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Notes ch 1 et partie ch 2

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François Pelletier 2018-02-25 22:44:15 -05:00
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146
chapitre1.tex
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\section{Chapitre 1: Introduction}
\label{sec:ch1}
\subsection{NP-Complétude}
\label{sec:ch1npc}
\paragraph{Instance SAT}
\begin{itemize}
\item $x_i \in \lbrace 0,1 \rbrace$
\item Un \textbf{litéral}: $x_i$ ou $\neg x_i$
\item Une \textbf{clause} SAT = disjonction de litéraux
\item Une \textbf{solution} satisfait l'ensemble des clauses de l'\textbf{instance}
\item Si au moins une solution existe, l'instance est réalisable ou \textbf{satisfiable}
\end{itemize}
\paragraph{La classe NP}
\begin{itemize}
\item \textbf{Problème de décision}: La réponse est \textit{oui} ou \textit{non}
\item \textbf{Certificat}: Donnée prouvant que la solution au problème de décision est \textit{oui}
\item \textbf{Algorithme de vérification}: vérifie si une donnée est un certificat valide
\item \textbf{Classe NP}: Ensemble des problèmes de décision qui admettent un algorithme de vérification en temps polynomial.
\end{itemize}
\subsection{Problèmes de satisfaction et d'optimisation avec contraintes}
\label{sec:ch1propt}
\paragraph{Satisfaction}
\begin{itemize}
\item Variables: $x_1, \ldots, x_n$
\item Domaine: $\mathtt{dom}(x_1), \ldots, \mathtt{dom}(x_n)$
\item Contraintes: $C_1, \ldots, C_m$
\end{itemize}
\paragraph{Optimisation}
\begin{itemize}
\item Reprend les éléments du problème de satisfaction
\item Ajoute une fonction objectif réelle à minimiser ou maximiser: $f(x_1, \ldots, x_n): \R$
\end{itemize}
\subsection{Contraintes}
\label{sec:ch1cont}
\begin{itemize}
\item \textbf{Contrainte}: condition imposée à un sous-ensemble de variables, appelé \textbf{portée}.
\item \textbf{Arité}: nombre de variables dans la portée
\end{itemize}
\paragraph{Quelques contraintes}
\begin{itemize}
\item $\textsc{Ou}(x_1,x_2) \equiv x_1 \vee x_2$
\item $\textsc{Et}(x_1,x_2) \equiv x_1 \wedge x_2$
\item $\textsc{Addition}(a,b,c) \equiv a+b=c$
\item $\textsc{Soustraction}(a,b,c) \equiv a-b=c$
\item $\textsc{Multiplication}(a,b,c) \equiv ab=c$
\item $\textsc{Division}(a,b,c) \equiv \frac{a}{b}=c$
\item $\textsc{Tableau}(x_1,x_2,x_3,T)$
\item $\textsc{AllDifferent}(x_1, \ldots, x_n) \equiv x_1 \neq \ldots \neq x_n$
\item $\textsc{Croissant}(x_1,x_2) \equiv x_1 \leq x_2$
\item $\textsc{Décroissant}(x_1,x_2) \equiv x_1 \geq x_2$
\end{itemize}
\subsection{Modélisation}
\begin{enumerate}
\item Utiliser les contraintes du solveur
\item Concevoir un modèle:
\begin{itemize}
\item Variables
\item Domaines
\item Fonction objectif
\item Contraintes
\end{itemize}
\item Soumettre un modèle au solveur
\item Recevoir une solution
\end{enumerate}
\paragraph{Exemple}
Problème du commis voyageur: Figure \ref{fig:ch1commis}
\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
\Vertex[x=0,y=0]{A}
\Vertex[x=4,y=0]{B}
\Vertex[x=0,y=4]{C}
\Vertex[x=4,y=4]{D}
\Edge[label= $1$](A)(B)
\Edge[label= $3$](A)(C)
\Edge[label= $2$](B)(D)
\Edge[label= $6$](C)(D)
\tikzset{EdgeStyle/.append style = {bend left}}
\Edge[label= $1$](A)(D)
\tikzset{EdgeStyle/.append style = {bend right}}
\Edge[label= $5$](B)(C)
\end{tikzpicture}
\caption{Exemple de problème du commis voyageur}
\label{fig:ch1commis}
\end{figure}
\begin{align}
\begin{aligned}
\argmin_{d_0 \ldots d_3} & \left( d_0+ \ldots +d_3 \right) \\
\textrm{s.t.} &\\
&\mathtt{dom}(x_i) = \lbrace A,B,C,D \rbrace & \forall i \in {0,\ldots,3}\\
&\mathtt{dom}(d_i) = \lbrace 1,2,3,5,6 \rbrace & \forall i \in {0,\ldots,3}\\
&\textsc{Tableau}(x_i,x_{i+1 mod 4}, d_i, T) & \forall i \in {0,\ldots,3}\\
&x_i \neq x_j & 0 \leq i \leq j \leq 3
\end{aligned}
\end{align}
\paragraph{Caractéristiques d'un bon modèle}
\begin{itemize}
\item Taille d'un modèle:
\begin{itemize}
\item Nombre de variables
\item Nombre de contraintes (une ligne dans un tableau = une contrainte)
\item Cardinalité des domaines
\end{itemize}
\item Notation asymptotique $\mathcal{O}$ ou $\mathcal{\Theta}$
\item Taille polynomiale
\end{itemize}
\paragraph{Exemple}
Problème du commis voyageur
\begin{itemize}
\item $2n$ variables
\item $n^2+\frac{n^2(n+1)}{2} \in \mathcal{\Theta}(n^3)$ valeurs
\item $n$ contraintes tableau $+\frac{n(n+1)}{2}$ différences $\in \Theta(n^2)$
\end{itemize}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "notes_de_cours"
%%% End:

95
chapitre2.tex
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@ -0,0 +1,95 @@
\section{Chapitre 2: Fouille et filtrage}
\label{sec:ch2}
\subsection{Processus de résolution}
\label{sec:ch2res}
\paragraph{Énumération}
\begin{itemize}
\item Force brute: énumérer toutes les solutions candidates
\item Itération et filtration
\item Au moins une unité de temps sur chaque solution candidate
\item Compléxité dans
\begin{align}
\Omega \left( \prod_{i=1}^{n} \| \texttt{dom}(x_i) \| \right)
\end{align}
\item Fondement des algorithmes les plus sophistiqués
\end{itemize}
\paragraph{Fouille en profondeur}
\begin{itemize}
\item Créer un arbre de recherche
\item Chaque noeud équivaut à une solution partielle
\item Ordre de visite:
\begin{itemize}
\item Racine
\item Premier enfant non visité depuis la gauche
\item Si tous les enfants visités, retour au noeud parent
\end{itemize}
\item Validité
\begin{itemize}
\item Doit visiter toutes les solutions candidates possibles
\item Ne devrait pas visiter deux fois la même solution partielle ou candidate
\end{itemize}
\item Décisions de l'arbre de recherche: \textbf{heuristique} décide de la politique de choix
\item Voir Algorithme \ref{alg:fouilleprofcomp}: $K$=Solution candidate, $P$=Solution partielle, $S$=Solution
\end{itemize}
\begin{algorithm}
\DontPrintSemicolon
\Deb{
\Repeter{$S \neq \emptyset$}{
$K \leftarrow \lbrace x_i \mid \left\lVert \mathtt{dom}(x_i) > 1 \right\rVert \rbrace$ \;
\Si{$K = \emptyset$}{
\Si{$\mathtt{dom}(x_1), \ldots, \mathtt{dom}(x_n) \text{ satisfait contraintes}$}{
\Retour{$\mathtt{dom}(x_1), \ldots, \mathtt{dom}(x_n)$}
}
\Sinon{\Retour{$\emptyset$}}
}
Choisir une variable $x_i \in K$\;
Choisir une valeur $v\in \mathtt{dom}(x_i)$\;
$S \leftarrow \texttt{FouilleEnProfondeurComplète}(\mathtt{dom}(x_1), \ldots, \mathtt{dom}(x_{i-1}),\lbrace v \rbrace, \mathtt{dom}(x_{x+1}), \ldots, \mathtt{dom}(x_{n}))$\;
\Si{$S=\emptyset$}{$\mathtt{dom}(x_i) \leftarrow \mathtt{dom}(x_i) \setminus \lbrace v \rbrace$}
}
\Retour{$S$}
}
\caption{FouilleEnProfondeurComplète($\mathtt{dom}(x_1), \ldots, \mathtt{dom}(x_n)$)}
\label{alg:fouilleprofcomp}
\end{algorithm}
\paragraph{Fouille en profondeur avec retours arrières}
On améliore l'algorithme précédent en validant les contraintes pour chaque solution partielle. Algorithme \ref{alg:fouilleprofretarr}. Seul un sous-ensemble des noeuds est exploré. Permet de résoudre certains problèmes en temps polynomial.
\begin{algorithm}
\DontPrintSemicolon
\Deb{
\Repeter{$S \neq \emptyset$}{
$K \leftarrow \lbrace x_i \mid \left\lVert \mathtt{dom}(x_i) > 1 \right\rVert \rbrace$ \;
$P \leftarrow \lbrace x_i \mid \left\lVert \mathtt{dom}(x_i) = 1 \right\rVert \rbrace$
\Pour{$C_j \in \mathcal{C}$}{
\Si{$Portée(C_j) \subseteq P \wedge \neg C_j$}{\Retour{$\emptyset$}}
}
\Si{$C = \emptyset$}{ \Retour{$\mathtt{dom}(x_1), \ldots, \mathtt{dom}(x_n)$}}
Choisir une variable $x_i \in K$\;
Choisir une valeur $v\in \mathtt{dom}(x_i)$\;
$S \leftarrow \texttt{FouilleEnProfondeurRetArr}(\mathtt{dom}(x_1), \ldots, \mathtt{dom}(x_{i-1}),\lbrace v \rbrace, \mathtt{dom}(x_{x+1}), \ldots, \mathtt{dom}(x_{n}))$\;
\Si{$S=\emptyset$}{$\mathtt{dom}(x_i) \leftarrow \mathtt{dom}(x_i) \setminus \lbrace v \rbrace$}
}
\Retour{$S$}
}
\caption{FouilleEnProfondeurRetArr($\mathtt{dom}(x_1), \ldots, \mathtt{dom}(x_n)$)}
\label{alg:fouilleprofretarr}
\end{algorithm}
\paragraph{Vérification anticipée}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "notes_de_cours"
%%% End:

7
chapitre3.tex
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@ -0,0 +1,7 @@
\section{Chapitre 3}
\label{sec:ch3}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "notes_de_cours"
%%% End:

7
chapitre4.tex
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@ -0,0 +1,7 @@
\section{Chapitre 4}
\label{sec:ch4}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "notes_de_cours"
%%% End:

20
notes_de_cours.tex
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@ -49,14 +49,32 @@
\usepackage{color} % Pour inclure du texte en couleur
\usepackage{units} % Pour pouvoir tapper les unités correctement
\usepackage{pgf,tikz} % Utilisation du module tikz, qui permet de tracer des belles images
\usetikzlibrary{shapes.geometric, arrows} % Quand on exporte une image GeoGebra, on a besoin de préciser cela
\usepackage{tkz-graph}
\usetikzlibrary{shapes.geometric,arrows} % Quand on exporte une image GeoGebra, on a besoin de préciser cela
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{hyperref} % Pour include des liens dans le document
\usepackage[linesnumbered,vlined,boxruled,algosection,french,frenchkw]{algorithm2e}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Commande personnelle, plus rapide pour tapper les ensembles
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Commande personnelle, plus rapide pour tapper les ensembles
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Commande personnelle, plus rapide pour tapper les ensembles
\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}
\DeclareMathOperator*{\argmin}{arg\,min}
\usepackage{cprotect} % Pour pouvoir personaliser la légende des figures
%----------------------------------------------------------------
%graph-colors------------------
\SetVertexNormal[Shape = circle,
FillColor = orange,
LineWidth = 2pt]
\SetUpEdge[lw = 1.5pt,
color = black,
labelcolor = white,
labeltext = blue,
labelstyle = {sloped,draw,text=blue}]
%------------------------------
\begin{document}
\input{pagetitre} % Inclut le code contenu dans un fichier comme s'il était entré ici
\tableofcontents

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pagetitre.tex
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@ -4,10 +4,15 @@
\begin{center} % On centre le texte
{\huge \bf \titre}\\ % \huge fait que le texte est gros, \bf fait que le texte est gras
\vspace{4cm}
\large Travail présenté à \destinataire \\ \cours\\
\large Dans le cadre du cours \destinataire \\ \cours\\
\vspace{4cm}
Réalisé par \\ \auteurs ;\\ \matricules
\vfill % On va jusqu'au bas de la page avant de mettre le texte ci-dessous
Dernière version produite le~\today~à~\currenttime
\pagebreak
\end{center}
%%% Local Variables:
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%%% TeX-master: "notes_de_cours"
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