ajout chapitre 3 et début chapitre 4

chapitre2.tex

@@ -165,3 +165,7 @@ Les diférentes composantes de l'agent apprenant sont:
 \item Générateur de problèmes: Identifie les possibilités d'amélioration et suggère des expérimentations
 \end{itemize}
 
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "notes_de_cours"
+%%% End:

chapitre3a.tex

@@ -0,0 +1,243 @@
+\section{Chapitre 3: Recherche non informée}
+\label{sec:ch3}
+
+\subsection{Agent de résolution de problèmes}
+\label{sec:ch3agentresolution}
+
+\begin{enumerate}
+\item But: Ensemble d'états à atteindre
+\item Problème: États et actions à considérer
+\item Recherche: Indentifier la meilleure séquence d'actions menant à un état but
+\item Exécution: Accomplir la séquence d'actions
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Formulation du problème}
+
+\begin{itemize}
+\item État initial $x$
+\item Actions: une fonction $S(x)$ permet de trouver l'ensemble des états successeurs sous forme de paires
+\item Test de but: Déterminer si le but est atteint
+\item Coût du chemin: Fonction qui assigne un coût à un chemin. C'est la mesure de la performance de l'agent.
+\end{itemize}
+
+\begin{mydef}
+  Une abstraction est \textbf{valide} si l'on peut développer toutes les solutions abstraites vers une solution dans le monde réel.
+\end{mydef}
+
+\paragraph{Exemple}
+
+Le problème du 8-puzzle
+
+\PuzzleSolution
+\begin{Puzzle}{3}{3}
+  |5|7|3|.
+  |8|{}|1|.
+  |4|2|6|.
+\end{Puzzle}
+
+\begin{itemize}
+\item États: Position des 8 tuiles dans les cases
+\item Actions: Déplacement du trou
+  \begin{enumerate}
+  \item Droite
+  \item Gauche
+  \item Haut
+  \item Bas
+  \end{enumerate}
+\item Test de but: Vérifie si l'état correspond à l'état final
+  \PuzzleSolution
+  \begin{Puzzle}{3}{3}
+    |1|2|3|.
+    |4|5|6|.
+    |7|8|{}|.
+  \end{Puzzle}
+\item Coût du chemin: chaque action coûte 1.
+\end{itemize}
+
+\subsection{Recherche dans un arbre}
+\label{sec:ch3recherchearbre}
+
+Objectif: Simuler l'exploration d'états en générant des successeurs pour les états déjà explorés. Pour chaque noeud de recherche, on définit les éléments suivants:
+\begin{itemize}
+\item État: dans l'espace d'état
+\item Noeud parent: Noeud de l'arbrbe de recherche qui a généré ce noeud
+\item Action: appliquée au noeud parent pour atteindre générer l'état de ce noeud
+\item Coût du chemin $g(n)$: Depuis l'état initial jusqu'à ce noeud
+\item Profondeur: Nombre d'actions(étapes) dans le chemin depuis l'état initial
+\end{itemize}
+
+\paragraph{Algorithme de recherche général}
+
+
+\begin{algorithm}[h!]
+  \Deb{
+    \Entree{$P$:Problème($n_0$: État initial,$A$: Actions,$B$: États buts),$S$: Stratégie}
+    \Sortie{$C(n)$: Chemin vers un état but}
+    \Donnees{$\mathbf{E}$: Ensemble d'expansion}
+    \Repeter{$\mathbf{E}=\emptyset$}{
+      $n \leftarrow S(P,\mathbf{E})$
+      \Si{$n \in B(P)$}{\Retour{$C(n)$}}
+      \Sinon{
+        \Pour{$a \in A(n)$}{
+          $\mathbf{E} \leftarrow \mathbf{E} \cup \text{Noeud-Enfant}(P,\text{Parent}(n),a)$
+        }
+      }
+    }
+    \Retour{$\emptyset$}
+  }
+  \caption{Algorithme de recherche général en arbre}
+\end{algorithm}
+
+Pour chercher dans un graphe, on conserve une liste des noeuds visités (la frontière ou liste fermée)
+Avant de développer un noeud, on vérifie qu'il n'est pas dans la liste fermée. Une fois développé, on l'ajoute à la liste fermée.
+
+\subsection{Évaluation des stratégies}
+\label{sec:ch3strategie}
+
+\begin{itemize}
+\item Complétude: Trouve solution si $\exists$
+\item Optimalité: solution trouvée est optimale?
+\item Complexité de temps: Temps nécessaire pour trouver une solution, nombre de noeuds générés
+\item Complexité d'espace: Quantité de mémoire nécessaire, nombre de noeuds maximum en mémoire
+\end{itemize}
+
+Quantités utilisées
+\begin{itemize}
+\item $b$: Facteur de branchement, nombre maximum de successeurs d'un noeud (pire cas)
+\item $d$: Profondeur du noeud but le moins profond (meilleur cas)
+\item $m$: Longueur maximale d'un chemin dans l'espace d'états (pire cas)
+\end{itemize}
+
+\subsection{Largeur d'abord}
+\label{sec:ch3largeur}
+\begin{itemize}
+\item Noeuds de profondeur $i$ avant profondeur $i+1$
+\item Le but est évalué après l'expansion
+\item Nouveaux successeurs à la fin de la file
+\end{itemize}
+
+\begin{table}[h]
+  \centering
+\begin{tabular}{p{4cm}|p{3cm}|p{4cm}}
+  Propriété&Valeur&Conditions\\
+  \hline
+  Complétude&Oui&Si $b$ est fini\\
+  Complexité en temps &$\sum_{i=0}^{d}b^i = O(b^d)$&\\
+  Complexité en espace&$O(b^d)$&\\
+  Optimalité&Non&Oui, si le coût des actions est constant\\
+\end{tabular}
+\caption{Largeur d'abord: propriétés}
+\end{table}
+
+\subsection{Coût uniforme}
+\label{sec:ch3uniformcost}
+
+\begin{itemize}
+\item Noeud avec la fonction de coût la moins élevée en premier.
+\item Le but est évalué avant l'expansion
+\item Nouveaux successeurs dans une file triée
+\end{itemize}
+
+\begin{table}[h]
+  \centering
+\begin{tabular}{p{4cm}|p{3cm}|p{4cm}}
+  Propriété&Valeur&Conditions\\
+  \hline
+  Complétude&Oui& Si $g(n) \geq \epsilon < 0$\\
+  Complexité en temps &$O(b^{\ceil{C^{\star}/{\epsilon}}})$&\\
+  Complexité en espace&$O(b^{\ceil{C^{\star}/{\epsilon}}})$&\\
+  Optimalité&Oui&Les noeuds sont développés en ordre de $g(n)$\\
+\end{tabular}
+\caption{Coût uniforme: propriétés}
+\end{table}
+
+\subsection{Profondeur d'abord}
+\label{sec:ch3profondeur}
+
+\begin{itemize}
+\item Noeud le plus profond d'abord
+\item Implémenté à l'aide d'une pile
+\end{itemize}
+
+\begin{table}[h]
+  \centering
+\begin{tabular}{p{4cm}|p{3cm}|p{4cm}}
+  Propriété&Valeur&Conditions\\
+  \hline
+  Complétude&Non& Si profondeur infinie ou cycles, Oui, si on évite les états répétés et que l'espace de recherche est fini\\
+  Complexité en temps &$O(b^{m})$&Mauvais si $m>d$. $m < \infty$\\
+  Complexité en espace&$O(bm)$&\\
+  Optimalité&Non&\\
+\end{tabular}
+\caption{Profondeur d'abord: propriétés}
+\end{table}
+
+\subsection{Profondeur limitée}
+\label{sec:ch3profondeurlimite}
+
+\begin{itemize}
+\item Noeud le plus profond d'abord
+\item Implémenté à l'aide d'une pile
+\end{itemize}
+
+\begin{table}[h]
+  \centering
+\begin{tabular}{p{4cm}|p{3cm}|p{4cm}}
+  Propriété&Valeur&Conditions\\
+  \hline
+  Complétude&Oui& Si $l \geq d$\\
+  Complexité en temps &$O(b^{l})$&\\
+  Complexité en espace&$O(bl)$&\\
+  Optimalité&Non&\\
+\end{tabular}
+\caption{Profondeur limitée: propriétés}
+\end{table}
+
+\subsection{Profondeur itérative}
+\label{sec:ch3profondeuriter}
+
+\begin{itemize}
+\item Profondeur limitée, en itérant sur la profondeur
+\item Avantage de la largeur d'abord (complet et optimal), complexité en espace linéaire de profondeur d'abord
+\end{itemize}
+
+\begin{table}[h]
+  \centering
+\begin{tabular}{p{4cm}|p{3cm}|p{4cm}}
+  Propriété&Valeur&Conditions\\
+  \hline
+  Complétude&Oui&\\
+  Complexité en temps &$O(b^{d})$&\\
+  Complexité en espace&$O(bd)$&\\
+  Optimalité&Oui&Si le coût de chaque action est 1. Peut être modifié pour le coût uniforme\\
+\end{tabular}
+\caption{Profondeur itérative: propriétés}
+\end{table}
+
+\subsection{Recherche bidirectionnelle}
+\label{sec:ch3bidirectionnelle}
+
+\begin{itemize}
+\item Recherche simultanée depuis le départ et le but
+\item Applicable seulement si on peut rechercher depuis le but
+\end{itemize}
+
+\begin{table}[h]
+  \centering
+\begin{tabular}{p{4cm}|p{3cm}|p{4cm}}
+  Propriété&Valeur&Conditions\\
+  \hline
+  Complétude&Oui&\\
+  Complexité en temps &$O(b^{d/2})$&\\
+  Complexité en espace&$O(b^{d/2})$&\\
+  Optimalité&Oui&\\
+\end{tabular}
+\caption{Recherche bidirectionnelle: propriétés}
+\end{table}
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "notes_de_cours"
+%%% End:
+

chapitre3b.tex

@@ -0,0 +1,211 @@
+\section{Chapitre 3: Recherche informée}
+\label{sec:ch3}
+
+Les algorithmes de recherche informée utilisent une heuristique pour choisir les meilleurs noeuds à visiter.
+
+\subsection{Meilleur d'abord}
+\label{sec:ch3meilleur}
+
+\begin{itemize}
+\item Implémenté par une file triée par une fonction d'évaluation $f(n)$
+\item Fonction heuristique $h(n)$ qui estime le coût du chemin le plus court pour atteindre un état but $g$. $h(n) \geq 0$ et $h(G)=0 \forall g \in G$.
+\end{itemize}
+
+\subsection{Meilleur d’abord gloutonne}
+\label{sec:ch3meilleurgloutonne}
+
+\begin{itemize}
+\item $f(n)=h(n)$
+\end{itemize}
+
+Exemples d'heuristique:
+
+\begin{itemize}
+\item mesure de distance euclidienne,
+\item distance de Manhattan.
+\end{itemize}
+
+\begin{table}[h]
+  \centering
+\begin{tabular}{p{4cm}|p{3cm}|p{4cm}}
+  Propriété&Valeur&Conditions\\
+  \hline
+  Complétude&Non&Possibilité de cycles. Oui, dans la version pour graphes\\
+  Complexité en temps &$O(b^m)$&Dans le pire cas\\
+  Complexité en espace&$O(b^m)$&\\
+  Optimalité&Non&Arrête à la première solution trouvée\\
+\end{tabular}
+\caption{Meilleur d’abord gloutonne: propriétés}
+\end{table}
+
+\subsection{$A^{\star}$}
+\label{sec:ch3astar}
+
+\begin{itemize}
+\item Identique à l'algorithme de la recherche avec coût uniforme, sauf pour la fonction $f(n)$
+\item $f(n)=g(n)+h(n)$
+\item $g(n)$: Coût du noeud de départ au noeud $n$.
+\item $h(n)$: Coût estimé du noeud $n$ au but.
+\item $f(n)$: Coût total estimé du noeud de départ au but en passant par $n$.
+\end{itemize}
+
+\begin{mydef}
+  \textbf{Heuristique admissible}: $h(n) \leq h^{\star}(n)$ où $h^{\star}(n)$ est le véritable coût de $n$ au but.
+\end{mydef}
+
+\begin{table}[h]
+  \centering
+\begin{tabular}{p{4cm}|p{3cm}|p{4cm}}
+  Propriété&Valeur&Conditions\\
+  \hline
+  Complétude&Oui&\\
+  Complexité en temps &$O((b^{\epsilon})^d)$&\\
+  Complexité en espace&$O((b^{\epsilon})^d)$&\\
+  Optimalité&Oui&Avec heuristique admissible et consistante pour les graphes\\
+\end{tabular}
+\caption{$A^{\star}$: propriétés}
+\end{table}
+
+\begin{mydef}
+  Consistance de $h(n)$: Soit le noeud $n$ et le successeur $n^{\prime}$ produit par l'action $a$, alors $h(n) \leq c(n,a,n^{\prime})+h(n^{\prime})$
+\end{mydef}
+
+\subsection{Preuves d'optimalité pour $a^{\star}$}
+\label{sec:ch3optimastar}
+
+\paragraph{Version pour arbres}
+
+On a la frontière suivante:
+
+\fbox{
+  \begin{minipage}{0.25\linewidth}
+    $B$,$n$,$\ldots$
+  \end{minipage}
+}
+
+\begin{itemize}
+\item h est une heuristique admissible
+\item G est un but optimal
+\item B est un but sous-optimal
+\end{itemize}
+
+\begin{align}
+  \label{eq:astaroptimarbres}
+  f(n) &= g(n) + h(n)&&\\
+       &\leq g(n) + c(n,G) &&\text{, par l'hypothèse d'admissibilité}\\
+       &= g(G)&&\\
+       &< g(B)+h(B) &&\text{, car B est sous-optimal}\\
+       &= g(B)+0&&\\
+       &= f(B)&&\\
+           \implies f(n) &< f(B) &&\text{, n sera développé avant B}
+\end{align}
+
+G sera éventuellement dans la frontière, on aura alors
+
+\fbox{
+  \begin{minipage}{0.25\linewidth}
+    $B$,$G$,$\ldots$
+  \end{minipage}
+}
+
+\paragraph{Version pour graphes}
+
+On a la frontière suivante:
+
+\fbox{
+  \begin{minipage}{0.25\linewidth}
+    $A$,$X_1$,$X_k$,$\ldots$
+  \end{minipage}
+}
+
+\begin{align}
+  \label{eq:astaroptimarbres}
+  h(n) &\leq c(n,a,n^{\prime}) + h(n^{\prime})&&\text{, Inégalité triangulaire}\\
+  g(n) + h(n) &\leq g(n) + \leq c(n,a,n^{\prime}) + h(n^{\prime})&&\\
+  f(n) &\leq f(n^{\prime}) &&\text{, La fonction d'évaluation ne décroit pas le long d'un chemin}\\
+  f(A) &\leq f(x_i) &&\forall i\\
+  f(A^{\prime}) &\geq f(x_i) \geq f(A) = g(A) + h(A)&&\\
+  g(A^{\prime})+h(A^{\prime})&\geq f(x_i) \geq g(A) + h(A)&&\\
+  g(A^{\prime})&\geq g(A) + h(A)-h(A^{\prime})&&\\
+  g(A^{\prime})&\geq g(A)
+\end{align}
+
+\subsection{Recheche à mémoire limitée}
+\label{sec:ch3memoirelimitee}
+
+\paragraph{$IDA^{\star}$}
+
+\begin{itemize}
+\item Profondeur itérative, la limite est une valeur de la fonction d'évaluation.
+\item Limite $L_i = min(f(n))$ pour $n$ où $f(n)>L_{i-1}$.
+\item Avantage: beaucoup moins de mémoire
+\end{itemize}
+
+\paragraph{$SMA^{\star}$}
+
+\begin{itemize}
+\item $A^{\star}$ avec une limite sur la mémoire. 
+\item Enlève les noeuds les plus mauvais, enregistre la valeur de la fonction d'évaluation au parent.
+\end{itemize}
+
+\begin{table}[h]
+  \centering
+\begin{tabular}{p{4cm}|p{3cm}|p{4cm}}
+  Propriété&Valeur&Conditions\\
+  \hline
+  Complétude&Oui&Si solution atteignable\\
+  Complexité en temps &Peut être très long&\\
+  Complexité en espace&Mémoire allouée&\\
+  Optimalité&Oui&Si solution optimale atteignable\\
+\end{tabular}
+\caption{$SMA^{\star}$: propriétés}
+\end{table}
+
+\subsection{Fonctions heuristiques}
+\label{sec:ch3fonctionsheuris}
+
+\paragraph{Facteur de branchement effectif}
+
+\begin{mydef}
+  Le facteur de branchement effectif $b^{\star}$ est la facteur de branchement d'un arbre uniforme de profondeur $d$ contenant $n+1$ noeuds.
+  \begin{equation}
+    \label{eq:facteurbranchement}
+    N+1 = \sum_{i=0}^{d}b^{\star}
+  \end{equation}
+\end{mydef}
+
+Plus $b^{\star} \rightarrow 1$, plus l'heuristique est efficace.
+
+\paragraph{Dominance}
+
+\begin{mydef}
+  Dominance de $h_2$ sur $h_1$:
+  \begin{equation}
+    \label{eq:dominanceheuristique}
+    h_2(n) \geq h_1(n) \forall n \implies  h_2 \succ h_1
+  \end{equation}
+\end{mydef}
+
+\paragraph{Inventer une heuristique}
+
+\begin{itemize}
+\item Relaxer le problème
+\item Le coût de la solution optimale doit être plus petit (admissibilité).
+\item Tenir compte aussi de la consistance.
+\end{itemize}
+
+\paragraph{Génération automatique}
+
+\begin{itemize}
+\item Heuristique composite: $h(n)=max(h_1(n),\ldots,h_m{n})$
+\item Bases de données de motifs: solutions pour des sous-problèmes
+\end{itemize}
+
+
+
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "notes_de_cours"
+%%% End:

chapitre4.tex

@@ -0,0 +1,22 @@
+\section{Chapitre 4: Au-delà de l’exploration classique}
+\label{sec:ch4}
+
+\subsection{Amélioration itérative}
+\label{sec:ch4amelioration}
+
+\begin{itemize}
+\item Espace de recherche: configuration complètes
+\item On part d'une configutation complète et on itère pour améliorer la qualité de la solution (optimalité ou satisfaction de contraintes)
+\item Exemple: problème des n reines
+\end{itemize}
+
+\subsection{Escalade}
+\label{sec:ch4escalade}
+
+
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "notes_de_cours"
+%%% End:

notes_de_cours.tex

@@ -41,6 +41,7 @@
     rightsub = \frqq%
 ]{dirtytalk}
 \newtheorem{definition}{Définition}
+\usepackage[unboxed]{cwpuzzle}
 \usepackage{array}
 \usepackage{mathtools,amssymb}
 \usepackage{float}
@@ -69,7 +70,10 @@
 \usepackage{cprotect}	% Pour pouvoir personaliser la légende des figures
 \usepackage[normalem]{ulem}
 \useunder{\uline}{\ul}{}
-%----------------------------------------------------------------
+\usepackage{enumitem}
+\setlist[itemize,1]{label={$\bullet$}}
+\setlist[itemize,2]{label={$\star$}}
+% ----------------------------------------------------------------
 
 %graph-colors------------------
 
@@ -91,6 +95,9 @@
 % Le package newclude mis en commentaire permet d'introduire une * pour éviter le saut de page entre les section
 \include{chapitre1}
 \include{chapitre2}
+\include{chapitre3a}
+\include{chapitre3b}
+\include{chapitre4}
 % Ajouter les autres chapitres au besoin
 
 \bibliography{bibliographie}