ajout fin chapitre 2 et chapitre 3
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chapitre2.tex
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chapitre2.tex
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@ -37,7 +37,7 @@
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\item Voir Algorithme \ref{alg:fouilleprofcomp}: $K$=Solution candidate, $P$=Solution partielle, $S$=Solution
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\end{itemize}
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\begin{algorithm}
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\begin{algorithm}[H]
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\DontPrintSemicolon
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\Deb{
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\Repeter{$S \neq \emptyset$}{
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@ -63,7 +63,7 @@
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On améliore l'algorithme précédent en validant les contraintes pour chaque solution partielle. Algorithme \ref{alg:fouilleprofretarr}. Seul un sous-ensemble des noeuds est exploré. Permet de résoudre certains problèmes en temps polynomial.
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\begin{algorithm}
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\begin{algorithm}[H]
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\DontPrintSemicolon
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\Deb{
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\Repeter{$S \neq \emptyset$}{
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@ -96,7 +96,119 @@ S'il reste une seule variable non instanciée, itérer sur toutes les valeurs du
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\item Un algorithme de filtrage par contrainte
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\end{itemize}
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\paragraph{Support}
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\paragraph{Support}
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Affectation de variables (tuple) qui satisfait une contrainte
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\begin{itemize}
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\item Types de support:
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\begin{itemize}
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\item Support de domaine: tuple $t$ satisfait $C$ tel que $t[i] \in mathtt{dom}(X_i)$et $\lbrace x_i = t[i] \forall 1 \leq i \leq n$
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\item Support d'intervalle tuple $t$ satisfait $C$ tel que $min(\mathtt{dom}(X_i)) \leq t[i] \leq max(\mathtt{dom}(X_i))$ et $\lbrace x_i = t[i] \forall 1 \leq i \leq n$
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\end{itemize}
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\item Propriétés:
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\begin{itemize}
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\item Support de domaine $\subset$ Support d'intervalle
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\item Support d'intervalle: ne garantit pas l'existence d'une solution pour la contrainte
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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\paragraph{Cohérence}
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Algorithme de \textbf{filtrage}: retire les valeurs d'un domaine pour lesquelles il n'y a pas de support
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Niveaux de cohérence:
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\begin{itemize}
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\item Domaine: $\exists$ support de \textbf{domaine} pour toute variable $X$ de la portée de la contrainte et toute valeur $v$ dans le domaine de $X$.
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\item Intervalle: $\exists$ support d'\textbf{intervalle} pour toute variable $X$ de la portée de la contrainte et toute valeur $v$ dans le domaine de $X$.
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\item Bornes: $\exists$ support d'\textbf{intervalle} pour toute variable $X$ de la portée de la contrainte et la plus petite et la plus grande valeur du domaine de $X$.
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\end{itemize}
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Propriétés des cohérences:
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\begin{itemize}
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\item Cohérence de domaine $\subset$ Cohérence d'intervalle $\subset$ Cohérence de bornes
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\item Cohérence locale: on a filtré itérativement les contraintes d'un problème
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\item Algorithme \ref{alg:fouilleproffiltrage}
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\end{itemize}
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\begin{algorithm}[H]
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\DontPrintSemicolon
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\Deb{
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\Repeter{$S \neq \emptyset$}{
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Filtrer les domaines jusqu'à la cohérence locale \;
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$K \leftarrow \lbrace x_i \mid \left\lVert \mathtt{dom}(x_i)\right\rVert > 1 \rbrace$ \;
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\Si{$\exists dom(X_i)=\emptyset$}{$\emptyset$}
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\Si{$C = \emptyset$}{ \Retour{$\mathtt{dom}(x_1), \ldots, \mathtt{dom}(x_n)$}}
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Choisir une variable $x_i \in K$\;
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Choisir une valeur $v\in \mathtt{dom}(x_i)$\;
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$S \leftarrow \texttt{FouilleEnProfondeurFiltrage}(\mathtt{dom}(x_1), \ldots, \mathtt{dom}(x_{i-1}),\lbrace v \rbrace, \mathtt{dom}(x_{x+1}), \ldots, \mathtt{dom}(x_{n}))$\;
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\Si{$S=\emptyset$}{$\mathtt{dom}(x_i) \leftarrow \mathtt{dom}(x_i) \setminus \lbrace v \rbrace$}
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}
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\Retour{$S$}
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}
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\caption{FouilleEnProfondeurFiltrage($\mathtt{dom}(x_1), \ldots, \mathtt{dom}(x_n)$)}
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\label{alg:fouilleproffiltrage}
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\end{algorithm}
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\paragraph{Propagation des contraintes}
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Méthode efficace pour obtenir la cohérence locale
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\begin{itemize}
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\item À chaque noeud de l'arbre, on applique la cohérence locale puis instancie une variable $X$
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\item On filtre les contraintes contenant $X$. Si d'autres variables $Y$ voient leur domaine modifié, on filtre ensuite les contraintes sur $Y$ ainsi de suite. On garde une liste de contraintes à vérifier.
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\item On ordonne $S$ en donnait priorité aux contraintes qui filtrent davantage de valeurs en moins de temps
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\end{itemize}
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\begin{algorithm}[H]
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\DontPrintSemicolon
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\Deb{
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||||
$S \leftarrow \lbrace C_k \mid X_i \in Portée(C_k) \rbrace$\;
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\Tq{$S \neq \emptyset$}{
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||||
Choisir une contrainte $C_k$ dans $S$\;
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||||
Filtrer $C_k$\;
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\Si{la contrainte n'est pas satisfiable}{\Retour{Échec}}
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\PourCh{$X_j \mid dom(X_j) filtré$}{
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$S \leftarrow S \cup \lbrace C_a \mid X_j \in Portée(C_a) \rbrace$
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}
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$S \leftarrow S \setminus \lbrace C_k \rbrace$
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}
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||||
\Retour{Succès}
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}
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||||
\caption{PropagationDesContraintes($X_i,C_1,\ldots,C_m$)}
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\label{alg:propcontr}
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\end{algorithm}
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\paragraph{Types de filtrage}
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\begin{itemize}
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\item Instanciation: toutes les valeurs retirées sauf une
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\item ValeurSupprimée: Une valeur est supprimée du domaine
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\item BorneInferieure: La borne inférieure est augmentée
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\item BorneSuperieure: La borne supérieure est diminuée
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\end{itemize}
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Idéal: Un algorithme de filtrage pour chaque par type de filtrage pour les autres variables. Il est moins couteux de rétablir la cohérence que l'appliquer la première fois.
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\paragraph{Branch \& Bound}
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Optimisation: En minimisant $X$, si on trouve une solution où $X=v$, on ajoute la contrainte $X<v$ au problème. Cette contrainte filtre al borne supérieure et les autres la borne inférieure. Si la borne inférieure est supérieure à la borne supérieure de cette nouvelle contrainte, on déclenche un retour arrière.
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\paragraph{Cohérence de singleton}
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Affecter temporairement une valeur à une variable, puis appliquer la cohérence locale.
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S'il n'y a pas de cohérence locale, on retire cette valeur du domaine.
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En pratique, on teste chaque paire variable/valeur une seule fois.
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\paragraph{Cohérence de chemin}
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Créer un graphe où chaque paire variable et valeur représente un noeud. On ajoute les arêtes entre les noeuds si aucune contrainte n'empêche une solution partielle incluant ces deux noeuds.
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On vérifie si pour chaque arête, il existe une chemin de longueur $l$ reliant les deux noeuds. Sinon on supprime l'arête. Si un noeud est isolé du graphe, on le supprime. Il existe $n!$ permutations.
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On applique généralement la cohérence de chemin de longueur 2 qui est équivalente et a $\binom{n}{3}$ permutations. La complexité est $\mathcal{O}(n^3)$.
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chapitre3.tex
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chapitre3.tex
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@ -1,6 +1,117 @@
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\section{Chapitre 3}
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\section{Chapitre 3: Autopsie d'un solveur}
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\label{sec:ch3}
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\subsection{Le modèle}
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\label{sec:ch3modele}
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\begin{itemize}
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\item Variable: Possède un nom et un domaine
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\item Contrainte (classe abstraite):
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\begin{itemize}
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\item Portée: vecteur de variables
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\item Trois méthodes de filtrage:
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\begin{itemize}
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\item Filtrage depuis zéro
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\item Filtrage sur modification du domaine
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\item Filtrage sur modification des bornes
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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\item Prétraitement pour diminuer le nombre de variables
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\item Filtrage initiale, remplace les variables avec une seule valeur dans le domaine par des constantes
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\end{itemize}
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\subsection{L'heuristique}
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\label{sec:ch3heu}
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\begin{itemize}
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\item Prend en paramètre l'ensemble des variables, retourne une variable et une valeurs pour le branchement.
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\item C'est une classe abstraite.
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\end{itemize}
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\subsection{Le solveur}
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\label{sec:ch3solv}
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\begin{itemize}
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\item Crée l'arbre de recherche et l'explore
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\item Heuristiques définissent sa configuration
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\item Entrée: modèle, Sortie: solution
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\end{itemize}
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\subsection{Le domaine}
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\label{sec:ch3domaine}
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\begin{itemize}
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\item Ensemble de valeurs à tester
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\item Méthodes: Bornes, appartenance, valeurs, filtres
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\item Domaine intervalle: ne garde que les bornes supérieures et inférieures
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\begin{itemize}
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\item Structure: Pile de valeurs.
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\item Chaque fois qu'on visite un enfant, le domaine ajoute sur sa pile le nouvel intervalle.
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\item Lors d'un retour arrière, l'intervalle sur la pile est celui du noeud parent.
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\item Opérations en temps constant, sauf qu'on ne peut retirer de valeurs.
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\end{itemize}
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\item Domaine énuméré: les valeurs ne forment pas un intervalle
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\begin{itemize}
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\item Structure: liste doublement chaînée et tableau de drapeaux et pointeurs
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\item Retrait d'une valeur:
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\begin{itemize}
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\item Enlever le drapeau
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\item Retirer le noeud de la liste chainée
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\item Garder le pointeur vers le prédécesseur et le successeur
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\end{itemize}
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\item Réinsertion:
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\begin{itemize}
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\item Dans l'ordre inverse de leur suppression
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\item Entre le noeud précédent et le noeud suivant
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\item On restaure les pointeurs
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\item On replace le drapeu
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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\item Domaine énuméré avec retours arrière rapides:
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\begin{itemize}
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\item Deux vecteurs $A[1,\ldots,d]$ et $B[1,\ldots,d]$ et une variable de cardinalité $C$
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\item Invariant: $B[A[i]]=i$
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\item Domaine: $B[1,C]$
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\item Retrait de $v$:
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\begin{itemize}
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\item Échanger $B[v]$ avec $B[C]$
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\item Mettre à jour $A$
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\item $C \leftarrow C-1$
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\end{itemize}
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\item Réinsertion d'une valeur:
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\begin{itemize}
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\item $C \leftarrow C+1$
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\end{itemize}
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\item Désavantages:
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\begin{itemize}
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\item Inefficace de trouver les bornes du domaine
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\item Algorithmes de filtrage moins efficaces
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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\begin{tabular}[H]{|l|l|l|l|}
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Opération & Intervalle & Énuméré & Retours arrières rapides\\
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Test valeur & $\mathcal{O}(1)$ & $\mathcal{O}(1)$ & $\mathcal{O}(1)$ \\
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Itérer valeurs & $\mathcal{O}(1)$ & $\mathcal{O}(1)$ & $\mathcal{O}(1)$ \\
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Retourner bornes & $\mathcal{O}(1)$ & $\mathcal{O}(1)$ & $\mathcal{O}(d)$ \\
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Changer bornes & $\mathcal{O}(1)$ & $\mathcal{O}(d)$ & $\mathcal{O}(d)$ \\
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Retirer valeur & non disponible & $\mathcal{O}(1)$ & $\mathcal{O}(1)$ \\
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Enregistrer $k$ changements & $\mathcal{O}(1)$ & $\mathcal{O}(k)$ & $\mathcal{O}(1)$ \\
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Restaurer $k$ valeurs & $\mathcal{O}(1)$ & $\mathcal{O}(k)$ & $\mathcal{O}(1)$ \\
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||||
\end{tabular}
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\subsection{Méta-contraintes}
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\label{sec:ch3meta}
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\begin{align}
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\begin{aligned}
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\textsc{ifThen}(C_1,C_2) &\Leftrightarrow (C_1 \Rightarrow C_2) \\
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\textsc{ifThenElse}(C_1,C_2,C_3) &\Leftrightarrow (C_1 \wedge C_2) \vee (\neg C_1 \wedge C_3)
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\end{aligned}
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\end{align}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "notes_de_cours"
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