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@@ -10,7 +10,7 @@
 \subsubsection{Horaire de travail et demande}
 \label{sec:horairedemande}
 
-Nous considérons un horaire de travail d'une durée de $J$ jours. Chaque journée est composée de $P$ périodes de travail, d'une durée de $\frac{24}{P}$ heures chacunes. La demande de travail pour la période $p$ de la journée $j$ est définie par $d_{p,j}$. La demande totale pour la durée de l'horaire de travail est définie par l'équation \eqref{eq:dtot}.
+Nous considérons une planification d'horaires de travail d'une durée de $J$ jours. Chaque journée est composée de $P$ périodes de travail, d'une durée de $\frac{24}{P}$ heures chacunes. La demande de travail pour la période $p$ de la journée $j$ est définie par $d_{p,j}$. La demande totale pour la durée de l'horaire de travail est définie par l'équation \eqref{eq:dtot}.
 
 \begin{align}
   \label{eq:dtot}
@@ -39,7 +39,7 @@ Les employés ont respectivement un salaire horaire de $S^{A}$ et encourent un f
 \subsection{Variables}
 \label{sec:variables}
 
-On représente les horaires de travail par deux tableaux de variables booliennes $X^{FT}$ et $X^{PT}$ \eqref{tableauxvariables}. 
+On représente les horaires de travail par deux tableaux de variables booliennes $\mathbf{X}^{FT}$ et $\mathbf{X}^{PT}$ \eqref{tableauxvariables}. 
 
 \begin{align}
   \label{tableauxvariables}
@@ -58,7 +58,7 @@ Afin de réduire la taille du problème, la liste des horaires quotidiens valide
 \subsubsection{Variables}
 \label{sec:horairesvariables}
 
-On définit $H^{A} \in \mathcal{N}^{J}$, un vecteur de variables booléennes $h_{j}$ formant un horaire d'une durée de $J$ journées pour un employé de type $A \in \lbrace FT, PT \rbrace$.
+On définit $\vec{H}^{A} \in \N^{J}$, un vecteur de variables booléennes $h_{j}$ formant un horaire d'une durée de $J$ journées pour un employé de type $A \in \lbrace FT, PT \rbrace$.
 
 \subsubsection{Contraintes}
 \label{sec:horairescontraintes}
@@ -90,9 +90,52 @@ L'horaire doit respecter le nombre maximum de jours consécutifs travaillés aut
   \label{fig:automatemaxconsecutif}
 \end{figure}
 
+On obtient, pour chaque type de travailleur, une liste de vecteurs à laquelle on ajouter le vecteur nul, représentant la situation où l'employé est exclus de l'horaire.
+
+\subsubsection{Ajout des périodes}
+\label{sec:horaireajoutperiode}
+
+On considère la matrice des horaires quinzomadaires valides \eqref{eq:horairejourvalide} et la matrice des $n_{hq}^A$ horaires quotidiens valides \eqref{eq:horairequotidienvalide}, on obtient un tableau d'horaires par périodes travaillées valides $\mathbf{V}^A \in \N^{3}$ par le produit tensoriel \eqref{eq:produithoraire}
+\begin{align}
+\label{eq:horairejourvalide}
+\mathbf{H}^A &= \left( \vec{H}^{A} \right)\\
+\label{eq:horairequotidienvalide}
+  \mathbf{Q}^A &= \begin{bmatrix}
+    q_{1,1}& \cdots& q_{P,1}\\
+    \vdots&\ddots&\vdots\\
+    q_{1,n_{hq}^A}&\cdots&q_{P,n_{hq}^A}
+  \end{bmatrix}\\
+   \label{eq:produithoraire}
+   \mathbf{V}^A &= \mathbf{H}^A \otimes \mathbf{Q}^A
+ \end{align}
+
 \subsection{Contraintes}
 \label{sec:contraintes}
 
+Chaque horaire d'employé doit d'abord correspondre à un horaire valide tel qu'établi à la section \ref{sec:horairesvalides}. Il doit donc satisfaire une contrainte \textsc{Tableau} \eqref{eq:contraintetableau}.
+
+\begin{align}
+  \label{eq:contraintetableau}
+  \mathcal{C}_1 &: \textsc{Tableau}\left( \mathbf{V}^A,
+  \begin{bmatrix}x_{e,1,1}&\cdots&x_{e,1,J}\\
+    \vdots&\ddots&\vdots\\
+    x_{e,P,1}&\cdots&x_{e,P,J}
+  \end{bmatrix}\right) & \forall e
+\end{align}
+
+La planification doit aussi satisfaire la demande en employés, en utilisant une contrainte \textsc{Sum}.
+
+\begin{align}
+  \mathcal{C}_2 &: \sum_{A}\sum_{e=1}^{E^A} x_{e,p,j} = d_{p,j} & \forall 1 \leq p \leq P, 1 \leq j \leq J
+\end{align}
+
+\subsection{Fonction objectif}
+\label{sec:fonctionobjectif}
+
+
+
+
+
 
 
 
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