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4.2 KiB
TeX
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\section{Chapitre 1: Introduction}
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\label{sec:ch1}
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\subsection{NP-Complétude}
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\label{sec:ch1npc}
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\paragraph{Instance SAT}
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\begin{itemize}
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\item $x_i \in \lbrace 0,1 \rbrace$
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\item Un \textbf{litéral}: $x_i$ ou $\neg x_i$
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\item Une \textbf{clause} SAT = disjonction de litéraux
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\item Une \textbf{solution} satisfait l'ensemble des clauses de l'\textbf{instance}
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\item Si au moins une solution existe, l'instance est réalisable ou \textbf{satisfiable}
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\end{itemize}
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\paragraph{La classe NP}
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Problème de décision}: La réponse est \textit{oui} ou \textit{non}
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\item \textbf{Certificat}: Donnée prouvant que la solution au problème de décision est \textit{oui}
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\item \textbf{Algorithme de vérification}: vérifie si une donnée est un certificat valide
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\item \textbf{Classe NP}: Ensemble des problèmes de décision qui admettent un algorithme de vérification en temps polynomial.
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\end{itemize}
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\subsection{Problèmes de satisfaction et d'optimisation avec contraintes}
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\label{sec:ch1propt}
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\paragraph{Satisfaction}
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\begin{itemize}
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\item Variables: $x_1, \ldots, x_n$
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\item Domaine: $\mathtt{dom}(x_1), \ldots, \mathtt{dom}(x_n)$
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\item Contraintes: $C_1, \ldots, C_m$
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\end{itemize}
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\paragraph{Optimisation}
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\begin{itemize}
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\item Reprend les éléments du problème de satisfaction
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\item Ajoute une fonction objectif réelle à minimiser ou maximiser: $f(x_1, \ldots, x_n): \R$
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\end{itemize}
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\subsection{Contraintes}
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\label{sec:ch1cont}
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\begin{itemize}
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\item \textbf{Contrainte}: condition imposée à un sous-ensemble de variables, appelé \textbf{portée}.
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\item \textbf{Arité}: nombre de variables dans la portée
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\end{itemize}
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\paragraph{Quelques contraintes}
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\begin{itemize}
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\item $\textsc{Ou}(x_1,x_2) \equiv x_1 \vee x_2$
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\item $\textsc{Et}(x_1,x_2) \equiv x_1 \wedge x_2$
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\item $\textsc{Addition}(a,b,c) \equiv a+b=c$
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\item $\textsc{Soustraction}(a,b,c) \equiv a-b=c$
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\item $\textsc{Multiplication}(a,b,c) \equiv ab=c$
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\item $\textsc{Division}(a,b,c) \equiv \frac{a}{b}=c$
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\item $\textsc{Tableau}(x_1,x_2,x_3,T)$
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\item $\textsc{AllDifferent}(x_1, \ldots, x_n) \equiv x_1 \neq \ldots \neq x_n$
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\item $\textsc{Croissant}(x_1,x_2) \equiv x_1 \leq x_2$
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\item $\textsc{Décroissant}(x_1,x_2) \equiv x_1 \geq x_2$
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\end{itemize}
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\subsection{Modélisation}
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\begin{enumerate}
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\item Utiliser les contraintes du solveur
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\item Concevoir un modèle:
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\begin{itemize}
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\item Variables
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\item Domaines
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\item Fonction objectif
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\item Contraintes
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\end{itemize}
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\item Soumettre un modèle au solveur
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\item Recevoir une solution
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\end{enumerate}
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\paragraph{Exemple}
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Problème du commis voyageur: Figure \ref{fig:ch1commis}
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\Vertex[x=0,y=0]{A}
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\Vertex[x=4,y=0]{B}
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\Vertex[x=0,y=4]{C}
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\Vertex[x=4,y=4]{D}
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\Edge[label= $1$](A)(B)
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\Edge[label= $3$](A)(C)
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\Edge[label= $2$](B)(D)
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\Edge[label= $6$](C)(D)
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\tikzset{EdgeStyle/.append style = {bend left}}
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\Edge[label= $1$](A)(D)
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\tikzset{EdgeStyle/.append style = {bend right}}
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\Edge[label= $5$](B)(C)
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\end{tikzpicture}
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\caption{Exemple de problème du commis voyageur}
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\label{fig:ch1commis}
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\end{figure}
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\begin{align}
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\begin{aligned}
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\argmin_{d_0 \ldots d_3} & \left( d_0+ \ldots +d_3 \right) \\
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\textrm{s.t.} &\\
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&\mathtt{dom}(x_i) = \lbrace A,B,C,D \rbrace & \forall i \in {0,\ldots,3}\\
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&\mathtt{dom}(d_i) = \lbrace 1,2,3,5,6 \rbrace & \forall i \in {0,\ldots,3}\\
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&\textsc{Tableau}(x_i,x_{i+1 mod 4}, d_i, T) & \forall i \in {0,\ldots,3}\\
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&x_i \neq x_j & 0 \leq i \leq j \leq 3
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\end{aligned}
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\end{align}
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\paragraph{Caractéristiques d'un bon modèle}
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\begin{itemize}
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\item Taille d'un modèle:
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\begin{itemize}
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\item Nombre de variables
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\item Nombre de contraintes (une ligne dans un tableau = une contrainte)
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\item Cardinalité des domaines
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\end{itemize}
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\item Notation asymptotique $\mathcal{O}$ ou $\mathcal{\Theta}$
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\item Taille polynomiale
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\end{itemize}
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\paragraph{Exemple}
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Problème du commis voyageur
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\begin{itemize}
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\item $2n$ variables
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\item $n^2+\frac{n^2(n+1)}{2} \in \mathcal{\Theta}(n^3)$ valeurs
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\item $n$ contraintes tableau $+\frac{n(n+1)}{2}$ différences $\in \Theta(n^2)$
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\end{itemize}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "notes_de_cours"
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%%% End:
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