici les courbes pour les 192 observations, de gauche à droite

\includegraphics[scale=0.75,page=1]{nelsonsiegel-plots.pdf}

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\subsection{Conclusion}

Les courbes paramétriques sont utiles pour faire de l'interpolation et donner une approximation de la structure à terme. Cependant, dans le cas des splines et des courbes de Nelson-Siegel, ce ne sont pas des modèles robustes et ils peuvent facilement mener à des résultats erronées si les données n'ont pas certaines caractéristiques de régularité. Cependant, les courbes de Nelson-Siegel sont faciles à estimer et selon les résultats observés, fonctionnent bien la majorité du temps.
