
\section{Question 2}
\label{sec:q2}

L'objectif de ce problème est de concevoir un horaire de travail avec minimisation de la perte de profit en utilisant le solveur Choco 4 \cite{chocoSolver}.

\subsection{Constantes}
\label{sec:q2constantes}

Plusieurs constantes sont définies par l'énoncé du problème. On définit les périodes $t=1,\ldots,16$ de la journée comme étant des périodes de 30 minutes débutant à 9h00 et se terminant à 16h59.

\begin{itemize}
\item $N$ = Nombre d'employés disponibles
\item $MIN_H$ = Nombre minimal de périodes travaillées par l'employé, incluant la pause
\item $MAX_H$ = Nombre maximal de périodes travaillées par l'employé, incluant la pause
\item $MIN_{P}$ = Nombre minimal de périodes dans le bloc de travail précédant et suivant la pause
\item $e_j^{req}$ = Nombre d'employés requis à la période $j \in \lbrace 1,16 \rbrace$.
\item $e_j^{souh}$ = Nombre d'employés souhaités à la période $j \in \lbrace 1,16 \rbrace$.
\item $P$ = Nombre de périodes dans l'horaire. Constante initialisée à 16.
\item $V_{PERTE}$ = Valeur de la perte liée à un écart d'un employé par rapport au nombre souhaité. Constante initialisée à 20.
\end{itemize}

On définit aussi ces constantes supplémentaires pour la création de contraintes, car Choco 4 ne permet pas d'effectuer d'opérations arithmétiques dans une contrainte.

\begin{itemize}
\item $MAX_P = MAX_H-MIN_{P}-1$ = Nombre maximal de périodes dans le bloc de travail précédant et suivant la pause.
\item $MAX_{PR} = MAX_P-MIN_H-1$ = Nombre maximal de périodes dans le bloc de repos débutant ou terminant la journée.
\item $MIN_{HT} =  MIN_H-1$ = Nombre minimal de périodes travaillées par l'employé, excluant la pause
\item $MAX_{HT} =  MAX_H-1$ = Nombre maximal de périodes travaillées par l'employé, excluant la pause
\end{itemize}

\subsection{Variables}
\label{sec:q2variables}

On définit une matrice de variables $E_{NP}$ où $e_{ij}$ correspondant à une valeur booléenne prenant la valeur $1$ si l'employé $i$ travaille à la période $j$ et $0$ sinon.

\begin{align}
  \label{eq:q2v1}
  &e_{ij} &= 1_{\text{Employé }i\text{ travaille à la période j}} \forall 1 \leq i \leq N, 1 \leq j \leq P\\
  dom(e_{ij}) &= \lbrace 0,1 \rbrace \in \theta(1) & \forall 1 \leq i \leq N, 1 \leq j \leq P\nonumber
\end{align}

Afin de résoudre le problème d'optimisation, on doit définir des variables supplémentaires, car les composantes de la fonction d'optimisation sont aussi exprimées sous forme de contraintes.

$e_{j}^{eff}$, le nombre d'employés effectif à la période $j$, et $e_{j}^{dist}$ la différence absolue entre le nombre d'employés effectif et souhaité à la période $j$.

\begin{align}
  \label{eq:q2v2}
  e_{j}^{eff} &= \sum_{i=1}^{N} e_{ij} & \forall 1 \leq j \leq P\\
  dom(e_{j}^{eff}) &= \lbrace 0,N \rbrace \in \theta(N) & \forall 1 \leq j \leq P\nonumber\\
  \label{eq:q2v3}
  e_{j}^{dist} &= \lvert e_{j}^{eff} - e_j^{souh} \rvert & \forall 1 \leq j \leq P\\
  dom(e_{j}^{dist}) &= \lbrace 0,N \rbrace \in \theta(N) & \forall 1 \leq j \leq P\nonumber
\end{align}

Enfin, nous créons une variable $N_{PERTE}$ représentant le total des unités de perte, équivalant
à la somme des différences absolues. Le nombre total d'unités de perte prend une valeur entre $0$ et $NP$.

\begin{align}
  \label{eq:q2v4}
  &N_{PERTE} = \sum_{j=1}^{P} e_j^{dist}\\
  &dom(N_{PERTE}) = \lbrace 0, \ldots, NP \rbrace &\in \theta(NP)\nonumber
\end{align}

\subsubsection{Nombre total de variables et de valeurs}
\label{sec:q2nbtotvar}

Le nombre total de variables pour les définitions \eqref{eq:q2v1}, \eqref{eq:q2v2},
\eqref{eq:q2v3} et \eqref{eq:q2v4}:

\begin{align}
  \label{eq:vartot}
  NP + P + P + 1 &= (N+2) \times N_p + 1 \in \theta(NP)
\end{align}

Le nombre total de valeurs possibles pour ces mêmes définitions est:
\begin{align}
  \label{eq:valtot}
  NP \times 2 + NP + NP + NP &= 5NP \in \theta(NP)
\end{align}

\subsection{Contraintes}
\label{sec:q2contraintes}

\subsubsection{Nombre d'employés requis}
\label{sec:nbemployesreq}

La contrainte du nombre d'employés requis s'énonce comme suit: pour chaque période $i$, le nombre d'employés travaillant doit être supérieur ou égal au nombre d'employés minimum requis.

\begin{align}
  \label{eq:q2c1eq}
  &\sum_{i=1}^{N} e_{ij} \geq e_j^{req} & \forall 1 \leq j \leq P
\end{align}

Il s'agit d'une contrainte de type \textsc{Sum}:

\begin{align}
  \label{eq:q2c1}
  &\textsc{Sum}(\lbrace e_{1j},\ldots,e_{Nj} \rbrace,\geq, e_j^{req}) & \forall 1 \leq j \leq P
\end{align}

\subsubsection{Motif de la journée de travail}
\label{sec:q2automatefini}

Afin de représenter le motif correspondant à une journée de travail alternant les périodes de travail et celles de repos, on utilisera une contrainte de type \textsc{Regular} qui est paramétrée par un automate fini, c'est-à-dire une chaine de caractère formant une expression régulière qui valide plusieurs contraintes définies par l'énoncé du problème.

Dans Choco 4, la contrainte \texttt{model.regular} prend en paramètre une séquence de variables entières à valider, et un automate fini défini par la classe \texttt{FiniteAutomaton}. Pour construire une instance de cette classe, on doit construire l'expression régulière en n'utilisant que des nombres comme valeurs. Comme nous avons choisi de représenter les différents états d'un employé par une variable boolienne, cette condition est satisfaite.

Voici comment nous avons construit l'expression:
\begin{itemize}
\item On débute par un bloc de repos d'au moins 0 et au plus $MAX_{PR}$ périodes.
\item On a ensuite un bloc de travail d'au moins $MIN_{P}$ et au plus $MAX_P$ périodes.
\item On a ensuite un bloc de repos d'une durée d'une période.
\item On a ensuite un bloc de travail d'au moins $MIN_{P}$ et au plus $MAX_P$ périodes.
\item On termine par un bloc de repos d'au moins 0 et au plus $MAX_{PR}$ périodes.
\end{itemize}

On obtient ainsi un automate fini défini par l'expression régulière suivante:
\begin{align}
  \label{eq:q2c2eq}
  {FA} = &0\lbrace 0,MAX_{PR} \rbrace\\
  &1 \lbrace MIN_{P},MAX_P \rbrace\nonumber\\
  &0\nonumber\\
  &1 \lbrace MIN_{P},MAX_P \rbrace\nonumber\\
  &0\lbrace 0,MAX_{PR} \rbrace\nonumber
\end{align}

L'ensemble des contraintes pour le motif d'horaire peut donc s'écrire
\begin{align}
  \label{eq:q2c2}
  &\textsc{Regular}(\lbrace e_{i1},\ldots,e_{ij} \rbrace, FA) &\forall 1 \leq i \leq N
\end{align}

\subsubsection{Nombre de périodes travaillées par employé}
\label{sec:q2minmax}

On définit l'inégalité suivante pour définir la contrainte du nombre minimum et maximum de périodes travaillées par employé.

\begin{align}
  \label{eq:q2c3eq}
   &MIN_{HT} \leq \sum_{j=1}^{P} e_{ij} \leq MAX_{HT} & \forall 1 \leq i \leq N
\end{align}

On utilise deux contraintes \textsc{Sum} pour représenter dans Choco le nombre de périodes minimum et maximum devant être travaillées, pour chaque employé.

\begin{align}
  \label{eq:q2c3}
  &\textsc{Sum}(\lbrace e_{i1},\ldots,e_{iP} \rbrace,\geq,MIN_{HT}) & \forall 1 \leq i \leq N\\
  &\textsc{Sum}(\lbrace e_{i1},\ldots,e_{iP} \rbrace,\leq,MAX_{HT}) & \forall 1 \leq i \leq N\nonumber
\end{align}

\subsubsection{Nombre total de contraintes}
\label{sec:q2totcontr}

Le nombre total de contraintes pour les définitions \eqref{eq:q2c1}, \eqref{eq:q2c2} et \eqref{eq:q2c3} est:
\begin{align}
  \label{eq:conttot}
  P + N + 2N &= P + 3N \in \theta(N)
\end{align}

\subsection{Optimisation}
\label{sec:q2optimisation}

Dans Choco, les contraintes d'optimisation sont créées de la même façon que les contraintes de satisfaction. Cependant, une des variables ne sera pas une constante, mais un intervalle dans lequel la fonction d'optimisation va effectuer sa recherche.

Nous implémenterons le nombre de travailleurs effectifs $e_j^{eff}$  à la période $j$ en utilisant une contrainte \textsc{Sum}:
\begin{align}
  \label{q2opc1}
  &\textsc{Sum}(\lbrace e_{1j},\ldots,e_{Nj} \rbrace,=,e_j^{eff}) & \forall 1 \leq j \leq P
\end{align}

Nous implémenterons ensuite la différence entre le nombre de travailleurs effectifs et souhaités $e_j^{dist}$ à la période $j$ en utilisant une contrainte \textsc{Distance}:
\begin{align}
  \label{q2opc2}
  &\textsc{Distance}(e_j^{souh},e_j^{eff},=,e_j^{dist}) & \forall 1 \leq j \leq P
\end{align}

Enfin, la variable $N_{PERTE}$ est implémentée par une contrainte \textsc{Sum}:
\begin{align}
  \label{q2opc3}
  \textsc{Sum}(\lbrace e_1^{dist},\ldots,e_{P}^{dist} \rbrace,=,N_{PERTE}) 
\end{align}

Nous n'incluons pas la valeur en dollars des unités de perte dans le modèle, car elle n'est pas pertinente dans l'élicitation des contraintes. Nous n'aurons qu'à multiplier le résultat obtenu par 20\$.

Nous avons donc ici $P+P+1 \in \theta(P)$ contraintes d'optimisation.

\subsection{Résultats}
\label{sec:q2resultats}

Nous avons demandé au solveur Choco de minimiser la perte $N_{PERTE}$ à l'aide de la méthode \texttt{findOptimalSolution}. Nous avons utilisé les euristiques par défaut, car elles permettaient d'obtenir un résultat en moins d'une seconde. Le solveur trouve deux solutions optimales en effectuant 6397 retours arrière en 0,553s. La valeur optimale est de 4 unités de perte, pour une valeur de 80\$.

La solution optimale retournée est la suivante.

\begin{verbatim}
Employé 0: 0  0  0  1  1  1  1  1  0  1  1  1  1  1  1  1  
Employé 1: 0  1  1  1  1  1  0  1  1  1  1  1  1  0  0  0  
Employé 2: 1  1  1  1  1  0  1  1  1  1  1  1  0  0  0  0  
Employé 3: 0  0  0  0  1  1  1  0  1  1  1  1  1  1  1  1  
Employé 4: 0  0  1  1  1  1  0  1  1  1  1  1  1  1  1  1
\end{verbatim}


%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "rapport"
%%% End:
