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5.7 KiB
TeX
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\section{Chapitre 3: Recherche informée}
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\label{sec:ch3b}
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Les algorithmes de recherche informée utilisent une heuristique pour choisir les meilleurs noeuds à visiter.
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\subsection{Meilleur d'abord}
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\label{sec:ch3meilleur}
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\begin{itemize}
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\item Implémenté par une file triée par une fonction d'évaluation $f(n)$
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\item Fonction heuristique $h(n)$ qui estime le coût du chemin le plus court pour atteindre un état but $g$. $h(n) \geq 0$ et $h(G)=0 \forall g \in G$.
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\end{itemize}
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\subsection{Meilleur d’abord gloutonne}
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\label{sec:ch3meilleurgloutonne}
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\begin{itemize}
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\item $f(n)=h(n)$
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\end{itemize}
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Exemples d'heuristique:
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\begin{itemize}
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\item mesure de distance euclidienne,
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\item distance de Manhattan.
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\end{itemize}
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\begin{table}[ht]
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\centering
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\begin{tabular}{p{4cm}|p{3cm}|p{4cm}}
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Propriété&Valeur&Conditions\\
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\hline
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Complétude&Non&Possibilité de cycles. Oui, dans la version pour graphes\\
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Complexité en temps &$O(b^m)$&Dans le pire cas\\
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Complexité en espace&$O(b^m)$&\\
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Optimalité&Non&Arrête à la première solution trouvée\\
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\end{tabular}
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\caption{Meilleur d’abord gloutonne: propriétés}
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\end{table}
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\subsection{$A^{\star}$}
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\label{sec:ch3astar}
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\begin{itemize}
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\item Identique à l'algorithme de la recherche avec coût uniforme, sauf pour la fonction $f(n)$
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\item $f(n)=g(n)+h(n)$
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\item $g(n)$: Coût du noeud de départ au noeud $n$.
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\item $h(n)$: Coût estimé du noeud $n$ au but.
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\item $f(n)$: Coût total estimé du noeud de départ au but en passant par $n$.
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\end{itemize}
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\begin{mydef}
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\textbf{Heuristique admissible}: $h(n) \leq h^{\star}(n)$ où $h^{\star}(n)$ est le véritable coût de $n$ au but.
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\end{mydef}
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\begin{table}[ht]
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\centering
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\begin{tabular}{p{4cm}|p{3cm}|p{4cm}}
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Propriété&Valeur&Conditions\\
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\hline
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Complétude&Oui&\\
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Complexité en temps &$O((b^{\epsilon})^d)$&\\
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Complexité en espace&$O((b^{\epsilon})^d)$&\\
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Optimalité&Oui&Avec heuristique admissible et consistante pour les graphes\\
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\end{tabular}
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\caption{$A^{\star}$: propriétés}
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\end{table}
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\begin{mydef}
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Consistance de $h(n)$: Soit le noeud $n$ et le successeur $n^{\prime}$ produit par l'action $a$, alors $h(n) \leq c(n,a,n^{\prime})+h(n^{\prime})$
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\end{mydef}
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\subsection{Preuves d'optimalité pour $a^{\star}$}
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\label{sec:ch3optimastar}
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\paragraph{Version pour arbres}
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On a la frontière suivante:
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\fbox{
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\begin{minipage}{0.25\linewidth}
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$B$,$n$,$\ldots$
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\end{minipage}
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}
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\begin{itemize}
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\item h est une heuristique admissible
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\item G est un but optimal
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\item B est un but sous-optimal
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\end{itemize}
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\begin{align}
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\label{eq:astaroptimarbres}
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f(n) &= g(n) + h(n)&&\\
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&\leq g(n) + c(n,G) &&\text{, par l'hypothèse d'admissibilité}\\
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&= g(G)&&\\
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&< g(B)+h(B) &&\text{, car B est sous-optimal}\\
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&= g(B)+0&&\\
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&= f(B)&&\\
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\implies f(n) &< f(B) &&\text{, n sera développé avant B}
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\end{align}
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G sera éventuellement dans la frontière, on aura alors
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\fbox{
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\begin{minipage}{0.25\linewidth}
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$B$,$G$,$\ldots$
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\end{minipage}
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}
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\paragraph{Version pour graphes}
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On a la frontière suivante:
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\fbox{
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\begin{minipage}{0.25\linewidth}
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$A$,$X_1$,$X_k$,$\ldots$
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\end{minipage}
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}
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\begin{align}
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\label{eq:astaroptimgraph}
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h(n) &\leq c(n,a,n^{\prime}) + h(n^{\prime})&&\text{, Inégalité triangulaire}\\
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g(n) + h(n) &\leq g(n) + \leq c(n,a,n^{\prime}) + h(n^{\prime})&&\\
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f(n) &\leq f(n^{\prime}) &&\text{, La fonction d'évaluation ne décroit pas le long d'un chemin}\\
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f(A) &\leq f(x_i) &&\forall i\\
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f(A^{\prime}) &\geq f(x_i) \geq f(A) = g(A) + h(A)&&\\
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g(A^{\prime})+h(A^{\prime})&\geq f(x_i) \geq g(A) + h(A)&&\\
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g(A^{\prime})&\geq g(A) + h(A)-h(A^{\prime})&&\\
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g(A^{\prime})&\geq g(A)
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\end{align}
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\subsection{Recheche à mémoire limitée}
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\label{sec:ch3memoirelimitee}
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\paragraph{$IDA^{\star}$}
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\begin{itemize}
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\item Profondeur itérative, la limite est une valeur de la fonction d'évaluation.
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\item Limite $L_i = min(f(n))$ pour $n$ où $f(n)>L_{i-1}$.
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\item Avantage: beaucoup moins de mémoire
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\end{itemize}
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\paragraph{$SMA^{\star}$}
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\begin{itemize}
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\item $A^{\star}$ avec une limite sur la mémoire.
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\item Enlève les noeuds les plus mauvais, enregistre la valeur de la fonction d'évaluation au parent.
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\end{itemize}
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\begin{table}[ht]
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\centering
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\begin{tabular}{p{4cm}|p{3cm}|p{4cm}}
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Propriété&Valeur&Conditions\\
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\hline
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Complétude&Oui&Si solution atteignable\\
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Complexité en temps &Peut être très long&\\
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Complexité en espace&Mémoire allouée&\\
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Optimalité&Oui&Si solution optimale atteignable\\
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\end{tabular}
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\caption{$SMA^{\star}$: propriétés}
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\end{table}
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\subsection{Fonctions heuristiques}
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\label{sec:ch3fonctionsheuris}
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\paragraph{Facteur de branchement effectif}
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\begin{mydef}
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Le facteur de branchement effectif $b^{\star}$ est la facteur de branchement d'un arbre uniforme de profondeur $d$ contenant $n+1$ noeuds.
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\begin{equation}
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\label{eq:facteurbranchement}
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N+1 = \sum_{i=0}^{d}b^{\star}
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\end{equation}
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\end{mydef}
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Plus $b^{\star} \rightarrow 1$, plus l'heuristique est efficace.
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\paragraph{Dominance}
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\begin{mydef}
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Dominance de $h_2$ sur $h_1$:
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\begin{equation}
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\label{eq:dominanceheuristique}
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h_2(n) \geq h_1(n) \forall n \implies h_2 \succ h_1
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\end{equation}
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\end{mydef}
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\paragraph{Inventer une heuristique}
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\begin{itemize}
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\item Relaxer le problème
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\item Le coût de la solution optimale doit être plus petit (admissibilité).
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\item Tenir compte aussi de la consistance.
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\end{itemize}
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\paragraph{Génération automatique}
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\begin{itemize}
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\item Heuristique composite: $h(n)=max(h_1(n),\ldots,h_m{n})$
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\item Bases de données de motifs: solutions pour des sous-problèmes
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\end{itemize}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "notes_de_cours"
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