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@@ -302,14 +302,112 @@ L'objectif d'un modèle de langue est classifier un texte selon son vocabulaire
 
 ## Définition
 
-- **$N$-gramme** : Séquence de $N$ mots
-- Les plus fréquents sont les bigrammes (2) et trigrammes(3)
-- On évalue la probabilité d'une séquence de longueur $N$ à partir de la probabilité de la séquence de longueur $N-1$.
+- **$N$-gramme**: Séquence de $N$ mots
+  - Les plus fréquents sont les bigrammes (2) et trigrammes(3)
+- **Corpus**:  Ensemble de documents représentatif de notre application ou du sujet d'intérêt
+
+## Applications
+
+La prédiction du mot suivant est utilisée dans plusieurs domaines
+
+- Reconnaissance vocale
+- Correction d'orthographe
+- Traduction automatique
+
+Classification de textes, désambiguation
 
 ## Modèles
 
+Approches:
+
+- Estimer les probabilités à partir des fréquences relatives des mots
+- Compter les sous-séquences dans un corpus
+
+Décompte des mots:
+
+- On utilise seulement les formes de mots (les mots tel quels)
+
+Calcul:
+
+- On évalue la probabilité d'une séquence de longueur $N$ à partir de la probabilité de la séquence de longueur $N-1$.
+  - Ex: $P(w_4|w_1,w_2,w_3)$
+- On évalue la probabilité d'une séquence entière
+  - $P(W) = P(w_1,w_2,w_3,w_4)$
+
+Règle de Bayes:
+
+$$
+\begin{aligned}
+P(B|A) &= \frac{P(A,B)}{P(A)} 
+&= \frac{P(B)P(A|B)}{P(A)} 
+\end{aligned}
+$$
+
+Exemple:
+
+$$
+\begin{aligned}
+&P(\texttt{nous} | \texttt{les minions sont de retour et}) \\
+&=\frac{P(\texttt{les minions sont de retour et nous})}{P(\texttt{les minions sont de retour et})}
+\end{aligned}
+$$
+
+## Chainage de probabilités
+
+- Selon Google, les comptes de ces séquences sont de 0. 
+- Solution: Règle de chaînage de probabilité 
+  - Assumer une forme d'indépendance entre les mots.
+  - $P(ABC) = P(A) P(B|A) P(C|AB)$
+- Forme générale:
+
+$$
+\begin{aligned}
+P(w_i^n) &= P(w_1)P(w_2|w_1)P(w_3|w_1^2) \ldots P(w_n|w_1^{n-1}) \\
+&= \prod_{k=1}^{n} P(w_k|w_1^{k-1})
+\end{aligned}
+$$
+
+- Exemple:
+
+$$
+\begin{aligned}
+P(\texttt{les minions sont de retour}) &= \\
+P(\texttt{les}) \times \\
+P(\texttt{minions}|\texttt{les}) \times \\
+P(\texttt{sont}|\texttt{les minions}) \times \\
+P(\texttt{de}|\texttt{les minions sont}) \times \\
+P(\texttt{retour}|\texttt{les minions sont de}) \times \\
+\end{aligned}
+$$
+
+Encore une fois, il y a trop de phrases possibles pour pouvoir calculer les statistiques de longs historiques. On pose une autre hypothèse d'indépendance, l'hypothèse de Markov.
+
+$$
+\begin{aligned}
+P(\texttt{retour}|\texttt{les minions sont de}) 
+&\sim P(\texttt{retour}|\texttt{de})
+&\sim P(\texttt{retour}|\texttt{sont de})
+\end{aligned}
+$$
+
+**Hypothèse de Markov**: Les mots sont indépendants du début de l'historique, et seulement des $N$ mots précédents.
+
+$$
+P(w_n|w_1{n-1}) \sim P(w_n|w_{n-N+1}^{n-1})
+$$
+
 ## Estimation des probabilités
 
+Estimateur du maximum de vraisemblance pour les bigrammes
+
+$$
+\begin{aligned}
+P(w_i|w_{i-1}) &= \frac{\texttt{count}(w_{i-1},w_i)}{\texttt{count}(w_{i-1})} \\
+&= \frac{C(w_{i-1},w_i)}{C(w_{i-1})} \\
+&= \frac{C(w_{n-1}w_n)}{\sum_{w \in V}C(w_{n-1}w)}
+\end{aligned}
+$$
+
 ## Lissage
 
 # Correction d'orthographe