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 \section{Chapitre 6: Problèmes de satisfaction de contraintes}
 \label{sec:ch6}
 
+\subsection{Définitions}
+\label{sec:ch6def}
 
+\begin{mydef}
+  Un problème de \textbf{satisfaction de contraintes} est défini par un ensemble de variables $X_1, \ldots, X_n$ et un ensemble de contraintes $C_1, \ldots, C_m$. Chaque variable possède un domaine.  
+\end{mydef}
+
+\begin{mydef}
+  Un \textbf{état} est une affectation de variable pour un sous-ensemble ou l'ensemble des variables.
+\end{mydef}
+
+\begin{mydef}
+  Une \textbf{affectation consistante} respecte toutes les contraintes
+\end{mydef}
+
+\begin{mydef}
+  Une \textbf{affectation complète} associe une valeur à toutes les variables
+\end{mydef}
+
+\begin{mydef}
+  Une \textbf{solution} est une affectation complète et consistante
+\end{mydef}
+
+\paragraph{Exemple: coloration de cartes}
+
+Dans ce cas, les contraintes sont présentées sous la forme d'inégalités entre les variables représentant la couleur de régions adjacentes de l'image.
+
+\subsection{Types de CSP}
+\label{sec:ch6types}
+
+\begin{itemize}
+\item Variables discrètes:
+  \begin{itemize}
+  \item Domaines finis ($n$ variables, Taille maximale $d$ du domaine, $O(d^n)$ affectations complètes possibles). Ex: Cryptarithmétique
+  \item Domaines infinis (Demande un langage de contraintes)
+  \end{itemize}
+\item Variables continues (programmation linéaire, $O(n^{\alpha}), \alpha>1$)
+\end{itemize}
+
+\subsection{Types de contraintes}
+\label{sec:ch6typescontraintes}
+
+\begin{itemize}
+\item Unaire: une seule variable
+\item Binaire: deux variables. Un CSP avec seulement des contraintes binaires peut être représenté sous forme de graphe.
+\item Ordre supérieur: plus de deux variables
+\item Préférence (un coût est associé à chaque affectation)
+\end{itemize}
+
+\subsection{Recherche}
+\label{sec:ch6recherche}
+
+Formulation de la recherche standard:
+\begin{itemize}
+\item États: valeurs assignées jusqu'à maintenant
+\item État initial: $\emptyset$
+\item Fonction de successeurs: affecter une valeur à une variable non affectée sans créer de conflit
+\item Test de but: Affectation complète. Apparait à la profondeur $n$.
+\end{itemize}
+
+Propriétés:
+\begin{itemize}
+\item Assignation des variables est commutative
+\item Une seule assignation par noeud
+\item Algorithme de profondeur d'abord ou algorithme itératif. Exploration avec retours arrières, lorsqu'il n'y a plus d'affectations possibles.
+\end{itemize}
+
+Améliorations à la recherche
+\begin{itemize}
+\item Ordre des variables:
+  \begin{itemize}
+  \item Nombre minimum de valeurs restantes (Minimum Remaining Values)
+  \item Degré: Variable présente dans le plus de contraintes. Réduit le facteur de branchement $b$.
+  \item Valeurs les moins contraignantes. Enlève le moins de choix pour les variables possibles.
+  \end{itemize}
+\item Vérification avant. Pour une assignation à $X$, enlever les valeurs du domaine de $Y$ reliée à $X$ non cohérentes. Ne détecte pas tous les problèmes
+\item Cohérence des arcs: un arc entre $X$ et $Y$ est cohérent si pour toutes les valeurs de $X$, il y a une valeur possible de $Y$. Peut être exécuté comme prétraitement ou après chaque assignation.
+\end{itemize}
+
+\paragraph{Algorithme de cohérence des arcs AC-3}
+
+\begin{function}
+  
+\end{function}
+
+\subsection{Contraintes spécifiques}
+\label{sec:ch6specifiques}
+
+Certains types de contraintes ont des algorithmes spécifiques.
+
+\paragraph{AllDifferent}
+
+\begin{itemize}
+\item Enlever les valeurs avec une seule valeur dans leur domaine et enlever cette valeur des autres domaines.
+\item Continuer tant qu'il y a des domaines avec une seule valeur
+\item Si un domaine vide est produit, alors une incohérence est détectée
+\end{itemize}
+
+\subsection{Recherche locale}
+\label{sec:ch6rechlocale}
+
+\begin{itemize}
+\item On assigne une valeur à chacune des variables.
+\item La fonction successeur change la valeur d'une variable à la fois
+\item Heuristiques:
+  \begin{itemize}
+  \item Minimum de conflits: choisir la valeur qui donne le moins de conflits. Ex: Problème des 8 reines
+  \end{itemize}
+\end{itemize}
+
+\subsection{Structure des problèmes}
+\label{sec:ch6structure}
+
+\begin{itemize}
+\item La structure du graphe des contraintes permet d'identifier des sous-problèmes
+  \begin{itemize}
+  \item Les composantes connexes sont des sous-problèmes indépendants ($O(\frac{nd^c}{c})=O(n)$)
+  \item Absence de cycles: tri topologique, Noeud comme racine, les parents précèdent toujours. Appliquer la cohérence des arcs de $j=n,\ldots,2$ et affecter $X_j$ de $1,\ldots,n$. ($O(nd^2)$)
+  \item Proche d'un arbre: on fixe certaines valeurs pour obtenir un arbre.
+  \item Décomposition en un arbre de sous-problèmes: chaque variable et chaque contrainte est dans un sous-problème. Une variable apparait sur tous les chemins entre deux sous-problèmes. ($O(nd^y)$ où $y$ est la grandeur du plus grand sous-problème)
+  \end{itemize}
+
+\end{itemize}
 
 %%% Local Variables:
 %%% mode: latex