diff --git a/chapitre3a.tex b/chapitre3a.tex
index 2ad0395..cbc420e 100644
--- a/chapitre3a.tex
+++ b/chapitre3a.tex
@@ -75,11 +75,11 @@ Objectif: Simuler l'exploration d'états en générant des successeurs pour les
     \Sortie{$C(n)$: Chemin vers un état but}
     \Donnees{$\mathbf{E}$: Ensemble d'expansion}
     \Repeter{$\mathbf{E}=\emptyset$}{
-      $n \leftarrow S(P,\mathbf{E})$
+      $n \leftarrow S(P,\mathbf{E})$\;
       \Si{$n \in B(P)$}{\Retour{$C(n)$}}
       \Sinon{
         \Pour{$a \in A(n)$}{
-          $\mathbf{E} \leftarrow \mathbf{E} \cup \text{Noeud-Enfant}(P,\text{Parent}(n),a)$
+          $\mathbf{E} \leftarrow \mathbf{E} \cup \text{Noeud-Enfant}(P,\text{Parent}(n),a)$\;
         }
       }
     }
diff --git a/chapitre3b.tex b/chapitre3b.tex
index 5212860..9344af9 100644
--- a/chapitre3b.tex
+++ b/chapitre3b.tex
@@ -121,7 +121,7 @@ On a la frontière suivante:
 \begin{align}
   \label{eq:astaroptimgraph}
   h(n) &\leq c(n,a,n^{\prime}) + h(n^{\prime})&&\text{, Inégalité triangulaire}\\
-  g(n) + h(n) &\leq g(n) + \leq c(n,a,n^{\prime}) + h(n^{\prime})&&\\
+  g(n) + h(n) &\leq g(n) + c(n,a,n^{\prime}) + h(n^{\prime})&&\\
   f(n) &\leq f(n^{\prime}) &&\text{, La fonction d'évaluation ne décroit pas le long d'un chemin}\\
   f(A) &\leq f(x_i) &&\forall i\\
   f(A^{\prime}) &\geq f(x_i) \geq f(A) = g(A) + h(A)&&\\
diff --git a/chapitre5.tex b/chapitre5.tex
index e31634a..b577554 100644
--- a/chapitre5.tex
+++ b/chapitre5.tex
@@ -133,7 +133,7 @@ Couper dans un noeud
   Complexité en espace&$O(bm)$&\\
   Optimalité&Oui&Si solution optimale atteignable\\
 \end{tabular}
-\caption{$SMA^{\star}$: propriétés}
+\caption{Negamax: propriétés}
 \end{table}
 
 \subsection{Décision en temps réel}
diff --git a/makefile b/makefile
index 4e25c23..52d9b55 100644
--- a/makefile
+++ b/makefile
@@ -4,6 +4,7 @@ images-graphviz:
 	dot -Tpng agentrationnel.dot -o agentrationnel.png
 	dot -Tpng agentintelligent.dot -o agentintelligent.png
 	dot -Tpng environnementpropriete.dot -o environnementpropriete.png
+	dot -Tpng umbrella.dot -o umbrella.png
 
 notes_de_cours.pdf: notes_de_cours.bbl
 	pdflatex notes_de_cours.tex
diff --git a/notes_de_cours.tex b/notes_de_cours.tex
index a626b6a..467b945 100644
--- a/notes_de_cours.tex
+++ b/notes_de_cours.tex
@@ -39,7 +39,8 @@
     right = \frqq,% 
     leftsub = \flqq,% 
     rightsub = \frqq%
-]{dirtytalk}
+    ]{dirtytalk}
+\numberwithin{equation}{subsection}
 \newtheorem{definition}{Définition}
 \usepackage[unboxed]{cwpuzzle}
 \usepackage{array}
@@ -102,6 +103,7 @@
 \include{chapitre6}
 \include{chapitre13}
 \include{chapitre14}
+\include{chapitre15}
 % Ajouter les autres chapitres au besoin
 
 \bibliography{bibliographie}
diff --git a/umbrella.dot b/umbrella.dot
new file mode 100644
index 0000000..ae67212
--- /dev/null
+++ b/umbrella.dot
@@ -0,0 +1,13 @@
+digraph {
+    R0 [label="Rain(t-1)"]
+    R1 [label="Rain(t)"]
+    R2 [label="Rain(t+1)"]
+    U0 [label="Umbrella(t-1)"]
+    U1 [label="Umbrella(t)"]
+    U2 [label="Umbrella(t+1)"]
+
+    {rank=same;R0 -> R1 -> R2 [label="Modèle de transition"]}
+    R0 -> U0 [label="Modèle d'observation"]
+    R1 -> U1 [label="Modèle d'observation"]
+    R2 -> U2 [label="Modèle d'observation"]
+}