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+++ b/chapitre15.tex
@@ -0,0 +1,110 @@
+\section{Chapitre 15: Raisonnement probabiliste sur une période de temps}
+\label{sec:ch15}
+
+\subsection{Processus de Markov}
+\label{sec:ch15markov}
+
+Une situation dynamique est représentée par un ensemble de \textit{photos} décrivant l'état à un certain instant. Elle comprend:
+\begin{itemize}
+\item $X_t$, les variables non-observables à $t$
+\item $E_t=e_t$, les variables d'évidence au temps $t$
+\end{itemize}
+
+On considère:
+
+\begin{itemize}
+\item Processus stationnaire: $\mathbf{P}(X_t|Parents(X_t))$ est constant $\forall t$
+\item Modèle de transition: processus de Markov: seul un historique fini d'états influence l'état présent
+  \begin{itemize}
+  \item premier degré: $\mathbf{P}(X|X_{0:t-1})=\mathbf{P}(X|X_{t-1})$
+  \item second degré:$\mathbf{P}(X|X_{0:t-1})=\mathbf{P}(X|X_{t-x} \wedge X_{t-1})$
+  \end{itemize}
+\item Modèle d'observation $\mathbf{P}(E_t|X_t)$: les variables d'évidence ne dépendent que de l'état présent
+\end{itemize}
+
+\begin{figure}[ht]
+  \centering
+  \includegraphics[height=100px]{umbrella.png}
+  \caption{Réseau bayesien: exemple du parapluie}
+\end{figure}
+
+\begin{mydef}
+  Distribution conjointe complète:
+  \begin{align}
+    \mathbf{P}(X_0,X_1,\ldots,X_t,E_1,E_2,\ldots,E_t)=\mathbf{P}(X_0) \prod_{i=1}^t\mathbf{P}(X_i|X_{i-1})\mathbf{P}(E_i|X_i))
+  \end{align}
+\end{mydef}
+
+\subsection{Tâches d'inférence}
+
+\begin{itemize}
+\item Filtrage: $\mathbf{P}(X_t|e_{1:t})$
+\item Prédiction: $\mathbf{P}(X_{t+k}|e_{1:t})$
+\item Lissage:$\mathbf{P}(X_{k}|e_{1:t}), 0 \leq l < t$
+\item Explication la plus probable: $\argmax_{x_{1:t}}P(x_{1:t}|e_{1:t})$
+\end{itemize}
+
+\paragraph{Filtrage}
+
+Probabilité sachant une nouvelle évidence
+
+\begin{align}
+  P(X_{t+1}|e_{1:t+1})&=P(X_{t+1}|e_{1:t}e_{t+1})\\
+                      &=\alpha P(e_{t+1}|X_{t+1},e_{1:t})P(X_{t+1}|e_{1:t})\\
+                      &=\alpha P(e_{t+1}|X_{t+1})P(X_{t+1}|e_{1:t})\\
+                      &=\alpha P(e_{t+1}|X_{t+1})\sum_{x_t}P(X_{t+1}|x_t,e_{1:t})P(x_t|e_{1:t})\\
+                      &=\alpha P(e_{t+1}|X_{t+1})\sum_{x_t}P(X_{t+1}|x_t)P(x_t|e_{1:t})\\
+                      &=\alpha \textsc{Forward}(f_{1:t},e_{t+1})\\
+                      &=f_{1:t+1}
+\end{align}
+
+\paragraph{Prédiction}
+
+Filtrage sans ajout de nouvelle information
+
+\begin{align}
+  P(X_{t+k+1}|e_{1:t})&=\sum_{x_{t+k}}P(X_{t+k+1}|x_{t+k})P(x_{t+k}e_{1:t})
+\end{align}
+
+\paragraph{Lissage}
+
+Probabilité d'un certain état dans le passé
+
+\begin{align}
+  P(X_k|e_{1:t}) &= P(X_k|e_{1:k},e_{k+1:t})\\
+                 &= \alpha P(X_k|e_{1:k})P(e_{k+1:t}|X_k,e_{1:k})\\
+                 &= \alpha P(X_k|e_{1:k})P(e_{k+1:t}|X_k)\\
+                 &= \alpha f_{1:k}b_{k+1:t}
+\end{align}
+
+La seconde probabilité est obtenue par un appel récursif
+
+\begin{align}
+  P(e_{k+1:t}|X_k)&=\sum_{x_{k+1}}P(e_{k+1}|x_{k+1})P(e_{k+2:t}|X_{k+1})P(x_{k+1}|X_k)\\
+                  &=\textsc{Backward}(b_{k+1:t},e_{k+1})
+\end{align}
+
+\paragraph{Explication la plus probable}
+
+Trouver la suite d'évènements la plus probable selon les observations.
+
+$m_{1:t}(i)$ est la probabilité du chemin le plus probable jusqu'à l'état $i$.
+\begin{align}
+  m_{1:t}=\max_{x_1,\ldots,x_{t-1}}P(x_1,\ldots,x_{t-1},X_t|e_{1:t})\\
+  m_{1:t+1}=P(e_{t+1}|X_{t+1})\max_{x_t}(P(X_{t+1}|x_t)m_{1:t})
+\end{align}
+
+
+\subsection{Modèles de Markov cachés}
+\label{sec:ch15hiddenmarkov}
+
+Représentation des probabilités sous la forme de matrice de transition.
+
+
+
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "notes_de_cours"
+%%% End: