ajout fin du chapitre 8

chapitre8.tex

@@ -103,15 +103,176 @@ Si toutes les valeurs de la colonne du pivot sont nulles ou négatives, la valeu
 \subsection{Chemin le plus court}
 \label{sec:cheminpluscourt}
 
+Premier modèle: une variable par arête, inéquations = contraintes de conservation de flot. La première équation est linéairement dépendande, on peut l'enlever.
+
+\begin{align*}
+  &\min
+  \begin{bmatrix}
+    2&4&1&5&1&2
+  \end{bmatrix}
+               \vec{x}\\
+  &\text{s.t.}
+  \begin{bmatrix}
+    1&0&-1&-1&1&0\\
+    0&1&1&0&-1&-1\\
+    0&0&0&1&0&1
+  \end{bmatrix}
+               \begin{bmatrix}
+                 x_{ab}\\
+                 x_{ac}\\
+                 x_{bc}\\
+                 x_{bd}\\
+                 x_{cb}\\
+                 x_{cd}
+               \end{bmatrix}
+  =
+  \begin{bmatrix}
+    0\\
+    0\\
+    1
+  \end{bmatrix}
+\end{align*}
+
+Deuxième modèle: bout de ficelle reliant les noeuds, on fixe $A$ en position 0 et on tire sur le noeud $D$. Une variable par noeud modélise la position du noeud. Une contrainte par arête pour limiter l'éloignement des noeuds.
+
+
 \subsection{Dualité}
 \label{sec:dualite}
 
-\subsection{Problèmes en nombres entiers}
+Ces deux programmes linéaires sont équivalents:
+
+Programme 1 (primal)
+
+\begin{align*}
+  &\min &c^Tx\\
+  &s.t. &Ax=b\\
+  &&x \geq 0
+\end{align*}
+Programme 2 (dual)
+
+\begin{align*}
+  &\max &b^Ty\\
+  &s.t. &A^Ty \leq c\\
+  &&y \in \R
+\end{align*}
+
+Comparaison des solutions réalisables
+
+\begin{align*}
+  A^Ty &\leq c & \text{Solution dual} \\
+  y^TA &\leq c^T & \text{Transposée} \\
+  y^TAx &\leq c¸Tx & \text{Mult. par}\ x\\
+  y^TB &\leq c^Tx & \text{Solution primal}\\
+  b^Ty &\leq c^Tx & \text{Propriété du produit scalaire}
+\end{align*}
+
+\paragraph{Matrice B}
+
+\begin{itemize}
+\item $B$ est la matrice formée des colonnes de la matrice $A$ associées aux variables de la base (prises dans l'ordre où les 1 apparaissent, de haut en bas).
+\item $B^{-1}A$ est la matrice des coefficients du tableau dans son état final
+\item $C_B$ est le coût associé aux variables de base
+\item Le vecteur de coût est donnée par $c^T-c_B^TB^{-1}A \geq 0$
+\item Si les deux solutions sont optimales, on a l'égalité $C^Tx = c+B^Tx_B = c_B^TB^{-1}b = y^Tb = b^Ty$
+\end{itemize}
+
+\paragraph{Généralisation}
+
+\begin{table}[ht]
+\centering
+\label{tab:primaldual}
+\begin{tabular}{l|l}
+\textbf{Primal}       & \textbf{Dual}         \\
+\hline
+Équation              & Variable libre        \\
+Inégalité             & Variable non-négative \\
+Variable libre        & Équation              \\
+Variable non-négative & inégalité             \\
+minimisation          & maximisation         
+\end{tabular}
+\caption{Primal et dual}
+\end{table}
+
+\begin{itemize}
+\item $E$: Contraintes d'égalité
+\item $L$: Variables libres
+\item $A[i]$: $i$e rangée de $A$
+\end{itemize}
+
+
+\begin{table}[ht]
+\centering
+\label{my-labeltab:primaldualeq}
+\begin{tabular}{lllll}
+     & $\min c^Tx$      &              &      & $\max b^Ty$        \\
+s.t. & $A[i]x=b_i$      & $i \in E$    & s.t. & $y_i \in \R$       \\
+     & $A[i]x \geq b_i$ & $i \notin E$ &      & $y_i \geq 0$       \\
+     & $x_j \in \R$     & $j \in L$    &      & $A^T[j]y=c_j$      \\
+     & $x_j \geq 0$     & $j \notin L$ &      & $A^T[j]y \leq c_j$
+\end{tabular}
+\caption{Primal et dual en équations}
+\end{table}
+
+
+\subsection{Programmation en nombres entiers}
 \label{sec:nombresentiers}
 
+\begin{alignat*}{2}
+  & \text{maximiser} && c^Tx \\
+  & \text{sujet à} & \quad &
+  \begin{aligned}[t]
+    Ax& \leq b & \\
+    x& \in \N^{n} &
+  \end{aligned}
+\end{alignat*}
+
+Deux techniques à utiliser après le simplexe:
+\begin{itemize}
+\item Fouille dans un arbre de recherche
+  \begin{itemize}
+  \item Ajout de deux branches pour les valeurs $x_i=v$ non entières
+  \item $x_i \leq \floor{v}$, $x_i \geq \ceil{v}$
+  \item La meilleure valeur objective $v^\star$ devient une borne minimale
+  \end{itemize}
+\item Coupes de Gomory
+  \begin{itemize}
+  \item Coupe: contrainte ajoutée à un programme linéaire
+  \item Depuis le tableau du simplexe, on extrait une équation de la forme $x_i+\sum_{j \notin B}a_{i,j}x_j=b_i$.
+  \item La coupe de Gomory prend la forme
+    \begin{align}
+      \sum_{j \notin B}(a_{i,j}-\floor{a_{i,j}})x_j-s=b_i-\floor{b_i}
+    \end{align}
+  \item Exemple:
+    \begin{align}
+      y+0.5s_1-0.5s_3&=2.5\\
+      0.5s_1+0.5s_3-s_4&=0.5
+    \end{align}
+  \end{itemize}
+\end{itemize}
+
 \subsection{Matrices totalement unimodulaires}
 \label{sec:matricestotalementunimod}
 
+\begin{itemize}
+\item Matrices totalement unimodulaires: chaque sous-matrice a un déterminant de -1,0 ou 1. Son adjointe a donc aussi seulement des -1,0 et 1. 
+\item Si $A$ est inversible, alors sont inverse ne contient que des -1,0,1. Son inverse est donc une matrice entière.
+\item $x_B=B^{-1}b$, $x$ sera entier.
+\item Si $A$ est totalement unimodulaire et $b$ est un vecteur d'entier, alors la solution du simplexe sera entière
+\item Si une sous-matrice d'un problème est unimodulaire, on peut résoudre les autres variables par Branch and Bound et ensuite utiliser le simplexe pour réduire la taille du problème
+\end{itemize}
+
+\paragraph{Matrice d'incidence d'un graphe}
+
+\begin{align}
+  A_{i,j} &= \begin{cases}
+              1 &\text{si la destination de l'arete}\ j\ \text{est le noeud}\ i\\
+              -1&\text{si l'origine de l'arete}\ j\ \text{est le noeud}\ i\\
+              0 &sinon
+            \end{cases}
+\end{align}
+
+
+
 
 
 

notes_de_cours.tex

@@ -61,6 +61,8 @@
 \newcommand{\R}{\mathbb{R}}	% Commande personnelle, plus rapide pour tapper les ensembles
 \DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}
 \DeclareMathOperator*{\argmin}{arg\,min}
+\DeclarePairedDelimiter\ceil{\lceil}{\rceil}
+\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor}
 \usepackage{cprotect}	% Pour pouvoir personaliser la légende des figures
 %----------------------------------------------------------------