
\subsection{Description de la méthode}

La méthode du maximum de vraisemblance cherche les paramètres qui maximisent la probabilité que l'échantillon obtenu provienne de la distribution en question. La fonction de vraisemblance $L(\theta)$ est la densité conjointe de tous les éléments de l'échantillon. On utilise souvent le logarithme de la fonction de vraisemblance $\ln L(\theta)$ comme fonction à maximiser car elle est plus simple a évaluer et à différencier. 
Pour une description de la méthode en profondeur et les propriétés statistiques des estimateurs on peut consulter toute monographie de statistique mathématique.

\subsection{Application au modèle de Vasicek}

La résolution de l'équation différentielle stochastique qui caractérise le modèle de Vasicek permet d'identifier la distribution \eqref{eq:distVas} du taux à un temps $t_2, t_2 > t_1$ sachant la valeur du taux au temps $t_1$.

\begin{equation}
\label{eq:distVas}
  r_{t_2} | r_{t_1} \sim N\left(\mu + (r_{t_1} - \mu)e^{-\alpha\Delta t},\frac{\sigma^2}{2\alpha}(1-e^{2\alpha \Delta t})\right)
\end{equation}

$N(\mu,\sigma^2)$ est distribution normale de moyenne $\mu$ et de variance $\sigma^2$.
On voir donc minimiser \eqref{eq:objVas} en $\theta$, où $f()$ est la densité de la loi normale de $r_{t_2}$.

\begin{equation}
  \label{eq:objVas}
  -\sum_{i=1}^{n-1} \ln f(\cdot | r_{t_1}, \theta)
\end{equation}

La solution est obtenue directement en utilisant un algorithme d'optimisation numérique.

\subsection{Application au modèle CIR}

La résolution de l'équation différentielle stochastique qui caractérise le modèle CIR permet d'identifier la distribution \eqref{eq:distCIR} du taux à un temps $t_2, t_2 > t_1$ sachant la valeur du taux au temps $t_1$.

\begin{equation}
  \label{eq:distCIR}
  p(t_2,r_{t_2}; t_1, r_{t_1}|\theta) = ce^{-u-\nu}(\frac{\nu}{u})^{\frac{q}{2}}I_q(2\sqrt{u\nu})
\end{equation}

$I_q()$ est la fonction de Bessel modifiée de type 1

\begin{equation*}
  I_q (x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi e^{-\mathrm{i}\,(q \tau - x \sin \tau)} \,\mathrm{d}\tau.
\end{equation*}

Et on retrouve les constantes suivantes:

\begin{eqnarray*}
  c &=& \frac{2\alpha}{\sigma^2(1-e^{-\alpha \Delta t})} \\
  u &=& cr_{t_1}e^{-\alpha \Delta t} \\
  \nu &=& cr_{t_2} \\
  q &=& \frac{2\alpha\mu}{\sigma} - 1 \\
\end{eqnarray*}

Cette fonction de distribution peut aussi être vue comme une $\chi^2$ non centrée \eqref{eq:chisqCIR}. Cette approche est plus facile à programmer étant donné qu'elle ne requiert pas d'approximation de la fonction de Bessel modifiée de type 1.

\begin{equation}
  \label{eq:chisqCIR}
   r_{t_2} | r_{t_1} \sim \chi^2(2cr_{t_2};2q+2,2u)
\end{equation}

On doit donc minimiser \eqref{eq:objCIR} en $\theta$, où $f()$ est la densité de la loi $\chi^2$ non centrée de $r_{t_2}$.

\begin{equation}
  \label{eq:objCIR}
  -\sum_{i=1}^{n-1} \ln f(\cdot | r_{t_1}, \theta)
\end{equation}

La solution peut être obtenue directement en utilisant un algorithme d'optimisation numérique. Cet algorithme n'a pas été implanté car il est numériquement très instable et cet estimation se fait habituellement avec d'autres méthodes dont le filtre de Kalman.

\subsection{Application au modèle CIR avec approximation normale}

L'approche par approximation normale pose comme hypothèse que la distribution de $r_{t_2} | r_{t_1}$ est normale, suivant la moyenne et la variance de la distribution de $\chi^2$ non centrée.

\begin{eqnarray*}
  E[r_{t_2} | r_{t_1}] &=& r_{t_1}e^{-\alpha \Delta t} + \mu \left(1-e^{-\alpha \Delta t}\right) \\
  V[r_{t_2} | r_{t_1}] &=& r_{t_1}\frac{\sigma^2}{\alpha} \left( e^{-\alpha \Delta t} - e^{-2\alpha \Delta t} \right) + \mu \frac{\sigma^2}{2\alpha} \left(1-e^{-\alpha \Delta t}\right)^2 \\
\end{eqnarray*}

\subsection{Analyse empirique}

Les données considérées sont les données de série chronologique mensuelles du taux composite des bons du trésor américains d'échéance 3 mois, entre les dates suivantes: \input{MLE-dates} \\

Les paramètres estimés avec les deux méthodes sont resumés dans la table \ref{tab:estimParam}:

\input{MLE-param}

\subsection{Conclusion}

En effectuant un test de ratio de vraisemblance, pour $H_0$: le modèle X est meilleur que le modèle Y, on constate que le modèle CIR ajusté avec l'approximation normale est meilleur que le modèle de Vasicek, avec une p-value de 6.694339e-06. On remarquera par contre dans la littérature  que le modèle CIR, lorsque l'on surmonte les problèmes numériques, est meilleur que ces deux modèles.
