\documentclass{beamer}

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\usetheme{Warsaw}


\begin{document}
\AtBeginSubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Plan de présentation}
    \tiny{
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]}
  \end{frame}
}

\begin{frame}
  \textsc{\LARGE Université Laval}\\[1.5cm]
  
  \textsc{\Large ACT-7006: Sujets Spéciaux I}\\[1.5cm]
  
  \emph{Par:}\\
  François \textsc{Pelletier}
\end{frame}

\section{Introduction}

\begin{frame}
  \begin{itemize}[<+->]
  \item Courbes paramétriques (survol)
  \item Analyse de composantes principales (survol)
  \item Méthode des moments généralisée
  \item Méthode du maximum de vraisemblance
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  Survol des méthodes de 
  \begin{itemize}[<+->]
  \item Interest rate modelling, \\ James, J. and Webber, N., 2000 \\ (chapitres 15,16,17)
  \item Statistical models and methods for financial markets, \\Lai, T.L. and Xing, H., 2008 \\ (référence supplémentaire)
  \end{itemize}
\end{frame}

\section{Courbes paramétriques}

\subsection{Survol de la méthode et utilisation}

\begin{frame}{Caractéristiques}

  \begin{itemize}[<+->]
  \item Approximation des taux d'intérêt à partir de points connus
  \item Données en coupe transversale
  \item Aucune valeur prédictive
  \item Interpolation
  \end{itemize}
  
\end{frame}

\begin{frame}{Types de courbes}

  \begin{itemize}[<+->]
  \item Splines cubiques et splines de lissage
  \item Courbes de Nelson et Siegel
  \item Fonction de base $\phi_k(\tau)$
  \item K paramètres $\lambda_k$, formant une somme
  \end{itemize}
  
\end{frame}

\begin{frame}{Splines}

  \begin{itemize}[<+->]
  \item Fonctions polynomiales
  \item Une fonction différente entre chaque points connus
  \item Basée sur la correspondance de dérivées premières
  \item Demande l'estimation de nombreux paramètres
  \end{itemize}
  
\end{frame}

\subsection{Courbe de Nelson-Siegel}

\begin{frame}

  \begin{itemize}[<+->] 
  \item Taux à terme 
    \begin{eqnarray*}
      f_0(\tau,t) = \beta_{0t}+(\beta_{1t}+\beta_{2t}\tau)e^{-\beta_{3t}\tau} \\
    \end{eqnarray*}
  \item Taux instantanés
    \begin{eqnarray*}
      r(\tau,t) = \beta_{0t}+(\beta_{1t}+\beta_{2t}\tau)e^{-\beta_{3t}\tau} \\
    \end{eqnarray*}
  \end{itemize}
  
\end{frame}

\begin{frame}
  Si on utilise la forme précédente pour modéliser le taux à terme, le taux instantané devient la moyenne pondérée des taux à terme
  \begin{eqnarray*}
    r(\tau,t) &=& \frac{1}{\tau} \int_0^\tau f_0(s) ds \\ 
    &=& \beta_0 + (\beta_{1t}+\frac{\beta_{2t}}{\beta_{3t}})\frac{1-e^{-\beta_{3t}{\tau}}}{\beta_{3t}\tau}-\frac{\beta_{2t}}{\beta_{3t}}e^{-\beta_{3t}\tau} \\
  \end{eqnarray*}
\end{frame}

\subsection{Analyse empirique}

\begin{frame}{Données}
  \begin{itemize}[<+->]
  \item Taux composite des bons du trésor américain
  \item Entre le 3 janvier 1990 et le 15 février 2012
  \item Intervalle de 30 jours
  \item 192 observations
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Méthode}
  \begin{itemize}[<+->]
  \item Méthode des moindres carrés ordinaires
  \item On note $O_\tau^{(t)}$ le taux instantané observé pour la duration $\tau$ au temps $t$
  \item Équation d'estimation
    \begin{eqnarray*}
      \sum_{\tau} (O_\tau^{(t)} - r(\tau,t))^2
    \end{eqnarray*}
  \item On doit minimiser la valeur de cette expression pour obtenir les meilleurs estimateurs de \\
    $\mathbf{\beta} = [\beta_0,\beta_1,\beta_2,\beta_3]$.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Graphiques}
  Temps $t=1$\\
  \includegraphics[scale=0.25,page=2]{nelsonsiegel-plots.pdf}
  
\end{frame}

\begin{frame}{Graphiques}
  Temps $t=61$\\
  \includegraphics[scale=0.25,page=3]{nelsonsiegel-plots.pdf}
\end{frame}

\begin{frame}{Graphiques}
  Temps $t=121$\\
  \includegraphics[scale=0.25,page=4]{nelsonsiegel-plots.pdf}
\end{frame}

\begin{frame}{Graphiques}
  Temps $t=181$\\
  \includegraphics[scale=0.25,page=5]{nelsonsiegel-plots.pdf}
\end{frame}

\begin{frame}{En résumé}
  \begin{itemize}[<+->]
  \item S'adapte bien aux formes concaves
  \item Mais non aux formes convexes ou avec un point d'inflexion
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{En résumé}
  Pour les 192 observations, \\de gauche à droite \\
  \includegraphics[scale=0.25,page=1]{nelsonsiegel-plots.pdf}
\end{frame}

\subsection{Conclusion}

\begin{frame}{Conclusion}
  \begin{itemize}[<+->]
  \item utiles pour faire de l'interpolation
  \item pas des modèles robustes
  \item Résultats erronées si les données n'ont pas certaines caractéristiques de régularité
  \item Courbes de Nelson-Siegel :faciles à estimer
  \item Courbes de Svensson plus flexibles : plusieurs paramètres supplémentaires
  \end{itemize}
\end{frame}

\section{Analyse de composantes principales}

\subsection{Survol de la méthode et utilisation}

\begin{frame}{But}
  
  \begin{itemize}[<+->]
  \item Identifier différents facteurs qui peuvent causer la volatilité à l'intérieur d'une série chronologique multivariée
  \item Modèle à facteurs multiples : analyse est particulièrement complexe
  \item Survol rapide
  \end{itemize}
  
\end{frame}

\begin{frame}{Notation}
  
  \begin{itemize}[<+->]
  \item Observations sous la forme $r_{t_i}(\tau_j)$
  \item $t_i$ est le temps, de $1$ à $n+1$
  \item $j$ est le nombre d'observations en coupe transversale
  \end{itemize}
  
\end{frame}

\begin{frame}{Differenciation}
  
  \begin{itemize}[<+->]
  \item Pour observer la volatilité: données différenciées:
    \begin{eqnarray*}
      d_{i,j} = r_{t_{i+1}}(\tau_j) - r_{t_{i}}(\tau_j)
    \end{eqnarray*}
  \end{itemize}
  
\end{frame}

\begin{frame}{Matrice de variance-covariance $\Sigma$}
  \begin{eqnarray*}
  \Sigma &=& \left[
    \begin{array}{cccc}
      var(d_1) & cov(d_1,d_2) & \cdots & cov(d_1,d_k) \\
      cov(d_2,d_1)& var(d_2) & \ddots & \vdots \\
      \vdots & & \ddots & \vdots \\
      cov(d_k,d_1) & \cdots & \cdots & var(d_k) \\
    \end{array}\right]
\end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}{Valeurs et vecteurs propres}
  \begin{itemize}[<+->]
  \item Matrice $\mathbf{P}$ telle que sa transposée est également son inverse
  \item La matrice de vecteurs propres de $\Sigma$
  \item Vecteur $\mathbf{\lambda}$ contenant les valeurs propres
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Composantes et variance expliquée}
  \begin{itemize}[<+->]
  \item $\mathbf{P}$ : matrice de composantes principales
  \item $\mathbf{\lambda}$ : vecteur des variances expliquées par chacune des composantes principales, en ordre décroissant.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{itemize}[<+->]
  \item Analyse visuelle
  \item taux d'intérêt: 3 premières composantes
  \item 2 méthodes: matrice de covariance et matrice de corrélations
  \end{itemize}
\end{frame}

\subsection{Analyse empirique}

\begin{frame}{Données}
  \begin{itemize}[<+->]
  \item Taux composite des bons du trésor américain entre le 3 janvier 1990 et le 15 février 2012
  \item Intervalle quotidien
  \item Obligations de 90 jours, 2 ans, 3 ans, 5 ans, 10 ans et 30 ans
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Données}
  \begin{figure}[c]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.25]{PCA-tseries.pdf}
    \caption{Séries observées}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Méthode covariance: Composantes principales}
  Vecteurs propres $\mathbf{P}$
  \input{PCA-Pcov}
\end{frame}

\begin{frame}{Méthode covariance: Variance expliquée}
  Valeurs propres $\mathbf{\lambda}$
  \input{PCA-lambdacov}
  Proportions
  \input{PCA-prcov}
\end{frame}

\begin{frame}{Méthode corrélation: Composantes principales}
  Vecteurs propres $\mathbf{P}$
  \input{PCA-Pcorr}
\end{frame}

\begin{frame}{Méthode corrélation: Variance expliquée}
  Valeurs propres $\mathbf{\lambda}$
  \input{PCA-lambdacorr}
  Proportions
  \input{PCA-prcorr}
\end{frame}

\begin{frame}{Comparaison des deux approches}
  \begin{figure}[c]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.25]{PCA-composantes1-2-3.pdf}
    \caption{Composantes pour les deux approches}
  \end{figure}
  
\end{frame}

\begin{frame}{Volatilité expliquée par composante (score)}
  \begin{eqnarray*}
    Score(t) &=& r(t) \times \mathbf{P}\\
  \end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}{Volatilité expliquée par composante (score)}
   \begin{figure}[c]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.25]{PCA-score.pdf}
    \caption{Score}
  \end{figure}
\end{frame}

\subsection{Conclusion}

\begin{frame}
  \begin{itemize}[<+->]
  \item Parralel shift: changements qui affectent l'ensemble de la courbe
  \item Tilt: variations à court terme et influence inverse à long terme
  \item Flex: forme plus ou moins concave
  \end{itemize}
\end{frame}

\section{Méthode des moments}

\subsection{Description de la méthode}

\begin{frame}{Définition}
  \begin{itemize}[<+->]
  \item technique d'estimation paramétrique
  \item fonctions d'estimation basée sur moments empiriques
  \item condition d'orthogonalité
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Déf. formelle}
  \begin{itemize}[<+->]
  \item vecteur de $k$ paramètres $\theta = (\theta_1, \ldots, \theta_k)'$
  \item $f = (f_1, \ldots, f_m) $, un vecteur de $m, m\geq k$ fonctions $f_i(r_t | \theta)$ de l'échantillon $r_t$
  \item $E[f_i(r_t | \theta)] = 0$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{itemize}[<+->]
  \item $\hat{\theta} = argmin(\theta,f' \times W \times f)$
  \item Matrice de pondération définie positive $W$
  \item MCO: $W$ est la matrice identité
  \item MCG: Information de Fisher empirique
  \item GMM: l'estimateur robuste de Newey and West
  \end{itemize}
\end{frame}

\subsection{Modèles de taux d'intérêt court-terme}

\begin{frame}{Modèle de Vasicek}
  \begin{itemize}[<+->]
  \item EDS
    \begin{equation} \label{eq:vasicek}
      dr_t = a(b-r_t)\, dt + \sigma \, dW_t
    \end{equation}
  \item Solution
    \begin{eqnarray*}
      r(t) = r(0) e^{-a t} +  b \left(1- e^{-a t}\right) + \sigma e^{-a t}\int_0^t e^{a s}\,dW_s.\,\!
    \end{eqnarray*}
  \item Moyenne et variance
    \begin{eqnarray*}
      \mathrm{E}[r_t] &=& r_0 e^{-a t} + b(1 - e^{-at}) \\
      \mathrm{Var}[r_t] &=& \frac{\sigma^2}{2 a}(1 - e^{-2at}) \\
      \lim_{t\rightarrow \infty} \mathrm{E}[r_t] &=& b \\
      \lim_{t\rightarrow \infty} \mathrm{Var}[r_t] &=& \frac{\sigma^2}{2 a} \\
    \end{eqnarray*}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Modèle de Cox, Ingersoll et Ross}
  \begin{itemize}[<+->]
  \item EDS
    \begin{equation}
      \label{eq:CIR}
      dr_t = a(b-r_t)\, dt + \sigma\sqrt{r_t}\, dW_t
    \end{equation}
  \item Moyenne et variance
    \begin{eqnarray*}
      E[r_t|r_0] &=& r_0 e^{-\theta t} + \mu (1-e^{-\theta t}) \\
      Var[r_t|r_0] &=& r_0 \frac{\sigma^2}{\theta} (e^{-\theta t}-e^{-2\theta t}) + \frac{\mu\sigma^2}{2\theta}(1-e^{-\theta t})^2 \\
    \end{eqnarray*}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Modèle de Chan, Karolyi, Longstaff et Sanders}
  \begin{itemize}[<+->]
  \item EDS
    \begin{equation}
      \label{eq:CKLS}
      dr_t = a(b-r_t)\, dt + \sigma r_t^{\gamma}\, dW_t
    \end{equation}
  \end{itemize}
\end{frame}

\subsection{Détails de la méthode}


\begin{frame}{Discrétisation}
  \begin{itemize}[<+->]
  \item Méthode d'Euler
  \item Pour le modèle CKLS, on obtient 
    \begin{equation}
      r_{t+1} = a + br_t+\sigma r_t^{\gamma}u_{t-1}
    \end{equation}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Conditions}
  \begin{itemize}[<+->] 
  \item On fixe
    \begin{eqnarray*}
      \epsilon_{t+1} &=& r_{t+1} - (a+br_t) \\
      &=& \sigma r_t^{\gamma}u_{t-1} \\
    \end{eqnarray*}
  \item  $\epsilon_{t+1} \sim N(0,\sigma^2 r_t^{2\gamma}\Delta t)$
  \item $\epsilon_{t+1}$ n'est pas corrélé avec $r_t$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Conditions de moments utilisées}
  \begin{itemize}[<+->]
  \item Moyenne et variance
    \begin{eqnarray}
      \label{eq:moments1}
      E[\epsilon_{t+1}] &=& 0 \\
      \label{eq:moments2}
      E[\epsilon_{t+1}^2 - \sigma^2r_t^{2\gamma}\Delta t] &=& 0
    \end{eqnarray}
  \item Corrélations
    \begin{eqnarray}
      \label{eq:momentscr1}
      E[\epsilon_{t+1}r_t] &=& 0 \\
      \label{eq:momentscr2}
      E[(\epsilon_{t+1}^2 - \sigma^2r_t^{2\gamma}\Delta t)r_t] &=& 0
    \end{eqnarray}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Moments empiriques}
  \begin{eqnarray}
    \label{eq:momentsemp1}
    f_1 &=& \nsumin (r_{t+1} - a - br_t) \\
    \label{eq:momentsemp2}
    f_1 &=& \nsumin (r_{t+1} - a - br_t)^2 - \sigma^2r_t^{2\gamma}\Delta t \\
    \label{eq:momentsemp3}
    f_1 &=& \nsumin (r_{t+1} - a - br_t)r_t \\
    \label{eq:momentsemp4}
    f_1 &=& \nsumin ((r_{t+1} - a - br_t)- \sigma^2r_t^{2\gamma}\Delta t)r_t
  \end{eqnarray}
\end{frame}

\begin{frame}{Équation d'estimation}
  \begin{equation}
    \label{eq:objectif1}
    J(a,b,\sigma,\gamma) = f'f = \sum_{i=1}^4 f_i^2
  \end{equation}
  On fait ici une hypothèse forte d'absence de corrélation et d'homoscédasticité des erreurs
\end{frame}

\begin{frame}{Moindres carrés pondérés}
  \begin{equation}
  \label{eq:objectif2}
  J(a,b,\sigma,\gamma) = f'W f
\end{equation}
\end{frame}

\begin{frame}{Matrice $W$ optimale}
  \begin{equation}
    \label{eq:omega0}
    \hat{\Omega_0} = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \hat{f_t}^2 
  \end{equation}
  Un meilleur choix est l'estimateur de Newey-West
\end{frame}

\begin{frame}{Estimateur de Newey-West}
  L'estimateur de Newey-West prend la forme 

\begin{eqnarray}
  \hat{S_T} &=& \sum_{j=1}^m (1-\frac{j}{m-1})[\hat{\Omega_j}+\hat{\Omega_j}'] \\
  \hat{\Omega_j} &=& \frac{1}{T} \sum_{t=j+1}^T \hat{f_t}\hat{f_{t-j}}
\end{eqnarray}

\begin{itemize}[<+->]
\item $m$ est le nombre de pas de temps de décalage utilisés
\item $\hat{\Omega_j}$ est une matrice d'autocovariance entre la série de données et la même série mais décalée de $j$ pas de temps
\item Le rôle du coefficient ($1-\frac{j}{m-1})$ est de s'assurer que la matrice est semi-définie positive
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Jacobien des moments}
Pour former les statistiques de diagnostic. Pour CKLS:
  \begin{eqnarray*}
\frac{df}{d\theta} &=& 
\left[ \begin{array}{cccc}
\frac{\partial f_1}{\partial a} & \frac{\partial f_1}{\partial b} & \frac{\partial f_1}{\partial \sigma} & \frac{\partial f_1}{\partial \gamma} \\
\frac{\partial f_2}{\partial a} & \frac{\partial f_2}{\partial b} & \frac{\partial f_2}{\partial \sigma} & \frac{\partial f_2}{\partial \gamma} \\
\frac{\partial f_3}{\partial a} & \frac{\partial f_3}{\partial b} & \frac{\partial f_3}{\partial \sigma} & \frac{\partial f_3}{\partial \gamma} \\
\frac{\partial f_4}{\partial a} & \frac{\partial f_4}{\partial b} & \frac{\partial f_4}{\partial \sigma} & \frac{\partial f_4}{\partial \gamma} \\
\end{array} \right] \\
\end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}{Statistique de Student (t)}
  On utilise ici la méthode delta pour construire la matrice de variance-covariance des paramètres
  \begin{equation}
    \label{eq:varparam}
    V = \frac{df}{d\hat{\theta}} W \frac{df}{d\hat{\theta}}'
  \end{equation}
  On prend la diagonale (variances) pour calculer les statistiques de Student
  \begin{eqnarray*}
    t &=& \frac{\theta_i}{\sqrt{V_{ii}}}
  \end{eqnarray*}
\end{frame}

\subsection{Données utilisées}

\begin{frame}
  Les données utilisées sont des données mensuelles entre les dates suivantes
  \verbatiminput{GMM-dates.txt}
\end{frame}
\begin{frame}
  La série se décrit visuellement comme suit:
  \includegraphics[scale=0.25]{serieGMM.pdf}
\end{frame}
\begin{frame}
  Les statistiques descriptives de base de la série sont:
  \verbatiminput{summaryDonneesGMM.txt}
\end{frame}

\subsection{Applications}

\begin{frame}{Modèle CKLS estimé avec GMM}
  % latex table generated in R 2.13.1 by xtable 1.7-0 package
% Thu Apr  5 23:12:29 2012
\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{rrrr}
  \hline
 & Est. param. & T-Stat & p-value \\ 
  \hline
a & 0.02320 & 22.30001 & 0.00000 \\ 
  b & -0.58973 & 14.27554 & 0.00000 \\ 
  sigma & 0.03416 & 72953440.38807 & 0.00000 \\ 
  gamma & 0.96593 & 372870417.22069 & 0.00000 \\ 
   \hline
\end{tabular}
\caption{Modèle CKLS estimé avec GMM}
\end{center}
\end{table}
\end{frame}

\begin{frame}{Modèle Vasicek estimé avec GMM}
  % latex table generated in R 2.13.1 by xtable 1.7-0 package
% Thu Apr  5 23:12:29 2012
\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{rrrr}
  \hline
 & Est. param. & T-Stat & p-value \\ 
  \hline
a & 0.02320 & 21.94401 & 0.00000 \\ 
  b & -0.58973 & 1.59672 & 0.05859 \\ 
  sigma & 0.00011 & 10.98051 & 0.00000 \\ 
   \hline
\end{tabular}
\caption{Modèle Vasicek estimé avec GMM}
\end{center}
\end{table}
\end{frame}

\begin{frame}{Modèle CIR estimé avec GMM}
  % latex table generated in R 2.13.1 by xtable 1.7-0 package
% Thu Apr  5 23:12:29 2012
\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{rrrr}
  \hline
 & Est. param. & T-Stat & p-value \\ 
  \hline
a & 0.02320 & 22.28222 & 0.00000 \\ 
  b & -0.58973 & 1.62643 & 0.05535 \\ 
  sigma & 0.00227 & 2.39356 & 0.01041 \\ 
   \hline
\end{tabular}
\caption{Modèle CIR estimé avec GMM}
\end{center}
\end{table}
\end{frame}

\begin{frame}{Matrice de Var-Cov des par. pour modèle CKLS avec GMM}
  % latex table generated in R 2.13.1 by xtable 1.7-0 package
% Thu Apr  5 23:12:29 2012
\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{rrrrr}
  \hline
 & a & b & sigma & gamma \\ 
  \hline
a & 0.00010 & -0.00138 & 0.00007 & -0.00001 \\ 
  b & -0.00138 & 0.02636 & -0.00267 & 0.00052 \\ 
  sigma & 0.00007 & -0.00267 & 0.00402 & -0.00079 \\ 
  gamma & -0.00001 & 0.00052 & -0.00079 & 0.00015 \\ 
   \hline
\end{tabular}
\caption{Matrice de Var-Cov des par. pour modèle CKLS avec GMM}
\end{center}
\end{table}
\end{frame}

\begin{frame}{Matrice de Var-Cov des par. pour modèle Vasicek avec GMM}
  % latex table generated in R 2.13.1 by xtable 1.7-0 package
% Thu Apr  5 23:12:29 2012
\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{rrrr}
  \hline
 & a & b & sigma \\ 
  \hline
a & 0.00010 & -0.00138 & 0.00000 \\ 
  b & -0.00138 & 0.02636 & -0.00001 \\ 
  sigma & 0.00000 & -0.00001 & 0.00000 \\ 
   \hline
\end{tabular}
\caption{Matrice de Var-Cov des par. pour modèle Vasicek avec GMM}
\end{center}
\end{table}
\end{frame}

\begin{frame}{Matrice de Var-Cov des par. pour modèle CIR avec GMM}
  % latex table generated in R 2.13.1 by xtable 1.7-0 package
% Thu Apr  5 23:12:29 2012
\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{rrrr}
  \hline
 & a & b & sigma \\ 
  \hline
a & 0.00010 & -0.00138 & 0.00000 \\ 
  b & -0.00138 & 0.02636 & -0.00018 \\ 
  sigma & 0.00000 & -0.00018 & 0.00001 \\ 
   \hline
\end{tabular}
\caption{Matrice de Var-Cov des par. pour modèle CIR avec GMM}
\end{center}
\end{table}
\end{frame}

\begin{frame}{Conclusion}
  \begin{itemize}[<+->]
  \item Facile à implémenter
  \item difficultés au niveau du calcul de la matrice de variance-covariance
  \item Donne des estimations cohérentes pour la moyenne à long terme, mais de grosses différences pour la variance
  \end{itemize}
\end{frame}

\section{Méthode du maximum de vraisemblance}

\begin{frame}{Objectif}
  \begin{itemize}[<+->]
  \item Paramètres qui maximisent la prob. que l'échantillon obtenu provienne de la distribution.
  \item Fonction à maximiser: logarithme de la fonction de vraisemblance $\ln L(\theta)$
  \end{itemize}
\end{frame}

\subsection{Application aux modèles}

\begin{frame}{Application au modèle de Vasicek}
  On obtient de l'EDS:
  \begin{equation}
    \label{eq:distVas}
    r_{t_2} | r_{t_1} \sim N\left(\mu + (r_{t_1} - \mu)e^{-\alpha\Delta t},\frac{\sigma^2}{2\alpha}(1-e^{2\alpha \Delta t})\right)
  \end{equation}
  On veut donc minimiser en $\theta$, $f()$ est la densité de $r_{t_2}$:
  \begin{equation}
    \label{eq:objVas}
    -\sum_{i=1}^{n-1} \ln f(\cdot | r_{t_1}, \theta)
  \end{equation}
\end{frame}

\begin{frame}{Application au modèle CIR}
  On obtient de l'EDS:
  \begin{equation}
    \label{eq:distCIR}
    p(t_2,r_{t_2}; t_1, r_{t_1}|\theta) = ce^{-u-\nu}(\frac{\nu}{u})^{\frac{q}{2}}I_q(2\sqrt{u\nu})
  \end{equation}
  
  $I_q()$ est la fonction de Bessel modifiée de type 1
  \begin{equation*}
  I_q (x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi e^{-\mathrm{i}\,(q \tau - x \sin \tau)} \,\mathrm{d}\tau.
\end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}{Application au modèle CIR}
  On retrouve les constantes suivantes:
\begin{eqnarray*}
  c &=& \frac{2\alpha}{\sigma^2(1-e^{-\alpha \Delta t})} \\
  u &=& cr_{t_1}e^{-\alpha \Delta t} \\
  \nu &=& cr_{t_2} \\
  q &=& \frac{2\alpha\mu}{\sigma} - 1 \\
\end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}{Forme alternative}
  Au lieu de la forme Bessel modifiée:
  \begin{equation}
    \label{eq:chisqCIR}
    r_{t_2} | r_{t_1} \sim \chi^2(2cr_{t_2};2q+2,2u)
  \end{equation}
  Minimiser \eqref{eq:objCIR} en $\theta$, où $f()$ est une $\chi^2$ non centrée de $r_{t_2}$.
  \begin{equation}
    \label{eq:objCIR}
    -\sum_{i=1}^{n-1} \ln f(\cdot | r_{t_1}, \theta)
  \end{equation}
\end{frame}

\begin{frame}
  La solution est difficile à obtenir numériquement, alors je ne l'ai pas implantée. Cette estimation se fait plus souvent avec des méthodes de filtration (Kalman). \\On peut aussi utiliser la quasi-vraisemblance basée sur la loi normale.
\end{frame}

\begin{frame}{Application au modèle CIR avec approximation normale}

  \begin{eqnarray*}
    E[r_{t_2} | r_{t_1}] &=& r_{t_1}e^{-\alpha \Delta t} + \mu \left(1-e^{-\alpha \Delta t}\right) \\
    V[r_{t_2} | r_{t_1}] &=& r_{t_1}\frac{\sigma^2}{\alpha} \left( e^{-\alpha \Delta t} - e^{-2\alpha \Delta t} \right) + \mu \frac{\sigma^2}{2\alpha} \left(1-e^{-\alpha \Delta t}\right)^2 \\
  \end{eqnarray*}
  
\end{frame}

\subsection{Estimation}

\begin{frame}{Estiamtion}
  Avec les mêmes données que GMM:
  Paramètres estimés avec les deux méthodes:
  \input{MLE-param}
\end{frame}

\begin{frame}{Conclusion}
  Test de ratio de vraisemblance, le modèle CIR ajusté avec l'approximation normale est meilleur que le modèle de Vasicek, avec un niveau de 6.694339e-06.
\end{frame}

\input{ccslide}

\end{document}