\section{Chapitre 8: La programmation linéaire}
\label{sec:ch8}

\subsection{Forme normale}
\label{sec:formenormale}

\begin{alignat*}{2}
  & \text{maximiser} && c^Tx \\
  & \text{sujet à} & \quad &
  \begin{aligned}[t]
    Ax& \leq b & \\
    x& \geq 0 &
  \end{aligned}
\end{alignat*}

Équivalences de problèmes:
\begin{itemize}
\item $\min c^Tx \iff \max (-c^T)x$
\item $a^Tx \geq k \iff (-a^T)x \leq -k$
\item $a^Tx = k \iff a^Tx \leq k \wedge a^Tx \geq k$
\item $x_i$ libre devient $x_i=x_i^{+} - x_i^{-}, \quad x_i^{+} \geq 0 \wedge x_i^{-} \geq 0$
\end{itemize}

\subsection{Polytope convexe}
\label{sec:polytopeconvexe}

L'espace des solutions d'un système d'inégalités linéaires forme un polytope convexe. Il est possible de résoudre graphiquement un programme linéaire. La solution se situe nécessairement sur un sommet. Si le problème a plus d'une solution, alors celle-ci est définie par une face, ce qui inclus les sommets.

Un espace est convexe le segment reliant deux point de cet espace est entièrement inclus dans l'espace. Combinaison convexe:

\begin{align}
  \alpha\vec{x}+(1-\alpha)\vec{y} \in S
\end{align}

Soit deux solutions valides $y$ et $z$, toute solution $\alpha\vec{y}+(1-\alpha)\vec{z}$ est aussi valide si $\alpha \in \left[ 0,1 \right]$

\subsection{Algorithme du simplexe}
\label{sec:simplexe}

\begin{itemize}
\item Exploite deux propriétés:
  \begin{itemize}
  \item Solution à un sommet du polytope
  \item Espace de recherche convexe
  \end{itemize}
\item Trouve une solution réalisable
\item Parcours les sommets du polytope
\item Variables d'écart: convertir les inéquations en équations en ajoutant une variable. Il y a une variable d'écart par contrainte du programme.
\item Solution initiale: débute avec une solution réalisable. Ce peux être $x_i=0$.
\item Solution de base: contient $m$ variables non-nulles dont les colonnes forment une base.
\item Solution réalisable de base: Solution de base qui satisfait toutes les équations avec des valeurs non négatives. Forment l'ensemble des sommets du polytope
\end{itemize}

Changement de base: Une variable entre dans la base en devenant positive et une autre quitte en devenant nulle

\begin{table}[ht]
\centering
\label{tab:simplexe}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline
\textbf{$-c_1$} & \textbf{$-c_2$} & \textbf{$-c_3$} & \textbf{$\ldots$} & \textbf{$-c_n$} & \textbf{$v$} \\ \hline
$a_{11}$        & $a_{12}$        & $a_{13}$        & $\ldots$          & $a_{1n}$        & $b_1$        \\ \hline
$a_{21}$        & $a_{22}$        & $a_{23}$        & $\ldots$          & $a_{2n}$        & $b_2$        \\ \hline
$\ldots$        & $\ldots$        & $\ldots$        & $\ldots$          & $\ldots$        & $\ldots$     \\ \hline
$a_{m1}$        & $a_{m2}$        & $a_{m3}$        & $\ldots$          & $a_{mn}$        & $b_m$        \\ \hline
\end{tabular}
\caption{Tableau du simplexe}
\end{table}

Invariants du tableau:
\begin{itemize}
\item Les colonnes de la base ont une valeur nulle sauf une composante qui a une valeur de 1
\item Le coût d'une variable de la base est 0
\item La valeur objectif apparait dans le coin supérieur droit
\item La valeur des variables non-nulles apparait à la dernière colonne de droite. Ces valeurs sont non-négatives
\end{itemize}

Opération de pivot:






%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "notes_de_cours"
%%% End:
